Chapitre 1 Compléments sur les suites et les séries

Chapitre 1

Compléments sur les suites et les séries

Sommaire

1.1 Comparaison des suites réelles . . . . 3

1.2 Suites définies par une relation de récurrence . . . . 7

1.2.1 Le plan classique . . . 7

1.2.2 Inégalités des accroissements finis. . . 8

1.3 Suites définies implicitement, ie vérifiant une relation de la formefn(un)=0 . . . 9

1.4 Les suites définies à l’aide de fonctions réciproques. . . . 9

1.4.1 Algorithmes rencontrés . . . 10

1.5 Compléments sur les séries . . . . 11

1.5.1 Séries à termes positifs. . . 11

1.5.2 Convergence absolue . . . 13

1.5.3 Séries géométriques et séries géométriques dérivées . . . 14

1.5.4 Série exponentielle . . . 15

1.5.5 Comparaison avec une intégrale : le principe . . . 15

1.5.6 Séries de Riemann . . . 16

1.6 Point méthode. . . . 18 L’objectif de ce chapitre est d’introduire de nouveaux outils d’étude des suites et des séries, en par- ticulier les critères de comparaison, tout en consolidant les acquis de première année.

On connaît de nombreuses suites qui tendent vers+∞, parmi lesquelles par exemple, (n²),(2ⁿ),(l n(n))³,n!,(

2ⁿ). . .mais certaines divergent " plus vite que d’autres", et d’autres " à la même vitesse ".

Ce sont ces points que l’on va détailler dans ce chapitre.

Les résultats du cours sur les suites et les séries de première année sont à revoir.

Edmund Landau est un mathématicien allemand de la première moitié du XXiè siècle. Il fut l’un des plus grands spécialistes de théorie analytique des nombres, cette branche des mathématiques qui étudie les propriétés arithmétiques à l’aide des outils d’analyse. Il obtient son doctorat en 1899, sous la direction de Frobenius, puis son habilitation deux ans plus tard. Il enseigne alors à l’Université de Berlin. En 1909, il devient professeur à l’Université de Göttingen, où il succède à Minkowski. Avec notamment Hilbert et Klein, il contribue alors à faire de Göttingen le plus grand centre mondial de recherche en mathématiques. L’émergence du régime nazi le poussera bientôt à la retraite en 1934.

Il enseigne un peu en Angleterre et aux Pays-Bas, puis s’en va à Berlin. Une crise cardiaque l’emporte en 1938. Landau est surtout connu pour les notations de domination O et de négligeabilité o qui portent son nom. (o pour initiale du mot allemand "Ordnung")

En fait, s’il contribua à les populariser, il semble qu’elles soient dues à Bachmann.

1.1 Comparaison des suites réelles ECE 2ème année

1.1 Comparaison des suites réelles

Définition 1.1(Négligeabilité).

Soientuetv deux suites réelles.

On dit queuest négligeable devantv, et on noteu_n=o(vn) ouu=o(v), s’il existe un entiern₀et une suite (ǫn)n≥n0 définie à partir du rangn₀qui converge vers 0, telle que :∀n≥n₀,u_n=ǫ_nv_n. Remarques.

1. Comme on ne s’intéresse qu’au comportement enn→ +∞, on ne le précisera pas toujours en-dessous des symboles∼ouo.

2. L’utilité de cette valeurn₀vient du fait quev_npeut être nulle pour des valeurs denoùu_nne le serait pas.

un= 1

n+1etvn=(n−10)(n−100)

n²+1 , on ne peut pas trouver de suiteǫnpour laquelle :

∀n∈N,u_n=v_nǫ_n.

En effet :v₁₀=v₁₀₀=0 etu₁₀6=0,u₁₀₀6=0.

3. La notation " petito", repose sur un abus d’écriture :o(w_n) ne désigne pas une suite particu- lière mais toute suite possédant la propriété d’être négligeable devant (wn).

Siu=o(v) etu^′=o(v) alors on a pas forcémentu=u^′!!u=o(v) signifie queuappartient à l’ensemble des suites négligeables devantv.

Exemples 1.1.

1. n=o(n²) (prendreǫ_n=1 n.)

2. Ecrireu_n=o(1) signifie que la suiteuconverge vers 0. Par exemple :e⁻ⁿ=o(1).

3. La suite (un)n∈N oùu_n=n n’est pas négligeable devant la suite (vn) définie par v_n=2n car

∀n∈N,u_n=v_nǫ_navecǫ_n=1/2 non convergente vers 0.

4. u_n=o(0) signifie que la suite (un) est nulle à partir d’un certain rang.

Théorème 1.1(Caractérisation).

Si à partir d’un certain rang v_n6=0alors on a l’équivalence suivante : u est négligeable devant v : u_n=o(vn)ssi¡

nlim→+∞

u_n vn =0¢

.

Propriétés 1.2.

• Si u_n=o(v_n)et v_n=o(w_n)alors u_n=o(w_n).(Transitivité)

• Si un=o(vn),∀λ∈R^∗, on a alors un=o(λvn).(multiplication par un scalaire)

• Si u_n=o(wn)et v_n=o(wn), alors∀(a,b)∈R²,au_n+bv_n=o(wn).(Combinaisons linéaires)

• Si u_n=o(w_n)et v_n=o(t_n), alors u_nv_n=o(w_nt_n).(produit)

• Si u et v sont non nulles alors u=o(v)⇒ 1 v =o(1

u).(inverse)

• Si un=o(vn)et lim

n→+∞vn=b alors(un+vn)est convergente vers b.

• Si(vn)converge et si u_n=o(vn), alors(un)converge vers0.

Exemple 1.2.

u_n=1

n,v_n=(−1)ⁿalorsu_n=o(vn) caru_n/vn→0.

ECE 2ème année 1.1 Comparaison des suites réelles

Théorème 1.3(Négligeabilités usuelles : croissances comparées).

On a les comparaisons suivantes au voisinage de+∞: (un<<vnsignifie un=o(vn))

∀(α,β,γ)∈[0,+∞[×[0,+∞[×]1,+∞[,(lnn)^α<<n^β<<γⁿ<<n! ou encore

•∀γ>1,γⁿ=o(n!)

•∀γ>1,∀α>0,n^α=o(γⁿ)

•∀β>0,∀α>0,(lnn)^β=o(n^α)

•∀γ∈]−1,1[,γⁿ=o¡ 1 n^α

¢

Définition 1.2(Equivalence).

Soientuetvdeux suites réelles.

uest équivalente àv :u_n∼v_nouu∼vs’il existe un entiern₀et une suite (ǫn)n≥n₀ définie à partir du rangn₀qui converge vers 1, telle que :∀n≥n₀,u_n=ǫ_nv_n.

Remarques.

1. On a la définition suivante équivalente à la précédente :

uest équivalente àv:u_n∼v_nouu∼v s’il existe un entiern₀et une suiteǫdéfinie à partir du rangn₀qui converge vers 0, telle que :∀n≥n₀,u_n=(1+ǫ_n)vn.

2. Cela revient à dire queu_n−v_n=o(vn) ou quev_n−u_n=o(un).

3. Attention la notationu_n∼0 n’a aucun sens!

Exemples 1.3.

1. u_n= 1

(n+1),v_n=(n−10)(n−100)

n³+1 , on ne peut pas trouver de suiteǫ_npour laquelle :

∀n∈N,u_n=v_n(1+ǫ_n).

En effet :v₁₀=v₁₀₀=0 etu₁₀6=0,u₁₀₀6=0.

2. ∀n∈N^∗,u_n=n−(ln(n))²alors on a∀n∈N^∗,u_n=n(1−(ln(n))²

n )=n(1−¡ln(n) pn

¢2).

Or lim

n→+∞

ln(n)

pn =0 (par croissances comparées) donc lim

n→+∞(1−¡ln(n) pn

¢2

)=1 ce qui entraîne queun∼n.

Théorème 1.4(Caractérisation).

Si à partir d’un certain rang v_n6=0alors on a l’équivalence suivante : u est équivalent à v : u_n∼v_nssi¡

nlim→+∞

u_n v_n =1¢

.

Exemple 1.4.

eⁿ+n²∼eⁿcar lim

n→+∞

eⁿ+n²

eⁿ =1 careⁿ+n²

eⁿ =(1+n² eⁿ).

1.1 Comparaison des suites réelles ECE 2ème année

Propriétés 1.5.

• Si u_n∼v_nalors v_n∼u_n.

• Si u_n∼v_net v_n∼w_nalors u_n∼w_n. (transitivité)

• Si un∼vnet rn∼snalors unrn∼vnsn. (produit)

• Si u_n∼v_net r_n∼s_nalors u_n sn ∼ v_n

sn

. (quotient)

• Si un∼vnalors pour tout entier naturel k, on a u^k_n∼v_n^k.

• Si u_n∼v_net v_n>0, un>0à partir d’un certain rang alors∀α∈R, u^α_n∼v_n^α. (puissance)

• Si u_n∼v_nalors|u_n| ∼ |v_n|.(valeur absolue)

• Si(u_n)converge vers une réelℓ6=0alors u_n∼ℓ.(limite) Théorème 1.6.

Deux suites équivalentes u et v sont de même nature, c’est-à-dire

• u converge ssi v converge et dans ce cas elles ont la même limite.

• u diverge vers+∞(resp.−∞) ssi v diverge vers+∞(resp.−∞).

EXERCICE1.1.

Soitkun entier naturel donné, calculer la limite de

¡_n

k

¢

n^k quandntend vers+∞. Remarques.

• ATTENTION la relation d’ équivalence∼n’est pas compatible avec l’addition : un∼vnetrn∼sn;_{un+rn∼vn+sn}

n²+n∼n²,−n²+5∼ −n²+1 mais

(n²+n)+(−n²+5)≁_n²_+(−n²₊₁₎

• la relation d”equivalence∼n’est pas compatible avec la composition par les fonctions exp et ln. En effet :

un∼vn;_e^un_∼e^vn et

u_n∼v_n;_lnun∼lnvn Par contre :

e^un ∼e^vn⇒ lim

n→+∞(u_n−v_n)=0.

• Siu_n∼v_netw_n=o(v_n) alors (u_n+w_n)∼v_n.

• La notion d’équivalence est fondamentale, d’une part pour trouver des limites de suite à priori indéterminées, et, d’autre part, pour l’étude de la convergence d’un grand nombre de séries.

EXERCICE1.2.

On suppose que la suite (u_n)_n∈N∗ vérifie :n≤u_n≤2nalors montrer que lnu_n∼lnn.

ECE 2ème année 1.2 Suites définies par une relation de récurrence

EXERCICE1.3.

Donner un équivalent à chacune des suites ci-dessous : 1. u_n= 1

n−1− 1 n+1. 2. v_n=p

n+1−p n−1.

3. wn=ln(2−e⁻ 1 n²).

Théorème 1.7(Equivalents usuelles ).

Soit une suite(un)telle que lim

n→+∞u_n=0, alors on a les équivalents suivants : ln(1+un)∼un, e^un−1∼un, (1+un)^α∼1+αun

Avec les suites "polynômes" si a_k6=0:

a₀+a₁n+ ··· +a_kn^k∼a_kn^k

1.2 Suites définies par une relation de récurrence

Soit f une fonction continue sur un intervalleI et u₀∈I fixé. On considère la suite définie par la donnée deu₀et la relationun+1=f(un). Dans un sujet de concours, l’étude est toujours détaillée.

Vous remarquerez que le plan d’étude de telles suites est toujours le même :

1.2.1 Le plan classique

1. Étudier la fonctionf (faire son tableau de variations). Parfois, étudier le signe de g :x→ f(x)−xest utile.

2. Vérifier que votre suite est bien définie, c’est-à-dire que vous pouvez calculer tous lesu_n. Cela va dépendre de la valeur deu₀.

EXERCICE1.4.

Soit la suiteudéfinie paru₀=2 etu_n+1= 1

u_n−1. La suiteuest-elle bien définie?

3. En utilisant la courbeC_f associée àf, on peut représenter la suiteudéfinie paru_n+1=f(un) sur l’axe des abscisses du repère orthonormé dans lequel on a tracéC_f . La droite d’équation y=xpermet de rapporter les points de l’axe des ordonnées à l’axe des abscisses et met en évidence l’éventuelle limite de la suite qui est l’abscisse d’un point d’intersection de cette droite avecC_f .

4. Déterminer des intervalles stables par f, c’est-à-dire des intervallesI tels que six∈I, alors f(x)∈I. On montre alors par récurrence que siu₀∈I, alors pour toutn,un∈I. (On remarque que siI est minoré (resp. majoré), il en est alors de même pour (un)).

5. On cherche les limites possibles pourf, en utilisant le théorème (et la définition) suivant : Définition 1.3.

Soitf une fonction définie sur un intervalleI et à valeurs réelles. Soitℓ∈I. On dit queℓest un point fixe de f sif(ℓ)=ℓ.

Remarque.

Les points fixes de f sont donc les solutions de l’équationf(x)=x, qui s’écrit aussif(x)−x= 0.

1.2 Suites définies par une relation de récurrence ECE 2ème année

Théorème 1.8.

Si(un)converge versℓet que f est continue enℓ, alorsℓest un point fixe de f . Remarque.

Autrement dit, sif est continue, et que (un) converge, c’est forcément vers un point fixe de f. 6. On obtient donc les limites éventuelles de la suite en résolvant l’équationf(x)=x(ou, si on a

étudié le signe def(x)−xau moment du tableau de variation, en reprenant ces résultats).

Sif(x)=xn’a pas de solution, on sait que (un) est divergente. Si la limite éventuelle de la suite n’appartient pas à l’intervalle stable trouvé précédemment, la conclusion est similaire.

EXERCICE1.5.

Soit la suiteudéfinie paru₀=1 et∀n∈N,u_n+1=u_n 2 + 1

u_n.

(a) La suiteuest-elle bien définie∀n∈N? Montrer que∀n∈N,u_n>0.

(b) Quelles sont les limites possibles de la suiteu? 7. Étude du sens de variation de (un) et conclusion!

Si on a étudié le signe def(x)−x, on a le signe deu_n+1−u_n=f(un)−u_n, donc on obtient le sens de variation de la suite.

Si la fonctionf est croissante surI, alors on montre parrécurrenceque (un) est bornée puis qu’elle est croissante siu₀≤u₁ou que (un) est décroissante siu₀≥u₁. On conclut en utilisant le théorème de la limite monotone.

Si f est décroissante surI, alors on montre par récurrence que les deux sous-suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones de monotonie contraire l’une de l’autre. On étudie alors ces deux sous-suites. Si elles convergent vers une même limiteℓ, alors (u_n) converge versℓ.

Parfois, on trouve une variante de ce plan, basée sur l’inégalité des accroissements finis.

EXERCICE1.6.

Soit la suiteudéfinie paru₀=0 et∀n∈N,u_n+1=p u_n+2.

1. La suiteuest-elle bien définie∀n∈N’ Montrer que∀n∈N,u_n≥0.

2. Quelles sont les limites possibles de la suiteu? 3. Etudier le sens de variation de f(x)=p

x+2 surR⁺. 4. Conclure sur la convergence de la suiteu.

EXERCICE1.7.

Soit la suiteudéfinie paru₀=1 et∀n∈N,u_n+1=1+ 2 u_n.

1. La suiteuest-elle bien définie∀n∈N? Montrer que∀n∈N,u_n>0.

2. Quelles sont les limites possibles de la suiteu? 3. Etudier le sens de variation de f(x)=1+2

x surR^∗₊.

4. On posevn=u2netwn=u2n+1. Etudier la convergence de ces deux sous-suites.

On montrera quev_n+1=f ◦f(vn) et quew_n+1=f ◦f(wn).

5. Conclure sur la convergence de la suiteu.

1.2.2 Inégalités des accroissements finis

On peut parfois se passer de l’étude de la monotonie de f : si on a un intervalle stableI pour f et un point fixeℓde f appartenant àI, on peut chercher un réelK∈]0,1[ tel que∀x∈I,|f^′(x)| <K. L’inégalité des accroissements finis donne∀n∈N,|un+1−ℓ| = |f(un)−f(ℓ)| ≤K|un−ℓ|.

On montre alors par récurrence surnque∀n∈N,|u_n−ℓ| ≤Kⁿ|u₀−ℓ|. On conclut par le théorème d’encadrement car lim

n→+∞Kⁿ=0.

ECE 2ème année 1.3 Suites définies implicitement, ie vérifiant une relation de la forme fn(un)=0

EXERCICE1.8.

Soit la suite définie par :u₀=1 etun+1=1−u²_n

4 et la fonction f définie surRparf(x)=1−x² 4 . 1. Montrer que∀n∈N,u_n∈[0,1].

2. Montrer que pour toutx∈[0;1],|f^′(x)| ≤1/2.

3. Montrer que f admet un unique point fixeαdans l’intervalle [0;1] et donner la valeur deα.

4. Etudier la convergence de (un).

1.3 Suites définies implicitement, ie vérifiant une relation de la forme f

(u

) = 0

Attention, la situation n’est pas la même que pour les suites définies par une relation de récurrence de la formeu_n+1=f(u_n) : ici la fonction elle-même dépend denet change donc à chaque étape.

Généralementf_nest strictement monotone.

Le contexte : soitI un intervalle. On a une famille (f_n) de fonctions définies surI, et on suppose que pour toutnl’équation f_n(x)=0 admet une unique solution, notéeu_n. Le but est d’étudier cette suite (un).

Les outils :

1. L’existence de la suite (un) se prouve en utilisant le théorème de la bijection.

2. Le sens de variation de la suite s’obtient en étudiant le signe def_n+1(x)−f_n(x) surI. En explicitant ce signe enx=u_n, on comparef_n+1(u_n) et f_n(u_n)=0=f_n+1(u_n+1).

On conclut en utilisant la stricte monotonie def_n+1.

3. Pour montrer que la suite (u_n) est majorée (ou minorée) par un réel a, on peut comparer f_n(un)=0 etf_n(a) puis utiliser la stricte monotonie def_n.

On peut aussi simplement regarder à quel intervalle l’unique solution (un) de f_n(x)=0 ap- partient.

4. Pour prouver la convergence de la suite (un), on utilise en général le théorème de la limite monotone.

EXERCICE1.9(D’après EDHEC 1997).

Pour tout entier naturelnnon nul, on notef_nla fonction définie par :∀x∈R^∗₊, f_n(x)=x−n.ln(x).

1. (a) Etudier cette fonction et dresser son tableau de variations.

(b) En déduire, lorsquenest supérieur ou égal à 3, l’existence de deux réelsu_netv_nsolutions de l’équationf_n(x)=0 et vérifiants 0<u_n<n<v_n.

2. Etude de la suite (u_n)_n≥3.

(a) Montrer que∀n≥3,1<u_n<e.

(b) Montrer quefn(un+1)=ln(un+1), puis en conclure que (un) est décroissante.

(c) En déduire que (u_n)_n≥3converge et montrer, en encadrant ln(u_n), que lim

n→+∞u_n=1.

(d) Montrer que lim

n→+∞

ln(un)

un−1=1 ; en déduire queu_n−1∼ ¹

n.

1.4 Les suites définies à l’aide de fonctions réciproques

Le contexte : la situation est assez semblable à la situation précédente : on considère une fonction f définie sur un intervalleI et réalisant une bijection de I sur f(I) de telle sorte que pour tout

1.4 Les suites définies à l’aide de fonctions réciproques ECE 2ème année

n,n∈f(I).

Pour toutn, l’équation f(x)=na donc une unique solutionu_n. On cherche à étudier la suite (un).

Les outils : commef réalise une bijection deI surf(I), elle admet une réciproquef⁻¹.

Si f est continue strictement monotone surI,f⁻¹est continue et strictement monotone sur f(I), de même monotonie quef, et les limites sont données par les bornes deI.

Alors pour toutn,u_n = f⁻¹(n) et la monotonie de f⁻¹ permet d’obtenir celle de (un) car u_n+1= f⁻¹(n+1) etu_n=f⁻¹(n).

Enfin, la limite de (un) est celle def⁻¹en l’infini.

EXERCICE1.10. 1. Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul, l’équatione^x+x−n=0 a une unique solution, que l’on noterau_n. (On pourra étudier la fonctionf :x→e^x+x.)

2. Étudier le sens de variations de la suite (un)n≥1ainsi définie.

3. Montrer que∀n≥1,un≤lnnpuisque, pournassez grand,un≥ln(n)−1. (On pourra compa- rerf(un) etf(ln(n)−1)).

4. En déduire un équivalent simple deunlorsquentend vers l’infini.

1.4.1 Algorithmes rencontrés

Algorithme 1.

Si une suite croissante (un) a pour limite+∞, on peut utiliser l’algorithme suivant pour déterminer le plus petit entiernvérifiantu_n>A(oùAest un réel positif quelconque) :

[ SEUIL] Entrées : SaisirA(nombre positif) Initialisation :

n←0 U←u₀

Tant queU ≤A n←n+1 U←u_n FinTantque Sorties : Affichern

Exemple 1.5. En scilab, pour la suiteudéfinie paru₀=1,∀n∈N,u_n+1=1+u²_n. on obtient :

Programme Scilab 1 : Seuil pour une suite croissante

// Résumé : programme déterminant le premier entierntel que //u_n>a, oùaest un réel donné etuune suite de limite+∞.

n=0;

u=1;

// Valeur de seuil seuil=100;

while(u<=seuil)

// On n’a pas dépassé le seuil.

// On passe au rang suivant n=n+1;

// On calcule le terme suivant de la suite

ECE 2ème année 1.5 Compléments sur les séries

u=1+u^2;

end

// Ainsi, n contient le premier rang à partir duquel u_n > seuil Algorithme 2.

Si (un) suite définie par récurrence, convergente versℓ, on demande la plus petite valeur dentelle que|u_n−ℓ| <roùrest saisi en entrée.

r=input("Entrer r :")

u= . . . ; //initialisation n= . . . ;//initialisation l= . . . ;//initialisation

while (abs(u-l)>=r)

u=. . . ;//la relation de récurrence n=n+1 ;

end

disp(n, "Seuil r atteint pour :") Algorithme 3.

La suite étant définie par une relationun+1=f(un),on peut utiliser une boucle for pour calculeruN. Programme Scilab 3 : Calcul d’un terme d’une suiteu_n+1=f(un).

// Résumé : calcul de u_N dans le cas d’une suite u_(n+1)=f(u_n) // avec f :x -> x/ln(1+x)

// Rang voulu : N // Valeur de u_0 : U = exp(1)

// Boucle pour calculer u_N for i=1:N

U= U / log(1+U) // Rappel : la fonction ln s’écrit log en Scilab // ou autre méthode

U(i+1)=U(i)/log(1+U(i)) end

// Affichage de la valeur de u_N disp("U = ", U)

// Si on veut tous les termes de la suite jusqu’à N disp([i-1,U(i)])

1.5 Compléments sur les séries

1.5.1 Séries à termes positifs

Méthode : si la série P

n≥0unest à termes positifs, alorsSn+1−Sn=un+1≥0 donc la suite (Sn) est croissante.

On obtient le résultat suivant :

1.5 Compléments sur les séries ECE 2ème année

Propriété 1.9(Séries à termes positifs).

Si∀n≥0un≥0,alors la série P

n≥0unest convergente ssi la suite(Sn)est majorée.

Sinon, la suite (Sn)tend vers+∞et P

n≥0un= +∞. Remarque.

En général, pour majorer la suite (Sn), on commence par majoreru_n: en sommant ces majorants, on en déduit un majorant deS_n.

Ceci permet d’introduire plusieurs techniques pour montrer qu’une série à termes positifs converge.

Théorème 1.10(Critère de comparaison).

Soient P

n≥0unet P

n≥0vndeux séries à termes positifs telles qu’à partir d’un certain rang :0≤un≤vn. 1. Si P

n≥0v_nconverge, alors P

n≥0u_nconverge.

2. Si P

n≥0u_ndiverge, alors P

n≥0v_ndiverge.

Preuve.

♦ EXERCICE1.11.

Déterminer la nature de la série de terme général : 1. u_n= 5

4ⁿlnn. 2. u_n=lnn

n .

Théorème 1.11(Critère de négligeabilité).

Soient P

n≥0u_net P

n≥0v_ndeux séries à termes positifs telles que u_n=o(v_n).

1. Si P

n≥0v_nconverge, alors P

n≥0u_nconverge.

2. Si P

n≥0undiverge, alors P

n≥0vndiverge.

Preuve.

♦

ECE 2ème année 1.5 Compléments sur les séries

EXERCICE1.12.

Déterminer la nature de la série de terme général : 1. un=n⁵

eⁿ. 2. u_n= lnn

np n.

Théorème 1.12(Critère d’équivalence).

Soient P

n≥0u_net P

n≥0v_ndeux séries à termes positifs.

Si u_n∼v_n, alors les deux séries P

n≥0u_net P

n≥0v_nsont de même nature.

Preuve.

♦ EXERCICE1.13.

Déterminer la nature de la série de terme général : 1. u_n= 1

n(e 1 n−1).

2. u_n= n²+2 n^α+1.

1.5.2 Convergence absolue

Définition 1.4(Convergence absolue).

La série P

n≥0u_nest absolument convergente lorsque la série P

n≥0|u_n|converge.

Théorème 1.13(Convergence absolue et convergence).

Toute série absolument convergente est convergente.

Remarque.

Pour une série à termes quelconques, on peut donc étudier la série des valeurs absolues qui est une série à termes positifs et si cette dernière converge, alors la série initiale converge.

Exemple 1.6.

La série P

k≥0

(−1)^k

3^k est absolument convergente car P

k≥0|(−1)^k 3^k | = P

k≥0

1

3^k qui est une série convergente.

On obtient la convergence de la série mais pas la valeur de la somme.

Mais on aurait pu obtenir la convergence directement, car(−1)ⁿ 3ⁿ =

³−1 3

´n

donc la série concernée est la série géométrique de raison−1/3 donc convergente.

1.5 Compléments sur les séries ECE 2ème année

Remarque.

La réciproque est fausse : la sérieP(−1)ⁿ⁻¹

n converge mais elle ne converge pas absolument.

Théorème 1.14.

Si une série est absolument convergente, alors on ne change ni sa nature, ni sa somme, en changeant l’ordre de sommation de ses termes.

1.5.3 Séries géométriques et séries géométriques dérivées

Définition 1.5.

Pour toutpentier, la série P

n≥pqⁿs’appelle série géométrique de raisonq.

Proposition 1.15.

La série P

n≥0qⁿest convergente ssi|q| <1et dans ce cas ^+∞P

n=0qⁿ= 1 1−q. Généralisation : la série P

n≥pqⁿest convergente ssi|q| <1et dans ce cas ^+∞P

n=pqⁿ= q^p 1−q. Preuve.

On sait que la suite (qⁿ)n≥0converge vers 0 ssi|q| <1. Donc la série P

n≥0qⁿne peut converger que si

|q| <1. (condition nécessaire de convergence) Supposons|q| <1. AlorsS_n= Pⁿ

k=0q^k=1−qⁿ⁺¹

1−q . Orqⁿ⁺¹_n−→

→+∞0 car|q| <1. Donc la suiteSconverge vers 1

1−q ce qui prouve que la série converge et que sa somme vaut 1 1−q.

Pour la généralisation, il suffit de d’utiliser la formule généralisée de la somme géométrique ... ♦

Proposition 1.16(Convergence des séries géométriques dérivées première et deuxième).

1. La série P

n≥1nqⁿ⁻¹converge ssi|q| <1et dans ce cas^+∞P

n=1nqⁿ⁻¹= 1 (1−q)². 2. La série P

n≥2n(n−1)qⁿ⁻²converge ssi|q| <1et dans ce cas^+∞P

n=2n(n−1)qⁿ⁻²= 2 (1−q)³.

Remarque(Moyen mnémotechnique et justification des noms).

1. d

d qqⁿ=nqⁿ⁻¹et d d q( 1

1−q)= 1 (1−q)².

2. Si on dérive deux foisqⁿon obtientn(n−1)qⁿ⁻²et de même la dérivée seconde de 1 1−q est 2

(1−q)³.

ECE 2ème année 1.5 Compléments sur les séries

Exemples 1.7(d’application).

1. Convergence de la série P

n≥0nqⁿ.

nqⁿ =q(nqⁿ⁻¹) et q 6=0 donc les séries de terme général (nqⁿ) et (nqⁿ⁻¹) sont de même nature

(cf opérations sur les séries).

Et si|q| <1, cas de convergence, on a^+∞P

n=0nqⁿ=q µ_+∞

P

n=1nqⁿ⁻¹

¶

= q

(1−q)². 2. Convergence de la série P

n≥0n²qⁿ.

∀n≥0,n²qⁿ=[n(n−1)+n]qⁿ=q²[n(n−1)qⁿ⁻²]+nqⁿ. Or si|q| <1, les séries P

n≥0n(n−1)qⁿ⁻²et P

n≥0nqⁿsont convergentes (d’après la proposition et ce qui précède) donc (opérations sur les séries) la série P

n≥0n²qⁿconverge et

+∞P

n=0n²qⁿ=q² 2

(1−q)³+ q

(1−q)² =2q²+q(1−q)

(1−q)³ =q(q+1) (1−q)³. Si par contre,|q| ≥1, cette série diverge carn²qⁿ 9

n→+∞0.

EXERCICE1.14.

Etude de la série de terme général 2k²+3k+5 2^k .

1.5.4 Série exponentielle

Définition 1.6.

La série P

n≥0

xⁿ

n! s’appelle série exponentielle.

Proposition 1.17.

Pour tout nombre réel x,la série P

n≥0

xⁿ

n! est convergente et^+∞P

n=0

xⁿ n! =e^x.

EXERCICE1.15.

Etude de la série de terme général 2k²+3k+5

k! .

1.5.5 Comparaison avec une intégrale : le principe

Soitf une fonction deR+dansRdécroissanteetu_k=f(k).

On a alors par décroissance def : pour toutk∈N, pour toutt∈[k;k+1],f(k+1)≤f(t)≤f(k).

On intègre cette inégalité (les bornes étant croissantes) : Zk+1

k

f(k+1)d t ≤ Zk+1

k

f(t)d t≤ Zk+1

k

f(k)d t

1.5 Compléments sur les séries ECE 2ème année

On calcule en n’oubliant pas quekest une constante : f(k+1)£

t¤k+1 k ≤

Z_k+1

k

f(t)d t ≤f(k)£ t¤k+1

k

Ce qui donne :

u_k+1≤ Zk+1

k

f(t)d t≤u_k

On somme les termes de cet encadrement pourkallant de 0 àn−1 :

nX−1 k=0

uk+1≤

nX−1 k=0

Z_k+1

k

f(t)d t≤

nX−1 k=0

uk

On utilise ensuite la relation de Chasles pour le membre du milieu dans cette inégalité, et un chan- gement d’indice sur la première somme :

Xn k=1

u_k=Sn−u₀≤ Z_n

0 f(t)d t≤Sn−un

On peut ensuite renverser la relation, en pensant à couper l’encadrement en deux inégalités dis- tinctes qu’on traite différemment.

-l’inégalité de gauche donne :

S_n≤ Zn

0 f(t)d t+u₀ -l’inégalité de droite donne :

S_n≥ Zn

0 f(t)d t+u_n

On rassemble tout cela : on utilise ensuite la relation de Chasles pour le membre du milieu dans cette inégalité, et un changement d’indice sur la première somme :

Zn

0 f(t)d t+u_n≤S_n≤ Zn

0 f(t)d t+u₀

Cette méthode permet de ramener l’étude de la convergence d’une série à l’étude d’une intégrale.

Or, s’il y a très peu de méthodes pour calculer des sommes (télescopages, séries géométriques et c’est tout !), il y en a de nombreuses pour les intégrales (primitivation directe, intégration par parties, changement de variables).

1.5.6 Séries de Riemann

Proposition 1.18.

P

n≥1

1

n^α converge ssiα>1.

Preuve.

ECE 2ème année 1.5 Compléments sur les séries

♦

1.6 Point méthode ECE 2ème année

1.6 Point méthode

Pour répondre à la question " étudier la nature de la série .... et/ou calculer la série ... " : 1. Le terme général de la série tend-il vers 0 ?

Si la réponse est non, la série est divergente, si la réponse est oui, il faut poursuivre l’étude.

2. Peut-on calculerS_n? (par exemple, dans le cas d’une somme télescopique)

Si oui, vous pouvez conclure quant à la nature de la série via la définition etcalculerla somme.

3. Est-ce une série de référence? Ou peut-elle se ramener à une série de référence?

Si oui, vous pouvez conclure quant à la nature de la série (résultats du cours), etcalculerla somme.

4. Le terme général est-il positif? Si oui, essayez de majorer (ou minorer) les sommes partielles (Sn) pour obtenir la convergence (ou la divergence). (On commencera par majorer (minorer) le terme général).

Si non, étudiez l’absolue convergence, pour vous ramener à une série à termes positifs ...

Dans tous les cas, suivez les indications de l’énoncé!!

Remarque.

Seuls les points 2. et 3. donnent une méthode pourcalculerdes séries. Les autres points donnent uniquement des méthodes pour étudier lanaturede la série (convergence ou divergence).

EXERCICE1.16.

Etude de la nature des séries de termes généraux suivantes : 1. u_n=n²+1

n⁴+2 2. u_n=lnn

n³ EXERCICE1.17.

Étudier la nature des séries de terme général 1. u_n=(−1)ⁿ

n⁴ 2. u_n= x²ⁿ

2n!(on donnera sa somme également), 3. u_n=e⁻ⁿ².