TD 4 : Compléments sur les suites et les séries - Corrigé

(1)

TD 4 : Compléments sur les suites et les séries - Corrigé

Exercice 1 :

1) a) 2− 3+ 5 − 7 ~_"#2 et 8+ 3 − 1 ~_"#8 donc 2− 3+ 5 − 7

8+ 3 − 1 _"#~ 2 8 ~_"#

4 Comme lim_'→"#

4 = +∞ alors lim^'→"#2− 3+ 5 − 7

8+ 3 − 1 = +∞

b) + 2 ~_"# et on démontre que -+ + 1 ~_"#-

√+ + 1

√ = / + + 1

= /1 + 1 + 1

→ 1 quand → +∞ donc -+ + 1 ~_"#- On obtient alors 1_' = + 2

√ + + 1_"#~

√_"#~

√ ~_"# 1

√ Comme lim_'→"# 1

√ = 0 alors lim_'→"# + 2

√+ + 1 = 0

c) ∀ ∈ ℕ, 1_' = (ln( + 1) − ln())

√+ 1 = ln 8 + 1 9

√+ 1 =ln 81 + 19

√+ 1 On sait que ln(1 + :_') ~_"#:_' lorsque :_' → 0

donc ln ;1 +1

< ~^"#1

, on en déduit que ln ;1 +1

< ~^"#

~^"#

On démontre comme au b) que √+ 1 ~_"#√_"#~

On en déduit que ln 81 + 19

√+ 1 ~_"#

~^"#1 et donc lim_'→"#(ln( + 1) − ln())

√+ 1 = 1

2) + 2√

√ = + 2

√ × 1

√= + 2 _"#~

_"#~ 1

donc lim^'→"#

+ 2√

√ = lim_'→"#1

= 0 ∶ ainsi + 2

√ _"#= ?@√A On en déduit que + 2

√ + √ ~_"#√ et donc + + 2

√ _"#~ √ . 3) 1_' = √ + 1 − √ − 1

√ + 1 + √ − 1= @√ + 1 − √ − 1A@√ + 1 + √ − 1A

@√ + 1 + √ − 1A@√ + 1 + √ − 1A= @√ + 1A− @√ − 1A

@√ + 1 + √ − 1A

= ( + 1) − ( − 1)

@√ + 1 + √ − 1A = 2

C√ DE1 + 1 + E1 −1 FG

(2)

= 2

CDE1 1 E1 1 FG

) 2

CDE1 1 E1 1 FG

'→"#lim H/1 1 /1 1I ) 2 donc lim^'→"#JH/1 1 /1 1IK

) 4 et donc lim_'→"#1_' ) 1 2

Exercice 2 :

1) On démontre ce résultat par récurrence : 1_L =1 M 2 donc vrai au rang 1.

Hérédité : on suppose que 1_' M2 pour un certain entier naturel non nul et on montre que 1_'"L M 2 1_' M2 ⇒ 1_' 3 M 2 3 ⇒ 1_' 3 M 1 M 0 ⇒ 1

1_' 3 O 1 ⇒ 1

1_' 3 M 1 ⇒ 1^'"L M 2 Conclusion : pour tout entier naturel non nul , 1_' M2.

2 Posons Q: R ↦ 1 1

R 3 définie et continue sur U∞; 3W et sur U3; ∞W Si (1_') converge, comme 1_' M2, alors sa limite ℓ vérifie ℓ Y 2

De plus Q est continue sur U∞; 2U donc continue en ℓ donc d’après le théorème du point fixe, ℓ est un point fixe de Q.

Q(R) = R ⇔1 1

R 3 ) R ⇔R 4 R7R 3

R 3 ) 0 ⇔R 2R 4

R 3 ) 0 ⇔7R 2

R 3 ) 0 ⇔ R ) 2 La fonction f admet pour unique point fixe le réel 2 : ℓ =2.

3 :_'"L :_' ) 1

1_'"L 2 1

1_' 2 ) 1 1_' 4 1_' 3 2

1

1_' 2 ) 1

1_' 4 21_' 6 1_' 3

1

1_' 2

= 1

1_' 2 1_' 3

1

1_' 2 ) 1_' 3

1_' 2 1

1_' 2 )3 1_'

1_' 2 1

1_' 2 )2 1_' 1_' 2 ) 1

La suite (:_') est donc arithmétique de raison -1 et de premier terme :_L = _\^L

]^= −1

∀ ∈ ℕ^∗, :_' ) :_L 7 1` ) 1 7 171 ) 1 1 ) :_' = 1

1_' 2 ⇔ 1^' 2 ) 1

:_' ⇔ 1_' ) 1

:_' 2 ) 1 2

4) On en déduit que la suite (1_') converge et que sa limite est 2 (ce qui avait été obtenu à la question 2 mais sans la convergence).

Exercice 3 : 1) On démontre ce résultat par récurrence : 1_a b 0 donc vrai au rang 0.

Hérédité : on suppose que 1_' b0 pour un certain entier naturel et on montre que 1_'"L b0 1_' b0 ⇒ 1_' b 0 ⇒ 1_' 1_' b 0 ⇒ 1_' 1_'

2 b 0 ⇒ 1_'"L b 0 Conclusion : pour tout entier naturel , 1_' b 0.

(3)

2) a) f est la somme de deux fonctions strictement croissantes sur ℝ_" donc Q est strictement croissante sur ℝ_" (ou bien on calcule Q^d(R) =^L(1 3R O 0 sur ℝ_" )

b Q7R R )R R

2 R ) R R

2 )R7R 1

2 ) R7R 17R 1

2 du signe de R 1 sur ℝ_"

R 0 1 +∞

Q(R) − R 0 − 0 +

3) Si (1_') converge, comme 1_' b0, alors sa limite ℓ vérifie ℓ b 0

De plus Q est continue sur ℝ_" donc continue en ℓ donc d’après le théorème du point fixe, ℓ est un point fixe de Q.

D’après ce qui précède, les points fixes de Q sur ℝ_" sont 0 et 1 : valeurs possibles de ℓ sont donc 0 et 1.

4) a) Si 1_a = 0, on démontre par une récurrence simple que la suite est constante égale à 0.

Si 1_a =1, de même, la suite est constante égale à 1.

b) On démontre ce résultat par récurrence : 1_a ∈U0; 1W donc vrai au rang 0.

Hérédité : on suppose que 1_' ∈U0; 1W. pour un certain entier naturel et on montre que 1_'"L ∈U0; 1W. 1_' ∈U0; 1W ⇒ 0 M 1_' M 1 ⇒⏟

f ghi hijkligmgni ljokhhpnig hqj Ua;LW

Q70 M Q71_' M Q71 ⇒ 0 M 1_'"L M 1

Conclusion : pour tout entier naturel , 1_' ∈U0; 1W.

Pour tout ∈ ℕ, 1_'"L− 1_' = Q(1_') − 1_'. Or Q(R) − R M 0 sur U0; 1W d’après 1)b).

Ici, 1_' ∈U0; 1W donc Q(1_') − 1_' M 0 donc 1_'"L− 1_' M0 : la suite (1_') est décroissante.

La suite (1') est décroissante et minorée par 0 donc elle converge. D’après la question 2) sa limite est 0 ou 1 : il semble que ce soit 0, il faut le prouver.

0 M 1_' M 1 donc au passage à la limite 0 Y ℓ Y 1 ce qui ne permet pas de conclure … Idée : on réduit l’intervalle de départ : 0 M 1_' M 1_a car la suite (1_') est décroissante.

Au passage à la limite, 0 Y ℓ Y 1_a M 1 : 0 Y ℓ M 1, on a réussi à éliminer la valeur 1 : la suite (1_') converge vers 0.

5) Par récurrence comme au 3)b), on montre que pour tout , 1_' O1. De même, on montre que la suite (1_') est strictement croissante.

Intuitivement, il semble que la suite diverge démontrons le par l’absurde :

On suppose que le suite converge, sa limite est donc 0 ou 1. Or 1_' O 1_a car la suite est strictement croissante.

Par passage à la limite ℓ b 1_a O1 ainsi ℓ O1 ce qui contredit que ℓ est égal à 0 ou 1.

Conclusion : la suite est divergente, et comme elle est croissante, sa limite est +∞.

Exercice 4 : Soit la suite (1_') définie par son premier terme 1_a b 1 et la relation de récurrence 1_'"L = Q(1_') où Q est la fonction définie sur ℝ_"^∗ par Q(R) = R+_r.

1) Montrer que, pour tout entier naturel , 1_' est bien défini signifie que 1_' s 0.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , 1_' b 1 permet de répondre à la question.

(4)

Astuce : on étudie le signe de Q(R) − 1 = R +2

R − 1 =R− R + 2

R =(R + 1)(R− R + 2)

R O 0 sur ℝ_"^∗ Initialisation ∶ 1_a ≥ 1 donc vrai au rang 0.

Hérédité : on suppose que 1_' ≥ 1 pour un certain entier naturel et on montre que 1_'"L ≥ 1 1_'"L− 1 = Q71_' − 1 > 0 car 1' ≥ 1, par hypothèse, donc 1_'"L ≥ 1

Conclusion : pour tout entier naturel , 1_' ≥ 1 et 1_' est bien défini.

2 On étudie le signe de Q7R − R = R+2

R − R =R− R + 2

R =7R + 17R− 2R + 2

R > 0 sur ℝ_"^∗ 1_'"L− 1_' = Q71_' − 1_' > 0 car 1_' ≥ 1 > 0 : ainsi la suite 71_' est strictement croissante.

3) Absurde : supposons que la suite 71_' converge vers ℓ. D’après la question 1), ℓ ≥ 1.

D’après le théorème du point fixe, Q étant continue sur W1; +∞W donc en ℓ, la limite ℓ est un point fixe de Q.

Or Q7R − R > 0 sur ℝ_"^∗ donc Q n’admet pas de point fixe sur ℝ_"^∗ ce qui contredit la convergence de la suite 71_'.

Conclusion : la suite 71_' est donc divergente.

Exercice 5 : On s’inspire de l’exercice 3 :

On montre par récurrence que pour tout ∈ ℕ, 1_' > 0 (immédiat)

On étudie les variations de la fonction Q définie sur ℝ_" par Q7R =R+ 3R 3R+ 1 Q est dérivable sur ℝ_" et Q^d7R =73R+ 373R+ 1 − 6R7R+ 3R

73R+ 1 =3R^z− 6R+ 3

73R+ 1 = 37R− 1 73R+ 1 Q^d7R > 0 sur ℝ_" sauf en 0 et 1 donc Q est strictement croissante sur ℝ_".

Q7R − R = R + 3R

3R+ 1 − R =R+ 3R − 3R − R

3R+ 1 = −2R + 2R

3R+ 1 =2R71 − R 3R+ 1 R 0 1 +∞

Q7R − R 0 + 0 −

Si la suite converge, sa limite ℓ est un point fixe : 0 ou 1.

On étudie les différents cas : 1_a ∈]0; 1W, 1_a = 1 et 1_a > 1 1^er cas : 1_a ∈]0; 1W

Comme dans l’ex 3, on démontre que pour tout , 1_' ∈]0; 1W et que 71_' est croissante.

Ainsi elle converge. Sa limite est 0 ou 1. On élimine 0 en donnant l’encadrement : 1_a < 1_' < 1 qui, au passage à la limite se traduit par 1_a ≤ ℓ ≤ 1 ⇒ ℓ ≥ 1_a > 0 donc ℓ = 1.

2^ème cas : 1_a = 1 : la suite est constante égale à 1.

3^ème cas : 1_a > 1

Comme dans l’ex 3, on démontre que pour tout , 1_' > 1 et que 71_' est décroissante.

Ainsi elle converge. Sa limite est 0 ou 1 On élimine 0 avec l’inégalité 1_' > 1 qui, au passage à la limite se traduit par ℓ ≥ 1 donc ℓ = 1.

(5)

Exercice Exercice Exercice Exercice 6666 : 1 }

+ ~

+ 1 = }7 + 1 + ~

7 + 1 =7} + ~ + } 7 + 1 L^dégalité 1_' = 1

7 + 1 se traduit par 7} + ~ + }

7 + 1 = 1

7 + 1

et, par identification, } = 1 et } + ~ = 0 c^dest − à − dire } = 1 et ~ = −1.

Conclusion ∶ ∀ ∈ ℕ^∗, 1_' = 1 − 1

+ 1 . 2 _' = 1

'

L

= ;1 − 1

+ 1< = 1 − 1

+ 1 , ainsi

'

L

'→"#lim _' = 1

3 La série de terme général 1

7 + 1 est donc convergente et 1 7 + 1

"#

'L

= 1

Exercice 7 : On s’inspire de l’exercice précédent.

On montre comme à l^dex 6 que ∀ ∈ ℕ^∗, 1

7 + 17 + 2 = 12

+ −1 + 1 +

12

+ 2 =1 2 ;1

+ −2

+ 1 + 1 + 2<

1

7 + 17 + 2

'

L

= 1 2 ;1

+ −2

+ 1 + 1 + 2<

'

L

= 1 2 ;1

+ −2

+ 1 + 1 + 2<

'

L

= 1 2 ;1

− 1

+ 1 − 1

+ 1 + 1 + 2<

'

L

=1

2 C ;1 − 1

+ 1<

'

L

+ ; 1

+ 2 − 1 + 1<

'

L

G

= 1

2 ;1 − 1

+ 1 + 1 + 2 −1

2< =1 2 ;1

2 − 1

+ 1 + 1

+ 2< →1

4 lorsque tens vers + ∞

'→"#lim 1

7 + 17 + 2

'

L

= 1 4

Exercice 8 : d’après EDHEC 1997 1) Si = 0, on a 1_' = _@^L

A= 1 donc la série diverge (condition nécessaire de convergence : le terme général doit tendre vers 0)

Si = 1, on a 1_' =_@]^L

A= _'"L^L _"#~ ^L_' . Or la série de terme général ^L_' diverge (série harmonique) donc par comparaison de séries à terme positif, la série de terme général 1_' diverge aussi.

(6)

b) Par récurrence :

D’où l’égalité.

3. a) On calcule la difference

(7)

Exercice 9 :

∀ ∈ ℕ, _'" _' ) 71}

'"

a

71}

'

a

) 71^'"}_'" 71^'"L}_'"L) }_'" }_'"L

Or 7}_' est une suite décroissante donc }_'"− }_'"L≤ 0 donc _'"− _' ≤0 et donc 7_' décroît.

∀ ∈ ℕ, _'" _'"L ) 71}

'"

a

71}

'"L

a

) 71^'"}_'"— 12 2}_'"

) }_'" }_'") }_'" }_'"b 0 car 7}_' est une suite décroissante donc _'"− _'"L≥ 0 et donc 7_'"L décroît.

_'"L− _'= 7−1}

'"L

a

71}

'

a

) 71^'"L}_'"L) }_'"L→ 0

Les trois conditions de la définition sont réunies donc les suites 7_' et 7_'"L sont adjacentes.

On sait que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

De plus, si les deux suites extraites 7_' et 7_'"L convergent vers la même limite, alors la suite 7_' converge.

Conclusion : La suite suite 7_' converge ce qui signifie que la série de terme général 1_' converge.

Application : La série de terme général ^{7^L}_' a la même forme que les séries étudiées ci-dessus : en effet,

7^L

' = 7−1^'}_' où 7}_' est une suite décroissante de limite 0 : la série ∑^{7^L}_' est donc convergente.

(8)

Exercice 10 :

On définit la suite 71_' définie par 1_a = √2 et pour tout ∈ ℕ, 1_'"L = -2 + 1'

L’objectif est de d’étudier la convergence de la suite 71_' et de déterminer sa limite.

Pour cela, on définit la fonction Q sur ℝ_" par Q7R = √2 + R.

On montre par récurrence que pour tout ∈ ℕ, 1_' > 0 (immédiat)

On étudie les variations de Q sur ℝ_" ∶ Q est dérivable sur ℝ_" et Q^d7R = 1

2√2 + R> 0 Q^d7R > 0 sur ℝ" donc Q est strictement croissante sur ℝ_".

Q7R − R = √2 + R − R =@√2 + R − RA@√2 + R + RA

√2 + R + R = 2 + R − R

√2 + R + R =7R + 172 − R 3R+ 1 R 0 2 +∞

Q7R − R + 0 −

La fonction Q étant continue sur ℝ_" , si la suite converge, sa limite ℓ est un point fixe . Ce ne peut être que 2.

Il reste donc à justifier que la suite 71_' converge.

Idée : on démontre par récurrence que, pour tout ∈ ℕ, 0 < 1_' < 2 ce qui est immédiat.

On étudie ensuite la monotonie de la suite 71_' : 1_'"L− 1_' = Q71_' − 1_' > 0 d’après le tableau de signe ci-dessus sachant que 1_' ∈ ]0; 2W.

La suite est croissante et majorée par 2 donc elle converge.

Sa limite est 2 (déjà justifié).

Conclusion : 2 + /2 + E2 + √2 + ⋯ = lim_n→"#1_' = 2

Exercice 11 : d’après EDHEC 2000

(9)

Exercice 12 : d’après ESC 2001

(10)

5.

(11)

Exercice 13 : 1)

n=input(‘entrez la valeur de n :’) S=0

for k=1:n S=S+1/k^2 end

disp(u)

2)

n=input(‘entrez la valeur de n :’) P=1

for k=1:n P=P*(1+1/k^2) end

disp(P)

3 a

n=input(‘entrez la valeur de n :’) u=2

for k=1:n u=1-exp(-u) end

disp(u)

b

disp(u)

for k=1:n u=1-exp(-u) disp(u)

end

Exercice 14 :

epsilon=input(‘entrez la valeur de epsilon :’) u=1

n=0

while abs(u-sqrt(2))>=epsilon do u=1/2*(u+2/u) n=n+1

end disp(n)

Exercice 15 :

1) function [z]=min(a,b),if a<b then z=a else z=b endfunction

2) On utilise la propriété : ! = 7 − 1!

function [z]=fact(n),z=1, for k=1:n z=z*k, end endfunction

3) Si > , 89 = 0, sinon 89 = !

! 7 − ! =7 − 17 − 2 … 7 − + 1

7 − 1 … × 2 × 1 = − + 1

1 × − + 2

2 × … − 1 − 1 ×

(12)

function [z]=coeffbin(n,k) if k>n then z=0

else z=1,for i=1:k z=z*(n-k+i)/i end

end

endfunction

Exercice 16 : Suite de Fibonacci

v=1 disp(u) disp(v)

for k=2:n w=v, v=u+v, u=w //on sauvegarde v dans w disp(v)

end

Exercice 17 : Conjecture de Syracuse

La condition u==2*floor(u/2) est vraie lorsque u est pair et fausse lorsque u est impair.

k=input(‘entrez la valeur de k :’) u=k

n=0

while u<>1 do n=n+1

if u==2*floor(u/2) then u=u/2 else u=3*u+1 end

end disp(n)

Exercice 18 : D’après ECRICOME 2014

1. Pour tout R > 0, ln71 + R > 0 donc Q7R > 0 sur ]0; +∞W et donc sur W0; +∞W.

Pour montrer que, pour tout entier naturel , 1_' existe, il suffit de montrer que chacun des termes de la suite est strictement positif ce qui est immédiat par récurrence.

2. N=input(‘entrez la valeur de N :’) u=%e

for k=1:N u=u/log(1+u) end

disp(u)

Exercice 19 : D’après EDHEC 2013

1. (a) On démontre ce résultat par récurrence :0 ≤ 1_a ≤ 1 donc vrai au rang 0.

Hérédité : on suppose que 0 ≤ 1_' ≤ 1 pour un certain entier naturel et on montre que 0 ≤ 1_'"L ≤ 1 0 ≤ 1_' ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1_' ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1_'+ 1 ≤ 2 ⇒ 1

2 ≤1_' + 1

2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1^'"L ≤ 1 Conclusion : pour tout entier naturel , 0 ≤ 1_' ≤ 1.

(13)

7b Pour tout ∈ ℕ, 1_'"L− 1_' =1_' + 1

2 − 1^' = 1_' + 1 − 21_'

2 =71_'− 1 2 ≥ 0 on en déduit que la suite 71_' est croissante.

(c) La suite 71_' est croissante et majorée par 1 donc elle converge. Étant donné que la fonction définissant cette suite est une fonction polynôme donc continue sur ℝ, sa limite est une solution de l’équation :

R =R+ 1

2 ⇔R − 2R + 1

2 = 0 ⇔ R = 1 Conclusion : La suite 71_' converge vers 1.

2. Inutile de tester l’inégalité 1 − 1_' > 0 car elle est vraie pour tout entier . u=0

n=0

while 1-u>=10^-3 do u=(u^2+1)/2, n=n+1 end

disp(n)

Exercice 20 : D’après ECRICOME 2011

C’est la méthode appelée « dichotomie ». Définissons d’abord la fonction phi : function [z]=phi(x)

if x==0 then z=1

else z=1-x^2*log(x) end

endfunction

Puis programmons les termes des suites : a=sqrt(2),b=2

for k=1:7 if phi(a)*phi((a+b)/2)<0 then b=(a+b)/2 else a=(a+b)/2 end

end

disp(b,a)

Exercice 21 : D’après ECRICOME 2010 1. Voir corrigé ECRICOME 2010

2. On va raisonner par dichotomie, comme dans l’exercice 23 : on construit deux suites 7}_' et 7~_' qui encadrent , on calcule l’écart ~_'− }_' et on s’arrête lorsqu’il est inférieur ou égal à 10^{^}.

La fonction étant décroissante, phi((a+b)/2)<1 signifie que 7} > 1 > 8^" 9 et donc que } < <^"

function [z]=phi(x), z=log(x)-log(x+1)+1/x endfunction

a=1/3,b=1/2

while b-a>10^-3 do if phi((a+b)/2)<1 then b=(a+b)/2 else a=(a+b)/2 end

end

disp(b,a)

(14)

Exercice 22 :

n=0, fact=1, erreur=1, s=1 while erreur >0,00001

n=n+1

fact=fact*n s=s+1/fact

erreur=1/(n*fact) end

disp(s)

Exercice 23 : 7a

u0=input(‘entrez la valeur de u0 :’) n=input(‘entrez la valeur de n :’) u(1)=0.5*sqrt(3+u0^2)

for k=1:n-1 u(k+1)=0.5*sqrt(3+u(k)^2) end

disp(u(n),’u(n)=’)

Ou avec la méthode classique :

u=input(‘entrez la valeur de u0 :’) n=input(‘entrez la valeur de n :’) for k=1:n u=0.5*sqrt(3+u^2)

end disp(u)

7b Il suffit de rajouter les instructions : s=sum(u)+u0;disp(s) (car u0 n’est pas compté dans les composantes du vecteur u)

Ou avec la méthode classique :

u=input(‘entrez la valeur de u0 :’) n=input(‘entrez la valeur de n :’) s=u

for k=1:n u=0.5*sqrt(3+u^2);s=s+u end

disp(s)

7c L’utilisation du vecteur u n’est pas très pratique, on utilisera la méthode classique : u=input(‘entrez la valeur de u0 :’)

n=1

while abs(u-1)>=10^-3 do n=n+1;u=0.5*sqrt(3+u^2) end

disp(n)