Tout lacet du plan complexe priv´e d’un point est-il r´etractile? 5

Universit´e Paris Diderot Analyse complexe – Ann´ee 2011-12 L3 math´ematiques

Feuille 7

Le groupe fondamental

1. Montrer que tout lacet du plan complexe est r´etractile (c’est-`a-dire strictement homotope `a un lacet constant).

2. Montrer que tout lacet de la sph`ere de Riemann est strictement homotope `a un lacet constant.

3. Montrer que la sp`ere de Riemann priv´ee d’un point est hom´eomorphe au plan complexe. En d´eduire que tout lacet de la sph`ere de Riemann priv´e d’un point est strictement homotope `a un lacet constant.

4. Tout lacet du plan complexe priv´e d’un point est-il r´etractile?

5. Soient U₁ et U₂ des ouverts simplements connexes de C tels queU₁∩U₂ est connexe par arc. Montrer queU₁∪U₂est simplement connexe.

6. Soientγ1 etγ2 deux lacets d’un ouvertU deC ayant mˆeme origine. Soitf une fonction holomorphe sur U.

6.a Montrer queR

γ₁.γ₂f(z)dz=R

γ₂.γ₁f(z)dz.

6.b En d´eduire qu’on aR

γ₁.γ₂.γ⁻¹₁ .γ₂⁻¹f(z)dz= 0.

6.c Montrer que pour U = C− {0,1}. On peut trouver γ₁ et γ₂ tels que γ₁.γ₂ ne soit pas strictement homotope `a γ₂.γ₁.

6.d Montrer qu’alors il existe un lacetγdeU, non r´etractile tel queR

γf(z)dz= 0 pour toutf ∈ H(U).

7. Consid´erons le cheminγ compos´e des chemins suivants : t7→(1−t) +it,t7→(1−t)i−t,t7→t−1−it et (t−1)i+t.

7.a Montrer queγ est un lacet strictement homotope au lacett7→e^2iπt 7.b Calculer l’int´egraleR

γdz/z.

8. Soitf une fonction enti`ere. SoitI= [a, b] un intervalle r´eel. Soitγle chemint7→(1−t)a+tb. Montrer qu’on aRb

af(t)dt=R

γf(z)dz.

9. SoitU un ouvert de C. Soitz0∈U. On dit queU est´etoil´e autour de z0si pour toutz∈U le segment [z0, z] est contenu dans U.

9.a Parmi les sous-ensembles suivants de C lesquels sont ´etoil´es autour d’un point : une boule ouverte, l’int´erieur d’un carr´e, un demi-plan ouvert, un cˆone ouvert, le plan complexe priv´e d’un point, le plan complexe priv´e d’une droite, le plan complexe priv´e d’une demi-droite ?

9.b Un ouvert ´etoil´e autour d’un point est-il connexe ?

9.c Montrer que tout ouvert ´etoil´e autour d’un point est simplement connexe.

9.d Tout ouvert simplement connexe est-il ´etoil´e autour d’un point ?

9.e Soit U un ouvert ´etoil´e autour d’un point. Soit f ∈ H(U). Soit c un chemin de U. Montrer qu’on a R

cf(z)dz= 0.

10. Soitn un entier≥2. SoitR un nombre r´eel >1. Consid´erons le lacetγ_R compos´e des lacets suivants:

t7→tR,t7→Re^2iπt/nett7→R(1−t)e^2iπ/n. 10.a CalculerR

γ_Rdz/(1 +zⁿ).

10.b En d´eduire queR∞

0 dx/(1 +xⁿ) =π/(nsin(π/n)).