Chapitre III : COMPLÉMENTS SUR LES SUITES ET LES SÉRIES
I – Compléments sur les suites
1) Comparaison de suites réelles
a) Suite négligeable devant une suite
Définition 1 : On dit que la suite est négligeable devant la suite au voisinage de ∞ (ou plus simplement négligeable devant la suite ) s’il existe une suite convergeant vers 0 telle que (à partir d’un certain rang).
On note : → ou plus simplement et on lit est un "petit o" de .
Exemple 1 :
→∶ en effet, #1
et lim1 0
Théorème 1 : (caractérisation pratique de la négligeabilité) Si & 0 (à partir d’un certain rang), alors :
⇔ lim→ 0
Remarque 1 :
1 signifie que converge vers 0.
Propriété 1 : (Transitivité)
Si et . alors . Propriété 2 : (Combinaison linéaire)
Si . et . alors, pour tous réels 1 et 2, 1 2 . Théorème 2 : (négligeabilités usuelles)
Pour tout réel 1 3 0 :
ln 4 et 45
Exemple 2 :
1 On déduit de la propriété 1 et du théorème 2 que : ln 5 2 ln 9 ce qui se traduit par lim→ln
9 0 3 √ 5 ce qui se traduit par lim→√
5 0 ou encore lim→√ 5< 0
b) Suites équivalentes
Définition 2 : On dit que les suites et sont équivalentes au voisinage de ∞ (ou plus simplement équivalentes) s’il existe une suite = convergeant vers 1 telle que = (à partir d’un certain rang).
On note : →~ ou plus simplement ~ et on lit est équivalent à . Théorème 3 : (caractérisation pratique de l’équivalence)
~ ⇔ ou encore ⇔ ~
Si de plus & 0 (à partir d’un certain rang), alors :
~ ⇔ lim→ 1 Exemple 3 :
1 ln 9 donc ln 9~ 9
Ou encore ln 9~ 9 car lim→ln 9
9 lim→@ln
9 1A 1 2 √ 5 peut se traduire par √ 5~ 5
Propriété 3 : (Opérations sur les équivalents) Soient trois suites , et .
1 Si ~ alors .~ .
2 Si ~ et si & 0 et & 0 à partir dBun certain rang alors 1 ~ 1
3 Si ~ et si .~ C alors .~ C
4 Si ~ alors, pour tout entier naturel E, F~ F
5 Si ~ si 3 0 et 3 0 à partir dBun certain rangalors, H ~ H
Remarque 2 : Il n’existe aucune règle d’addition et de composition d’équivalents.
Théorème 4 : (équivalents usuels)
1 Pour toute suite telle que lim→ 0, on a les équivalents suivants ∶ ln1 ~ et 5J 1~
2 10 11 122 ⋯ 1EJ1EJ1 1EE ~∞1EE si 1F & 0
Exemple 4 :
Étudier les limites des suites à l’aide d’équivalents : ln @1 1
A et @5LM J 1A
Théorème 5 : Soient deux suites et .
1 Si ~ et si converge vers un réel ℓ alors converge aussi vers ℓ.
2 Si converge vers un réel ℓ OPO OQR alors ~ ℓ. Remarque 3 :
On n’écrit jamais ~ 0 !!!
2) Suites récurrentes de la forme L V Propriété 4 :
Soit W une partie de ℝ, V une application de W vers Y et 1 ∈ W. Il existe une unique suite définie par [ 1 et L V.
Remarque 4 : Si l’on considère V une application de W vers ℝ et non vers W, la donnée [ ∈ W et la relation de récurrence ne suffisent pas à définir une suite : il faut que VW ⊂ W, c’est-à-dire que W soit stable par l’application V.
Exemple 5 :
1) Considérons la fonction V: ] ↦_<L_. On ne peut définir une suite en posant [ JL` et L V. En effet, L L9, J1, 9 1 et a n’est pas défini …
2) Considérons la fonction V: ] ↦ √1 J ] définie sur bJ∞; 1b. Pour définir une suite, il faut au moins deux conditions : [ d 1 mais aussi L d 1. Cette deuxième condition se traduit par [ ∈ e0; 1b. On vérifie que e0; 1b est stable par V : donc , pour toute valeur [ ∈ e0; 1b, la suite L H1 J est bien définie.
Définition 3 : Soit W une partie de ℝ et V une application définie sur W. On appelle point fixe de V tout réel ] ∈ W tel que V] ].
Théorème 6 : Théorème du point fixe
Soit f un intervalle de ℝ et V une application définie sur f à valeurs dans g. Soit définie par [ ∈ f et L V, pour tout ∈ ℕ.
Si converge vers un réel ℓ et si V est continue en ℓ alors ℓ est un point fixe de V.
Autrement dit Vℓ ℓ.
Remarque 5 : Ce théorème permet de déterminer la limite d’une suite récurrente dans le cas où l’on sait déjà qu’elle converge. Il ne permet pas de justifier la convergence d’une suite.
Exemple 6 : Reprenons la suite définie par [ ∈ e0; 1b et L H1 J , pour tout ∈ ℕ. On a vu que e0; 1b est stable par V: ] ↦ √1 J ], on démontre facilement par récurrence que, pour tout ∈ ℕ, ∈ e0; 1b.
Si la suite est convergente, alors sa limite ℓ appartient à e0; 1b. Comme V est continue sur e0; 1b, alors V est continue en ℓ et donc, d’après la théorème 6, ℓ est un point fixe de V.
V] ] ⇔ √1 J ] ] ⇔ j1 J ] ]] k 0 ⇔ j ] ] J 1 0
] k 0 ⇔ l] J1 √5
2 ou ] J1 J √5 ] k 0 2
⇔ ] J1 √5 2
Conclusion : no la suite est convergente, alors sa limite est J1 √5 2 .
II – Compléments sur les séries 1) Rappels de séries usuelles
a) Série de terme général LJ Pour tout ∈ ℕ, p q FLJ F
Fr[
LJ [
La série de terme général LJ se traduit donc par la suite LJ […
b) Séries géométriques Théorème 7 :
Les séries q tF, q EtF<L et q EE J 1tF< convergent si et seulement si |t| v 1.
Dans le cas de convergence, les sommes de ces séries sont : q tF
Fr[
1 J t1
q EtF<L
FrL
1 J t1 série géométrique dérivée d′ordre 1
q EE J 1tF<
Fr
1 J t2 9 série géométrique dérivée d′ordre 2
c) Série exponentielle Théorème 8 :
∀] ∈ ℝ, q]
! converge et q]
!
r[
5_
2) Séries de Riemann Définition 4 :
On appelle xéyoz {z |oz}~OO toute série de terme général 1
où = est une constante réelle.
Théorème 9 :
La série de Riemann q 1
converge si, et seulement si, = 3 1.
Exemple 7 : Les séries q 1
et q 1
√ convergent ∶ = 2 3 1 pour la première et = 3
2 3 1 pour la seconde.
La série q1
diverge car = 1 ∶ elle est appelée série harmonique.
3) Critère de comparaison de séries à termes positifs a) Cas où d
Théorème 10 : Soient et deux suites telles que, à partir d’un certain rang, 0 d d . 1 Si la série q converge, alors la série q converge.
2 Si la série q diverge, alors la série q diverge.
Exemple 8 :
Étudier la nature des séries qln
9 et qln
b) Cas où
Théorème 11 : Soient et deux suites dont les termes sont positifs (au moins à partir d’un certain rang).
1 Si et si la série q converge, alors la série q converge.
2 Si et si la série q diverge, alors la série q diverge.
Remarque 6 :
Ce critère de comparaison s’utilise en général avec les séries de Riemann : Si l’on démontre que lim→ 0, alors @1
A Si de plus, = 3 1, alors q 1
converge et donc la série q converge aussi.
Exemple 9 :
Étudier la nature des séries qln 1
9 et q 5<√
c) Cas où ~
Théorème 12 : Soient et deux suites dont les termes sont positifs (au moins à partir d’un certain rang).
1 Si ~ alors les séries q et q sont de même nature si lBune converge, lBautre converge et si lBune diverge, lBautre aussi.
Exemple 10 :
Étudier la nature des séries q 1
9 2 ln et q 2
3 5 √
4) Exemples de séries à termes de signe quelconque Définition 5 :
On dit que la série q est ~xPRQ}zO POzyzOz lorsque la série q|| converge.
Théorème 13 :
Toute série absolument convergente est convergente.
Exemple 11 : La série qJ1
est absolument convergente ∶ en effet J1
1
est le terme général dBune série convergente.
Remarque 7 :
Il existe des séries qui ne sont pas absolument convergentes mais qui convergent malgré tout : on les appelle des séries semi-convergentes.
Exemple 12 : La série qJ1
nBest pas absolument convergente mais converge étude en exercice.
Elle est donc semi J convergente.
III – Programmation d’algorithmes avec SCILAB
1) Instructions conditionnelles L’instruction
if condition then instruction,end permet d’effectuer une instruction si la condition est satisfaite.
Exemple 13 : Soit la suite d’instructions :
a=rand(),if a<0.5 then disp(‘c’’est gagné!’),end
Si la variable a contient une valeur inférieure à 0,5 alors l’instruction d’affichage « c’est gagné ! » est effectuée, sinon elle est ignorée.
L’instruction dans disp contient une apostrophe, il faut donc la « doubler ».
L’instruction
if condition then instruction1,else instruction 2,end permet d’effectuer une instruction si la condition est satisfaite et d’en effectuer une autre sinon.
Exemple 14 : Soit la suite d’instructions :
a=rand(),if a<0.5 then disp(‘PILE’),else disp(‘FACE’),end
Si la variable a contient une valeur inférieure à 0,5 alors l’instruction d’affichage « PILE » est effectuée, sinon l’instruction d’affichage « FACE » est effectuée.
Remarque 8 :
• Si plusieurs instructions suivent then ou else, il faut les séparer par des virgules ou par des points-virgules.
• On peut ne pas écrire then , si on le souhaite :
if a<0.5 disp(‘PILE’),else disp(‘FACE’),end
2) La boucle « for » La boucle
for k=n1:n2 instruction,end
permet de répéter une instruction (ou plusieurs séparées par des virgules ou des points-virgules) pour toutes les valeurs k=n1, k=n1+1, k=n1+2, … ,k=n2.
Exemple 15 : Calcul et affichage du terme de rang de la suite de premier terme [ 1 et définie par L = 3− 1 :
n=input(‘entrez la valeur de n :’);
u=1; // valeur du premier terme u0 for k=1:n u=3*u-1;
end disp(u)
Si l’utilisateur a entré la valeur 4 à l’invite entrez la valeur de n :, Scilab affiche : entrez la valeur de n :4
41.
Remarque 9 :
• Les points-virgules permettent de ne pas afficher chaque étape du programme. S’ils sont supprimés ou remplacés par des virgules, Scilab affiche les termes [, L, , 9 et a et pas seulement a.
• La syntaxe de l’exemple 15, avec les retours à la ligne et les commentaires est celle que l’on écrit dans SciNotes.
La boucle
for k=n1:p:n2 instruction,end
permet de répéter une instruction (ou plusieurs séparées par des virgules ou des points-virgules) pour toutes les valeurs k=n1, k=n1+p, k=n1+2p,…jusqu’à ce que k prenne la plus grande valeur inférieure ou égale à n2. Le réel p s’appelle le pas de la boucle.
Exemple 16 : Calcul et affichage des images par la fonction exponentielle des réels de 0 à 1 avec un pas de 0,1 :
for k=0:0.1:1 a=exp(k);disp(a,'exp('+string(k)+')='),end Scilab affiche :
exp(0)=
1.
exp(0.1)=
1.1051709 exp(0.2)=
1.2214028 exp(0.3)=
1.3498588
[...]
exp(0.8)=
2.2255409 exp(0.9)=
2.4596031 exp(1)=
2.7182818
Remarque 10 :
Dans la commande disp, pour mélanger des mots et des valeurs, on utilise la commande
string qui transforme les valeurs en caractères, et « + » entre les différentes parties écrites chacune entre apostrophes.
3) La boucle « while » La boucle
while condition do instruction,end
permet d’effectuer une instruction (ou plusieurs séparées par des virgules ou des points-virgules) un certain nombre de fois, inconnu à l’avance, tant que la condition est satisfaite.
Exemple 17 : Soit la suite () de premier terme [ = 1 et définie par L =
. Calcul et affichage du premier terme inférieur ou égal à 0,1 :
u=1; // valeur du premier terme u0 k=0 ; //rang du premier terme u0 while u>0.1 do u=u/2;k=k+1;
end
disp(u,’le terme de rang ’+string(k)+’:’) Scilab affiche :
le terme de rang 4:
0.0625 Remarque 11 :
• On peut ne pas écrire do si on le souhaite ;
• Si le test se révèle faux dès le premier passage dans la boucle, l’instruction n’est jamais effectuée ;
• Comme dans l’exemple 17, la boucle while est très utile pour afficher le plus petit entier k pour lequel la condition est fausse.
4) Création de fonctions
Lorsqu’une fonction est créée, aucun calcul n’est effectué, elle est « seulement » enregistrée. Les calculs ne seront effectués que lors de l’appel de la fonction dans le programme qui la contient.
L‘instruction
function [z]=g(x),instructions, endfunction
permet de créer la fonction nommée g qui, à chaque variable x (choisie) associe le réel z décrit dans instructions par z=...
Exemple 18 : L’instruction
function [z]=g(x),z=3*x^2-2*x+5, endfunction permet de créer la fonction définie par (]) = 3]− 2] + 5.
