Une transformation du plan est une application du plan bijective, c’est à dire telle que chaque point du plan a une image et un antécédent uniques.

Chapitre V

Similitudes planes

1.

Les transformations du plan

1.1.

Dénition

Définition 1 :

Une transformation du plan est une application du plan bijective, c’est à dire telle que chaque point du plan a une image et un antécédent uniques.

Définition 2 :

La transformation du plan la plus simple est l’identité, notée

^Id

, qui transforme chaque point en lui-même.

1.2.

Opérations sur les transformations du plan

Définition 3 :

Deux transformations du plan f et g sont égales si, pour tout point M du plan, f (M ) = g(M).

Définition 4 :

La réciproque d’une transformation du plan f est la transformation qui à chaque point N du plan, associe l’unique point M tel que f (M) = N . Cette application est bien définie si f est une transformation. On la note f ^{− 1} . Les deux égalités suivantes sont équivalentes :

f (M) = N et f ^{− 1} (N ) = M.

Définition 5 :

Les composées de deux transformations du plan f et g, notées f ◦ g et g ◦ f , sont les transformations qui à tout point M du plan associent respectivement le point f (g(M )) ou le point g(f (M)), c’est à dire

f ◦ g(M ) = f (g(M)) et g ◦ f (M) = g(f (M )).

Remarque : On peut aussi dénir laomposée de trois fontions

f

^,

g

^,

h

^{,qui à tout point}

M

^{du plan assoie lepoint}

f ◦ g ◦ h(M ) = f(g(h(M )))

^.

Proposition 1 :

Si f est une transformation du plan, alors f ◦

^Id

=

^Id

◦ f = f , et f ◦ f ^{− 1} = f ^{− 1} ◦ f =

^Id

.

Preuve. Sansdiulté.

Remarque: Laompositiondes transformations,ommeelle desfontions,n'est pasune

opérationommutative,'est àdire que

f ◦ g

^et

g ◦ f

^{ne sonten généralpas égales.Il est}

importantde teniromptede etteréserveenmanipulantlesomposées,ommel'illustre

la démonstrationde la propositionsuivante.

Proposition 2 :

Réciproquement, si f et g sont deux transformations du plan telles que f ◦ g =

^Id

ou bien g ◦ f =

^Id

alors g = f ^{− 1} et f = g ^{− 1} .

Preuve. Si

f ◦ g =

^Id,alors

f ^{− 1} ◦ f ◦ g = f ^{− 1}

^etdon

g = f ^{− 1}

^{.De même,}

f ◦ g ◦ g ^{− 1} = g ^{− 1}

^,

don

f = g ^{− 1}

^.

Proposition 3 :

Si f, g, h sont trois transformations du plan telles que f = g ◦ h, alors g = f ◦ h ^{− 1} et h = g ^{− 1} ◦ f .

2.

Le groupe des similitudes

Définition 6 :

Une similitude plane est une transformation du plan qui conserve les rapports de distances.

Proposition 4 :

Soit s une similitude plane. Quels que soient les points distincts M et N et leurs images respectives M ^′ et N ^′ par s, le rapport ^M _{M N} ^{′ N ′} est un réel positif non nul constant. On l’appelle rapport de la similitude s.

Preuve. Par dénitiond'unesimilitude,quelsquesoient

M

^,

N

^,

P

^,

Q

^{quatrepointsdistintset}

leurs images

M ^′

^,

N ^′

^,

P ^′

^,

Q ^′

^par

s

^,

M ^′ N ^′

P ^′ Q ^′ = M N P Q .

Par unsimple produiten roix, onen déduit

M ^′ N ^′

M N = P ^′ Q ^′ P Q

e qui prouve laproposition.

Remarque: Lafamilledes similitudesontientpresquetouteslestransformationsrenon-

tréesdepuisleollège,notammentellesquionserventlesdistanes,appeléesisométries.

Elle ontient aussi les transformationsdu plan déouvertes en première.

Exemple : Les translations, les rotations et les symétries axiales (réexions) sont des

isométrieset don des similitudes.

Les homothéties, déouvertes en première onservent les rapports de distanes, e sont

aussi des similitudes.

Exemple : Les projetions sur une droiteparallèlementà une autre ne onservent par les

rapports de longueurs, puisque des segments de longueurs diérentes peuvent avoir des

segmentsimagesdemêmelongueurs.Cenesontdonpassimilitudes.Cependant,onpeut

noter quee ne sont pasdes transformationsdu plan,puisqu'elles ne sontpas bijetives:

un pointsitué sur ladroite de projetion a une innitéd'antéédents etun pointhors de

ette droite n'en a auun.

Proposition 5 :

L’identité est, de manière évidente, une similitude de rapport 1.

Preuve. Soient

M

^,

N

^{,deuxpointsdistintsdu plan.}

Le rapportest

k =

^Id

(M )

^Id

(N )

M N = M N

M N = 1

^.

Proposition 6 :

La transformation réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude de rap- port ¹ _k .

Preuve. Soient

s

^une similitude,

s ^{− 1}

^{saréiproque,}

M

^,

N

^{,deuxpointsdistints duplanet}

M ^′

et

N ^′

^{leurs imagespar}

s

^.

s

^{est derapport}

k

^don

k = M ^′ N ^′ M N

^.

Deplus,

s ^{− 1} (M ^′ )s ^{− 1} (N ^′ )

M ^′ N ^′ = M N M ^′ N ^′ = 1

k

Les rapports sont bienonservés.

s ^{− 1}

^{est eetivement une similitude de rapport}

1

k

^.

Proposition 7 :

La composée de deux similitudes de rapports k et k ^′ est une similitude de rapport kk ^′ .

Preuve. C'est uneonséquene direte deladénition dessimilitudes.

Proposition 8 :

Les similitudes conservent les rapports de longueurs. Elles conservent donc les angles géométriques. (cos( ^→ u ; ^→ v ) =

→ u . ^→ v

|| ^→ u |||| ^→ v || ).

Définition 7 :

Une similitude qui conserve les angles orientés est appellée similitude directe. Le chapitre 6 est consacré à leur étude. Une similitude qui ne conserve pas l’orientation des angles est appelée similitude indirecte.

On avu en lasse de seonde qu'une façonde dénir des trianglesisométriques est basée

sur l'existene une isométrie du plan transformant un triangle en l'autre. La déouverte

des similitudes ore une dénition analogue pour les triangles ou plus généralement les

gures semblables.

Définition 8 :

Deux figures du plan sont dites semblables si il existe une similitude transformant l’une

en l’autre.

Remarque : Cette nouvelledénition est ohérenteave elle vue en seonde, puisqu'une

similitudemultiplietoutes leslongueurs par un même nombre : son rapport.

3.

Ériture omplexe

Dans ette partie, on munit le plan omplexe d'un repère orthonormé diret

(O; ~ u; ~v)

^.

Nous allons ainsi pouvoirétudier lesfontions omplexes assoiées auxsimilitudes.

Rappel : Soit un point

M

^d'axe

z

^et

M ^′

^{un point d'axe}

z ^′

^.

Soit

t

^une translation de veteur

~ u

^d'axe

b

^.

M ^′ = t(M ) ⇔

− − − − − − − − − − →

M M ^′ = ^→ u

⇔ z ^′ − z = b

⇔ z ^′ = z + b.

L'ériture omplexe d'une translation est de laforme

z ^′ = z + b

^.

Soit

h

^{une homothétiede entre}

Ω

^d'axe

ω

^{etde rapport}

k

^.

M ^′ = h(M) ⇔

− − − − − − − − →

ΩM ^′ = k ⁻ ΩM ^{− − − − − →}

⇔ z ^′ − ω = k(z − ω)

⇔ z ^′ = kz − kω + ω

⇔ z ^′ = αz + β

L'ériture omplexe d'une translation est de la forme

z ^′ = kz + b

^où

α = k ∈

^{R et}

β = − kω + ω ∈

^C.

Soit

r

^{une rotationde entre}

Ω

^d'axe

ω

^etd'angle

θ

^.

M ^′ = h(M ) ⇔ Ω M ^′

ΩM = 1

^et

( ⁻ ΩM , ^{− − − − − →}

− − − − − − − − →

ΩM ^′ ) = θ

⇔ | z ^′ − ω

z − ω | = 1

^et

arg

z ^′ − ω z − ω

= θ

⇔ z ^′ − ω z − ω = e ^iθ

⇔ z ^′ − ω = e ^iθ (z − ω)

L'ériture omplexe d'une rotation est de la forme

z ^′ = az + b

^où

α ^′ = e ^iθ ∈

^{C est un}

omplexe de module 1 et

β ^′ = −e ^iθ ω + ω ∈

^C.

Remarque : On observe que toutes es transformations ont des éritures omplexesde la

forme

z ^′ = az + b

^{,ave diérentes ontraintes sur les nombres omplexes}

a

^et

b

^.

•

^Si

a = 1

^{, la}transformation assoiée est une translationde veteur d'axe

b

^.

•

^Si

a ∈

^R

− {1}

^{, la} transformationassoiée est une homothétiede rapport

a

^.

•

^Si

a 6∈

^{R et}

|a| = 1

^,la transformation assoiée est une rotationd'angle

arg(a)

^.

Nous allons nous intéresser dans ette partie aux transformations que l'on obtient en

omettant es ontraintes, 'est à dire en imposant simplement

a ∈

^C

^∗

^et

b ∈

^{C. (Le as}

a = 0

^{ne donne pas une} transformationdu plan, ar l'imagede haque point est alors le pointd'axe

b

^.)

Théorème 1 :

Toute transformation du plan dont l’écriture complexe est de la forme

z ^′ = az + b

^ou

z ^′ = az + b

où a et b sont des nombres complexes, a étant non nul, est une similitude plane de rapport |a|. La première forme est celle d’une similitude directe, la seconde d’une similitude indirecte.

Preuve. Soient

s

^une transformationdupland'éritureomplexede laforme

z ^′ = az + b

^,

M

^et

N

^{deuxpointsd'axes respetives}

x

^et

y

^,

M ^′

^et

N ^′

^d'axes

x ^′

^et

y ^′

^{lesimages de}

M

^et

N

^par

s

^.Alors

s(M )s(N )

M N = M ^′ N ^′ M N

= |y ^′ − x ^′ |

|y − x|

= |(ay + b) − (ax + b)|

|y − x|

=

a(y − x) y − x

= |a|.

Ainsi, la transformation

s

^{onserve les rapports de distanes, e qui prouve que 'est bien une}

similitude.Sonrapportestbien

|a|

^.Ladémonstrationestlamêmesi

s

^estdelaforme

z ^′ = az +b

^,

puisque

|y − x| = |y − x| = |y − x|

^.

Soient de plus

V

^et

W

^{deux points d'axes respetives}

v

^et

w

^,

V ^′

^et

W ^′

^d'axes

v ^′

^et

w ^′

^les

images par

s

^{dees deuxpoints. Si}

s

^{aune ériture omplexe delaforme}

z ^′ = az + b

^,alors

M \ ^′ N ^′ V ^′ W ^′ = arg

w ^′ − v ^′ y ^′ − x ^′

= arg

aw + b − av − b

ay + b − ax − b

= arg

w − v

y − x

= M N V W . [

Toute similitude de ette forme onserve don les angles orientés, il s'agit don de la forme

générale dessimilitudesdiretes.Si

s

^{aune ériture omplexe delaforme}

z ^′ = az + b

^,alors

M \ ^′ N ^′ V ^′ W ^′ = arg

w ^′ − v ^′ y ^′ − x ^′

= arg

aw + b − av − b

ay + b − ax − b

= arg

w − v

y − x

= −[ M N V W .

Toutesimilitude de ette forme inverse don l'orientation des angles, il s'agit don de laforme

générale dessimilitudes indiretes. La formule

arg ^a−b _c−d = ( ⁻ DC; ^{− − − → −} BA) ^{− − →}

^{permetd'étudier sans di-}

ulté laonservation desangles danshaqueas.

Lapropositionpréédenten'est qu'uneimpliation.Il nousreste àprouversaréiproque,

'est à dire que toute similitude plane admet une ériture plane d'une des deux formes

proposées.

Théorème 2 :

Toute similitude plane admet un écriture complexe de la forme z ^′ = az + b si elle est directe et z ^′ = az + b si elle est indirecte.

Preuve. Soient

s

^{une similitude planede rapport}

k

^,

M

^et

N

^{deuxpoints distintsduplan,}

M ^′

et

N ^′

^{leurs images respetives par}

s

^{. On note} respetivement

z

^,

c

^,

z ^′

^et

c ^′

^{les axes des huit}

pointsainsidénis. Onsait alorsque

N ^′ M ^′

N M = k.

La forme omplexe deette égalité est

|z ^′ − c ^′ |

|z − c| = k.

Onen déduit alors que

|z ^′ − c ^′ | = k|z − c| = |k(z − c)|.

Les nombres omplexes

z ^′ − c ^′

^et

k(z − c)

^{diérent don seulement par leur argument, à la}

onjugaison près. Il faut don distinguer deux as. Soit

z ^′ − c ^′ = k(z − c)e ^iθ

^{, e qui donne la}

forme

z ^′ = az + b

^{d'une similitude direte, soit}

z ^′ − c ^′ = k(z − c)e ^iθ

^{, e qui donne la forme}

z ^′ = az + b

^{d'unesimilitude indirete.}

4. Points fixes des similitudes planes

Les translations sont des similitudes diretes qui n'ont auun point xe. La proposition

suivante armeque e sont lesseules.

Proposition 9 :

Toute similitude directe qui ne soit pas une translation admet un unique point fixe.

Preuve.Posons

z ^′ = az + b

^{l'éritureomplexe d'unsimilitude direte}

s

^{dansleplanmunid'un}

repèreorthonormé diret.Si

s

^{n'est pasune} translation,alors

a 6= 1

^{.L'axed'unpoint xepar}

s

^{doit vérier l'équation}

z = az + b

^{.Il est lair que ette équation admet une unique solution}

dansC, égaleà

ω = b 1 − a .

Théorème 3 :

Toute similitude ayant deux points fixes distincts est soit une symétrie axiale, soit l’i- dentité.

Preuve. Si'estune similitude direte, alorselle ne peutêtre qu'une translation, arsinonelle

n'aurait qu'un point xe, d'aprèsla proposition préédente. Maisune translation ne peut avoir

deux points xesque sielle estde veteur nul. C'est donl'identité.

Si'est unesimilitude indirete,notons

A

^et

B

^{sesdeux points xes et}

z ^′ = az + b

^sonériture

omplexe. Onpeutalors hoisirun repèredu pland'origine

A

^{et dontl'axe desabsissessoit la}

droite

(AB)

^{. Les axes de}

A

^et

B

^{sont alors}

z A = 0

^et

z B ∈

^R.Puisque

A

^{est un point xe,}

z A = az A + b

^{, e quidonne}

b = 0

^.Puisque

B

^{estun point xe et que}

z B

^{estun réel,on a aussi}

z B = az B = az B

^{, e qui prouve que}

a = 1

^{. L'ériture omplexe de notre similitude est don}

z ^′ = z

^{,e quisignie que'estlasymétrie d'axe}

(AB)

^.

Proposition 10 :

Toute similitude ayant trois points fixes non alignés est l’identité.

Preuve. La similitude atroispointsxes non alignésdon elle ena au moinsdeux. C'estdon

soit une symétrie, soit l'identité. Comme elle a despointsxes non alignés, e ne peut pasêtre

une symétrie.C'est don l'identité.