  Chapitre X : Suite ( compléments )

Chapitre X : Suite ( compléments )

I- Comportement global des suites :

1. Suite majorée, minorée:

Définitions 1 : Soitu_nune suite définie pour toutnn₀ (n₀ ∈ℕ, en généraln₀=0oun₀=1)

a . u_nest minorée si il existe un réel m tel que : pour tout nn₀, u_nm. b . u_nest majorée si il existe un réel M tel que : pour tout nn₀, u_nM. c . u_nest bornée siu_nest majorée et minorée.

Exemples :

a . u_ndéfinie par :u_n=n²est minorée par 0 et non majorée.

b . u_ndéfinie par :^un=−2n3n'est pas minorée et est majorée par 3.

c . u_ndéfinie par :u_n= 1

n1 est minorée par 0 et majorée par 1.

Démonstration :

Remarque : une suite peut-être, minorée ou majorée à partir d'un certain rang.

2. Suite croissante, décroissante :

Définitions 2 :Soitu_nune suite définie pour toutnn₀ a . u_nest croissante si pour toutnn₀, u_n1u_n b . u_nest décroissante si pour toutnn₀, u_n1u_n . c . u_nest constante si pour toutnn₀, ^un1=u_n.

d . u_nest monotone si elle est croissante ou décroissante.

Exemples : Étudier les variations des suitesu_n,v_netw_ndéfinie par : u_n=





II - Limite d'une suite – Suites adjacentes :

Définition 3 : Soitu_nune suite.

a . u_nadmet∞pour limite si tout intervalle du type[A ;∞[; (A∈ℝ)contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note lim

n∞u_n=∞.

b . u_nadmet−∞pour limite si tout intervalle du type]−∞; B]; (B∈ℝ)contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note lim

n∞u_n=−∞. Interprétation :

Exemples : Déterminer, en utilisant la définition, la limite des suites u_n,v_n,w_nett_n définies par ; u_n=n² , v_n=



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Propriétés 1 :

a . Si une suiteu_nest croissante et non majorée alors lim

n∞u_n=∞. b . Si une suiteu_nest décroissante et non minorée alors lim

n∞u_n=−∞. Démonstration :

Définition 4 : Soitu_nune suite et l un réel. La suite u_nadmet pour limite l si tout intervalle ouvert contenant l admet tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note lim

n∞u_n=l Interprétation :

Remarque : Lorsque la limite existe, alors elle est unique.

Exemples : Déterminer, en utilisant la définition, la limite des suites u_n,v_n,w_nett_n définies par ; u_n=1

n , v_n= 1



Remarque : Si une suiteu_nadmet une limite finie, on dit que la suite est convergente.

Dans le cas contraire, on dit qu'elle est divergente.

Exemples : n²et





Théorème 1 :(admis)

Toute suite croissante et majorée (respectivement décroissante et minorée) est convergente.

Remarque : Ce théorème permet de prouver qu'une suite est convergente sans déterminer pour autant la limite.

Théorème 2 : Soitu_ndéfinie par récurrence par la valeur initialeu₀etu_n1=fu_n. Siun est convergente et f continue, alors la limite de la suiteunvérifie f l=l.

Remarque : Ce théorème complète le précédent et permet de donner les valeurs possibles de la limite.

Démonstration :

Exemple : Étude de la suite définie par u_n1=



Définition 5 : Deux suitesu_netv_nsont adjacentes si : a . l'une est croissante et l'autre décroissante.

b . lim

n∞u_n– v_n=0.

Propriété 2 : Siunetv_nsont deux suites adjacentes avecuncroissante et vn décroissante alors : pour toutn∈ℕ, u_nv_n.

Démonstration :

Théorème 3 : Deux suites adjacentes sont convergentes et admettent la même limite.

Démonstration :

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