Compléments sur les suites et les séries

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PREPA COURCELLES 2° année

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Compléments sur les suites et les séries

1. Comparaisons des suites réelles

a. Suite négligeable devant une suite

i. Définition d’une suite 𝑢_! négligeable devant une suite 𝑣_! lorsque n est au voisinage de +∞

𝑢_! = 𝑜 𝑣_! ⟺ ∃𝜀_!telle que 𝑢_! =𝜀_!.𝑣_! à partir d’un certain rang, avec lim_!→!!𝜀_! =0

Exemple 1 : 𝑛 =𝑜 𝑛^! .

En effet : 𝑛 =_!^!.𝑛^!. Donc 𝑛= 𝜀_!.𝑛^! avec 𝜀_! = ^!_! et lim_!→!!𝜀_! = 0

Exemple 2 : 𝑛 =𝑜 𝑛^! .

En effet : 𝑛 =_!^!_!.𝑛^!. Donc 𝑛 =𝜀_!.𝑛^! avec 𝜀_! = _!^!_! et lim_!→!!𝜀_! =0

ii. Caractérisation

Si 𝑣_! ≠0 à partir d’un certain rang, 𝑢_! = 𝑜 𝑣_! ⟺ lim_!→!!^!_!^!

! =0

iii. Propriétés

• Transitivité

Si 𝑢_! = 𝑜 𝑣_! et 𝑣_! = 𝑜 𝑤_! alors 𝑢_! =𝑜 𝑤_!

• Combinaisons linéaires

Si 𝑢_! = 𝑜 𝑤_! et 𝑣_! =𝑜 𝑤_!

alors ∀ 𝑎,𝑏 ∈𝑅^!,𝑎𝑢_! +𝑏𝑣_! = 𝑜 𝑤_!

iv. Négligeabilités usuelles pour 𝛼> 0

• ln 𝑛 =𝑜 𝑛^!

• 𝑛^! = 𝑜 𝑒^!

• ln 𝑛 =𝑜 𝑒^!

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2 b. Suites équivalentes

i. Définition d’une suite 𝑢_! équivalente à une suite 𝑣_! lorsque n est au voisinage de +∞

𝑢_!~𝑣_! ⟺∃𝛼_!telle que 𝑢_! =𝛼_!.𝑣_! à partir d’un certain rang, avec lim_!→!!𝛼_! = 1

ii. Caractérisation

Si 𝑣_! ≠0 à partir d’un certain rang𝑢_!~𝑣_! ⟺ lim_!→!!^!_!^!

! =1

iii. Propriétés

• Si 𝑢_!~𝑣_! alors 𝑢_!𝑤_!~𝑣_!𝑤_!

• Si 𝑢_!~𝑣_! alors _!^!

!~_!^!

!et si 𝑢_! ≠0 et 𝑣_! ≠ 0 à partir d’un certain rang

• Si 𝑢_!~𝑣_! alors 𝑢_!^!~𝑣_!^!,∀𝑘 ∈𝑁

iv. Equivalents usuels

Soit une suite 𝑢_! telle que lim_!→!!𝑢_! = 0. Dès lors :

• ln 1+𝑢_! ~ 𝑢 _!

• 𝑒^!^!−1 ~ 𝑢_!

• 1+𝑢_! ^! −1 ~ 𝛼𝑢_!

v. Rappel sur les polynômes : ^!_!!!𝑎_!𝑛^! ~ 𝑎_!𝑛^!

vi. Limite et équivalence

• Si 𝑢_!~𝑣_! et si lim_!→!!𝑢_! =𝑙 alors lim_!→!!𝑣_! = 𝑙

• Si lim_!→!!𝑢_! =𝑙 ≠0 alors 𝑢_!~ 𝑙

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2. Suites récurrentes du type 𝒖

_𝒏!𝟏

= 𝒇(𝒖

_𝒏

)

a. Notion de point fixe d’une application

Soit f une fonction définie sur une partie A de R.

On appelle point fixe de f tout réel 𝑥∈𝐴 tel que 𝑓 𝑥 =𝑥

b. Si 𝑢_! converge vers un réel l et si f est continue en l, alors l est un point fixe de f.

Dès lors : 𝑙=𝑓(𝑙)

3. Compléments sur les séries

a. Lien entre la suite 𝑢_! et la série 𝑢_!!!−𝑢_!

b. Convergence des séries de Riemann : _!^!_! converge si 𝛼> 1

c. Comparaison des séries à termes positifs, au moins à partir d’un certain rang : i. 𝑢_! ≤ 𝑣_!. Dès lors :

• Si 𝑣_!converge alors 𝑢_! converge aussi

• Si 𝑢_!diverge alors 𝑣_! diverge aussi

ii. 𝑢_! = 𝑜 𝑣_! : dès lors, si 𝑣_!converge alors 𝑢_! converge aussi iii. 𝑢_! ∽𝑣_! : dès lors : 𝑢_! et 𝑣_! sont de même nature

d. Exemples d’études de séries à termes quelconques