Définition d'une suite

(1)

Généralités

Définition d'une suite

Une succession de valeurs réelles uo,U1, U2, . __s'appelle une suite numérique réelle.

Monotonie

Suite croissante:

pour tout entier n ~ 0,Un ~ Un+1·

Suite décroissante:

pour tout entier n ~ 0,Un ~ Un+1·

Suite constante:

pour tout entier n ~ 0,Un=Un+1·

Suite monotone:

suite croissante ou bien décroissante.

Périodicité

Suite périodique de période p (p E 1\,1): pour tout entier n ~ 0,Un+p =Un·

limites de suites

limite infinie

Une suite Ua pour limite (ou tend vers)+00 lorsque tout intervalle [M; +oo[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux.

Autrement dit: pour tout réel M, il existe un rang N àpar- tir duquel tous les termes sont supérieurs à M.

Suite convergente

Une suite U a pour limite e, avec e E IR, si tout intervalle ouvert contenant e contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Autrement dit: pour tout réel^E;

>

0, il existe un rangNàpartir duquel tous les termes sont dans l'intervalle Je - E; e+E[.

Limite d'une suite

f(un}

a et ^ex sont deux réels ou + 00 ou - 00.

Si_n~+oclim un=a et _x-;.aIim {(x) =ex, alors _n-++oclim {(un) =a.

Théorème des gendarmes

Soit e EIR. Si pour tout n, un ~ Vn ~ wn avec lim un= lim Wn=e, alors lim vn=e.

n...,.+oo n-7+CO n--7+Cû

Théorèmes de comparaison

Si pour tout n, U_n~ v_n avec _{n-7 +0:}lim un =+00 alors

Suite bornée

Suite à la fois majorée et minorée:

pour tout entier n ~ 0, m ~ Un ~ M. Si pour tout

n,

^Vn ^~ ^Wn ^avec

lim vn= _ 00.

n---) +x

lim wn = - 00 alors

n-7 +x

Suites arithmétiques

Théorème des suites monotones et bornées

Toute suite croissante et majorée converge.

Formules valables sur iC,donc sur IR.

Premier terme Uo: un+1=un+r ;un=uo+nr.

Somme desnpremiers entiers non nuls, 1+ 2+ ... + n = n(n +1) .

2

Somme desnpremiers termes d'une suite arithmétique de premier terme a et de nème terme b

Sn=nX--' a+b 2

Suites géométriques

Formules valables suriCdonc sur IR.

Premier terme Uo : Un+1=q Un ; Un=Uo qn.

Somme des.n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme Uoet de raison

q'*

1,

1-

qn Sn= uox~

Toute suite décroissante et minorée converge.

Suites adjacentes

Deux suites U et v sont adjacentes lorsque l'une croît, l'autre décroît et leur différence tend vers O.

Deux suites adjacentes convergent et ont même limite.

Principe de récurrence

On démontre qu'une proposition est vraie, pour tout entier naturel n ~ no, en procédant comme suit:

a. Initialisation : on vérifie que la proposition est vraie au rang no-

b. Hérédité: on démontre que si la proposition au rang m (m ~ no) est vraie (hypothèse de récurrence), alors celle au rang m+1l'est également.

c. Conclusion: la proposition est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal àno·

(2)

1

z

Pour z

*

^{0, -} ⁼^-2 ^;

z [zl

IZ11=lz1[ ; IZ11=I-z11·

Modules et arguments d'un produit, d'un quotient

Si Z1

*

⁰

et

^Z2

*

^0,

Z1Z2

=

^(r1 ei81)(r2 ei82)

=

r1 r2ei(8, + 82).

M(z)

Nombres complexes

---t -7 -7

OM=xu+ yv

OP = x = Re(z) = r cos e.

OQ = Y = Im(z) = rsin e.

(r; e) sont des coordonnées polair~s du point M.

Module:OM=r=lzl=~x2+y2 .

Arguments de z (z

*

0) : arg (z) = e+k271', k E7L.

(0;

Û ,

iÎ)

est un repère orthonormal direct du plan.

Forme algébrique: Z = x+iy (x et y réels).

Formes trigonométrique et exponentielle (z

*

^0),

z

= r(cose + isine) = rei6,-r

>

^O.

Vecteurs et complexes

---+ -

Le vecteur AB a pour affixe ZB- ZAo

La distance AB est AB = IIABII=[ZB -zAI·

Si A, B et C sont distincts,

(û,

^{AB) = arg} ^(ZB-ZA);

(---+ ---+)

(z -z )

AB,AC =arg ~.

ZB -ZA

Opérations algébriques

SiZ1 =X1 +iY1 et Z2=X2 +iyz.

alors Z1+Z2 = X1+X2+i(y1+Y2).

Z1Z2=X1X2 - Y1Y2+i(x1Y2+Y1X2).

Arguments

Si Z1

*

⁰

et

^Z2

*0,

arg(z1zZ) = arg(z1) +arg(z2) ; arg(z~)

=

narg(z1)' n

E

7L.

arg (

;J

= - arg(z1) ; arg(

;J

⁼^arg(z1) ^{- arg(z).}

ei(6+6') =ei6ei6' ; ~= e-i6 ;

(ei6t

=ein6, n E7L.

el6

Conjugué

Si z=x+iy=rei6, z=x-iy=re-i6•

z+z z-z

x = Re(z) =

-2-;

Y = Im(z) = ~ .

z=z;

zz=14.

ZE/R{=}z=

z.

z

^imaginaire ^{pur {=}}

z

^{= -}

z.

Inégalité triangulaire

IZ1+z2[~[z1[+[z21·

Nombres complexes et transformations

i'

Écriture complexe d'une translation de vecteur --+

w

d'affixe

b :

^{z' =}

z

⁺

b.

~ Écriture complexe d'une homothétie de centre

n

d'affixe

(Il et de rapport k non nul:

z' =k(

z -

^(Il)+(Il.

ii

Écriture complexe d'une rotation de centre

n

^d'affixe ^(Il

et d'angle e radians,

z'

⁼^ei8 ^{(z -} ^{(Il )}⁺^(Il.

Équation paramétrique d'un cercle

Équation paramétrique complexe du cercle de centre

n,

d'affixe (Il,et de rayon r,

z' =(Il +rei8 , avec e E [0 ;271'[.

Affixe d'un barycentre

l'

^Si^A ^et^Bont pour affixes ZAetZB,le milieu de[AB] a pour

z

^+z

affixe ~.

2

• SiAl, .., An ont pour affixes Zl ,..,Zn, le barycentre de

Al P" An affectés des coefficients a1,... ,an de somme non

nulle a pour affixe n

2:

^akzk

k~1

"1

MÉMENTO • AlgOb"

-J

(3)

Il ^Identités remarquables

Valables sur C et donc sur IR.

(a +b)2=a2+2ab +b2.

(a - b)2=a2- 2ab +b2.

(a +b)3=a3+3a2b +3ab2 +b3.

(a - b)3=a3- 3a2b +3ab2 - b3.

a2- b2=(a+b)(a - b) . a2+b2=(a+ib)(a - ib).

Formule du binôme de Newton

Si a E C, bEC et n E N*,

p-n( ) (a+b)n :=p=o

i

ⁿp- ^an-PbP

:=(~)anbo +(~}n-'b' + ... +(~}obn

Trigonométrie

--7 -t ~

-t--+

op=coseu OQ=sinev;AT=taneii

tan (a +b)= tana + tanb 1- tana tanb . tan(a-b)= tana-tanb

1+ tana tanb .

Valeurs remarquables

e ^'TI"

°

^'TI"^'TI"^'TI"

-

6

^-

- -

4

²

3

^'TI"

cos e

.J3 fi

¹1

-

^{- 1}

^- ^° ^-

2 22

sin e

1

°

fi _.J3

-

¹

2

- - °

2 2

tan e

°

.J3 .J3

1

><

-

°

3 Angles associés

(Savoir les retrouver sur le cercle trigonométrique).

cos(-a) = cos a: sin(-a) = - sin a .

cos('TI" - a) = - cos a : sin('TI" - a) = sin a .

cos^('TI" + a) = - cos a : sin^('TI" + a) = - sin a .

cos (~ - a) = sin a : sin (~ - a) = cos a.

2 2

cos (~ + a) = - sin a : sin (~ + a) = cos a.

2 2

Équations trigonométriques

jX:=Œ+k2'T1"

cosX = cosŒ <=;> ou x:= - Œ+ k271

jX:=Œ+k2'T1"

sin

x

= sinŒ <=;> ou

x:='TI"-Œ+k2'T1"

tan

x

^{= tan} ^Œ ^<=;> ^X ⁼^Œ⁺^k'Tl".

Formules d'addition et de duplication

sin2e +cos2e = 1.

sine ( 'TT )

tane=--cose e'=-2 +k'TT. .

2 1

1+tan e=--·

cos2e

ei(a+b) =eia eib.

cos (a +b) = cosa cosb - sina sinb . cos (a - b) = cosa cosb + sin a sinb.

sin(a +b) = sina cosb + sinb cosa.

sin(a-b)=sina cosb-sinb cosa.

cos2a =cos2 a-sin2 a = 2cos2 a - 1

= 1 - 2sin2 a.

sin2a = 2 sina cosa.

Équation du second degré

Soit a, b et c des nombres réels, a;6

°

^{et Ll =}^b2^- ^4ac.

L'équation az2 +bz + c =

°

^admet:

., Si Ll>0, deux solutions réelles:

-b __-_fi._

et

_-b_+_fi._A.

2a 2a

., Si Ll = 0, une solution réelle double:

_É-.

2a

i'

^{si Ll}^<0, deux solutions complexes conjuguées, -b-i~__ et -b+i~ .

2a 2a

Dans tous les cas, az2 +bz + c = a (z - z,) (z - Z2).

b .

c

z,

⁺^Z2 ^{= --}

et z,

^Z2 ^{= - .}

a a

sin2a = 1- cos2a 2 cos2a = 1+ cos2a

2

(4)

Relations dans le triangle Théorème de la médiane

Si1est le milieu du segment [AB]. pour tout point

M

du plan, ABz

MIIZ +MBz=2Mf2+--

M 2 .

Relations d'AI Kashi

Dans tout triangle ABC, si a,

b

et e désignent les longueurs des côtés opposés aux angles Â , Êlet

ê,

aZ =bZ +eZ- 2be cos Â ;bZ =eZ+az - 2ea cos B ; eZ=aZ+bZ- 2ab cos

ê.

Calculs dans le plan ou l'espace Longueurs

=

Hauteur d'un triangle équilatéral de côté a :a.J3 . 2

~ Hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côté a :

ah

Aires

3 Aire d'un rectariglede côtés a et b : ab.

o

Aire d'un carré de côté a : aZ.

=

Aire d'un triangle de base

b

et de hauteur

h: b

x

h .

. 2

~ A'

d' . l'

'1 t' 1

d

At' aZ.J3

~ Ire un tnang e eqUi a era e co e a : --.

4 o

Aire d'un disque de rayon R : 'ITRz

3 Aire d'une sphère de rayon R : 4'ITRz.

Volumes

h désigne la hauteur et B l'aire de la base.

~ Volume d'un cylindre ou d'un prisme: B x h.

~ Bxh

.~ Volume d'un cône ou d'une pyramide:

-3-'

_ 4

.~ Volume d'une boule de rayon R : -'ITR3.

3

Vecteurs (plan et espace)

Soit A(xA; YA; ZA) , B(XB; YB; Z8), i1(x;

y;

z) et v(x' ;

y' ;

z') dans un repère donné.---+

Alors AB (xB- XA ; YB- YA ; ZB- ZA).

" (~+~.~+h.~+~)

Milieu 1de [AB]: 1

2 ' 2 '--2-'

Vecteur somme:

û

+

Il

(x+x'; y+ y'; Z+z').

Multiplication par un réel

k :

kû (kx ;

ky;

kz).

1 Barycentre (plan et espace)

• Soit (Al; al ), (Az; az ), ,(An; an) npoints pondé-

n .

rés, avec

I,

a; ""O.

;=1

n ---->->

Il

existe un unique point G tel que _{; =}

I,

₁^a; ^GA;⁼^{0, appelé}

barycentre des

n

points pondérés.

• S'il existe, le barycentre G est l'unique point tel que, pour

n ---+ [n ) ---->

tout point M, ₁

I,

₌₁^{ai MAi} ⁼ ₁₌

,L,

₁^ai ^MG.

• Le barycentre de

n

points pondérés est inchangé si on multiplie, ou divise, tous les coefficients par un même nom- bre k non nul.

• Le barycentre denpoints pondérés est inchangé si on rem- place p points (p

<

ⁿ⁾ par leur barycentre partiel affecté de la somme (non nulle) des coefficients de cesppoints.

=

L'espace est muni d'un repère (

0;

i ,j, k).

Les coordonnées du barycentre G de n points pondérés ( A; ;a; ) sont:

n n n

I,

^aix

AI,

ai

y A La;

^ZA;

;::; 1 1 i::;1 1 ;=1

xG= n 'YG= n 'ZG=--n--

I,

^ai

I,

^a; ^I,ai

i=1 i=1 i=l

• Quand la somme des coefficients de

n

points pondérés n ---+

est nulle, il n'y a pas de barycentre mais le vecteur _i=l

I,

^{ai MAi}

est constant et indépendant du point

M. Caractérisations par des barycentres

•• SoitA et B deux points distincts de l'espace. La droite (AB) est l'ensemble des barycentres des points A et B.

• Soit A et B deux points distincts de l'espace. Le segment [AB] est l'ensemble des barycentres des points A et B affec- tés de coefficients positifs.

• Soit A, B et Ctrois points non alignés de l'espace. Le plan (ABC) est l'ensemble des barycentres des points A, B et C.

• Soit A, B et C trois points non alignés de l'espace. L'inté- rieur du triangle ABC est l'ensemble des barycentres des points A, B et C affectés de coefficients strictement positifs.

Transformations du plan (ou espace)

=

Une transformation du plan (ou de l'espace) est une appli- cation Tdu plan (ou de l'espace) dans lui-même telle que - tout point admet une image par T.

- tout point admet un unique antécédent par T.

On peut alors parler de la transformation réciproque de T, qui à un point du plan (de l'espace) associe son unique anté- cédent par T.

MÉMENTO. Géométrie _

Définition d'une suite

Généralités