TD 4 : Compléments sur les suites et les séries

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TD 4 : Compléments sur les suites et les séries

Exercice 1 : 1) Donner un équivalent puis la limite de la suite définie par : a) ∀ ∈ ℕ, = 2− 3^! + 5 − 7

8^!+ 3 − 1 b) ∀ ∈ ℕ, = + 2

√+ + 1

c) ∀ ∈ ℕ, = ^!(ln( + 1) − ln())

√^!+ 1 2) Montrer que + 2

√ _-.= /0√1 et en déduire que ^!+ + 2

√ _-.~ √ . 3) Déterminer la limite de la suite () définie par = √ + 1 − √ − 1

√ + 1 + √ − 1. Exercice 2 :

Soit la suite () telle que : 7 = 1 et ∀ ∈ ℕ^∗, _-7 = − 4

− 3 = 1 − 1 − 3 1) Montrer que, pour tout entier naturel non nul , < 2.

2) Si () converge, calculer la valeur ℓ de sa limite.

3) Soit (;) la suite définie par : ∀ ∈ ℕ^∗, ; = 1 − ℓ.

Calculer ;_-7− ; et en déduire en fonction de . 4) Déterminer la nature et la limite éventuelle de ().

Exercice 3 : On considère la suite () définie par son premier terme _< ≥ 0 et la relation de récurrence :

∀ ∈ ℕ, _-7 =+

1) Montrer que pour tout 2 . , ≥ 0.

2) Soit ? la fonction définie sur ℝ_- par ?(A) =^B-B_! ^C. a) Déterminer les variations de f.

b) Déterminer pour tout réel A positif le signe de ?(A) − A. 3) Si () converge, calculer les valeurs possibles de sa limite ℓ. 4) a) Que dire de la suite si _< = 0 et si _< = 1 ?

b) On suppose que _< ∈]0; 1[. Montrer que pour tout , ∈]0; 1[.

Montrer que () décroît. En déduire qu’elle converge et donner sa limite.

5) On suppose maintenant que _< > 1. Montrer que pour tout , > 1. Etudier la monotonie de la suite () et montrer que lim

→-. = +∞.

Exercice 4 : Soit la suite () définie par son premier terme _< ≥ 1 et la relation de récurrence _-7 = ?() où ? est la fonction définie sur ℝ_-^∗ par ?(A) = A^!+^!_B.

1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , un est bien défini et ≥ 1. 2) Quel est le sens de variation de () ?

3) Prouver par l’absurde que la suite () ne converge pas.

Exercice 5 :

Étudier la suite définie par _< > 0 et pour tout ∈ ℕ, _-7 = + 3 3_!+ 1 .

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Exer ExerExer

Exercice cice cice 6666 : cice

Soit la suite () définie par ∶ ∀ ∈ ℕ^∗, = 1 ( + 1)

1) Montrer qu’il existe deux réels P et Q tels que : ∀ ∈ ℕ^∗, =P + Q

+ 1 . 2) Calculer la somme R = S _T

TU7

en fonction de , puis déterminer lim_→-.R. 3) Que peut − on en déduire pour la série de terme général 1

( + 1)^?

Exercice 7 :

Calculer lim_→-.S 1

Y(Y + 1)(Y + 2)

TU7

.

Exercice 8 : d’après EDHEC 1997

Pour tout entier naturel non nul, on pose = 1

[_-\ = 1

0^-\ 1, où ^ désigne un entier naturel fixé.

1) Montrer que si ^ = 0 ou si ^ = 1 la série de terme général diverge.

On suppose dans toute la suite que ^ est supérieur ou égal à 2 et on pose R = S _T

TU7

2) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ, ( + ^ + 2)_-! = ( + 2)_-7.

b) En déduire par récurrence sur que R = _{\_7}⁷ (1 − ( + ^ + 1)_-7) 3) a) On pose ; = ( + ^). Montrer que la suite (;) est décroissante.

b) En déduire que la suite (;) converge et que sa limite ℓ est positive ou nulle.

c) Utiliser le résultat précédent pour montrer que la série de terme général converge et donner sa somme en fonction de ^ et de ℓ.

4) On suppose dans cette question seulement que ℓ ≠ 0. a) Montrer qu’au voisinage de +∞, ~^ℓ.

b) En déduire une contradiction avec la troisième question.

5. Donner la valeur de ℓ et en déduire en fonction de ^, la somme de la série de terme général . Exercice 9 : Soit (P) une suite décroissante de limite 0. On pose = (−1)P et

R = S(−1)^TP_T

TU<

.

Montrer que les suites (R_!) et (R_!-7) sont des suites adjacentes.

Que peut-on en conclure pour la série de terme général ?

Application : Démontrer que la série de terme général ^(_7) ^a est une série convergente.

Exercice 10 (*) : Calculer le nombre b2 + c2 + d2 + √2 + ⋯

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Exercice 11 : d’après EDHEC 2000

Pour tout entier supérieur ou égal à 1, on définit la fonction ? par :

∀A ∈ ℝ⁺, ?(A) = A + 9A^! − 4.

1. a) Montrer que l’équation ?(A) = 0 n’a qu’une seule solution strictement positive, notée . b) Calculer ₇et _!.

c) Vérifier que : ∀ ∈ ℕ^∗, ∈ g0;^!h.

2. a) Montrer que, pour tout A élément de ]0 ;1[, on a : ?_-7(A) < ?(A). b) En déduire le signe de ?(_-7), puis les variations de la suite ().

c) Montrer que la suite () est convergente. On note ℓ sa limite.

3. a) Déterminer la limite de () lorsque tend vers +∞. b) Donner enfin la valeur de ℓ.

4. Montrer que la série de terme général i^!− jest convergente.

Exercice 12 : d’après ESC 2001

On considère la fonction ? définie sur [0 ;1] par ?(A) = 2Ak^B

1. Montrer que ? réalise une bijection de [0 ;1] sur un ensemble que l’on déterminera.

On note ?^_7 la bijection réciproque de ?.

Donner les tableaux des variations de ? et de ?^_7.

2. Vérifier qu’il existe dans [0 ;1] un et un seul réel noté l tel que lk^m= 1. Montrer que l ≠ 0.

On définit la suite () par : _< = l et ∀ ∈ ℕ, _-7 = ?^_7() 3. Montrer que pour tout entier naturel , existe et ∈]0,1]. 4. a) Montrer que pour tout réel A de [0;1], ?(A) − A ≥ 0.

Vérifier que l’égalité ne se produit que pour A = 0.

b) En déduire que la suite ()est strictement décroissante.

c) Montrer que la suite ()est convergente et qu’elle a pour limite 0.

5. On se propose de préciser ce résultat en déterminant un équivalent de . On pose pour tout entier naturel ∶ R = S _T

TU<

a) Montrer que pour tout entier naturel :

_-7 =1

2 k^_o^apq b) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel ,

= k^_r^a 2

c) Montrer que ≤ i⁷_!j et en déduire que la série de terme général est convergente.

On note t sa somme. Montrer que l ≤ t ≤ 2. d) Montrer finalement que ∼k^_v

2 quand → +∞.

Exercice 13 :

1) Notons, pour tout entier naturel non nul , R = S 1 Y^!

Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de TU7R pour un entier naturel non nul entré au clavier par l’utilisateur.

2) Notons, pour tout entier naturel non nul , x = y z1 + 1 Y^!{

TU7

Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de x pour un entier naturel non nul entré au

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3) Soit () la suite définie par _< = 2 et , pour tout entier naturel , _-7 = 1 − k^_o^a

a) Écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de pour un entier naturel entré au clavier par l’utilisateur.

b) Écrire un programme qui calcule et affiche les termes _<, ₇, … , pour un entier naturel entré au clavier par l’utilisateur.

Exercice 14 :

Soit () la suite définie par _< = 1 et , pour tout entier naturel , _-7 = 1

2 z+ 2 { On admet que la suite () converge vers √2.

Écrire un programme qui calcule et affiche le plus petit entier naturel _< tel que }_~ − √2} < pour un réel (aussi petit soit-il) entré au clavier par l’utilisateur.

Exercice 15 : 1) Écrire une fonction Scilab qui renvoie le plus petit de deux réels P et Q. 2) Écrire une fonction Scilab qui, pour tout entier naturel renvoie !

3) Écrire une fonction Scilab qui, pour tout couple d’entiers naturels (, Y) renvoie iYj.

Exercice 16 : Suite de Fibonacci

Soit () la suite définie par _< = 1, ₇ = 1 et , pour tout entier naturel , _-! = _-7+

Écrire un programme qui calcule et affiche les termes _<, ₇, … , pour un entier naturel ≥ 2 entré au clavier par l’utilisateur.

Exercice 17 : Conjecture de Syracuse

Soit Y un entier naturel et () la suite définie par _< = Y et , pour tout entier naturel , _-7 =

2 si est pair 3+ 1 si est impair

La conjecture de Syracuse énonce que, quel que soit la valeur attribuée à l’entier Y, on finit toujours par trouver un terme de la suite égal à 1, le suivant étant égal à 4 puis 2 puis 1 …

Écrire un programme qui calcule et affiche le plus petit entier tel que = 1 pour un entier naturel Y entré au clavier par l’utilisateur.

Exercice 18 : D’après ECRICOME 2014

On considère la fonction ? définie sur [0; +∞[ par :

?(A) = A

ln(1 + A) si A ∈ ]0; +∞[

1 si A = 0 ainsi que la suite ()_∈ℕ définie par : _< = k et ∀ ∈ ℕ, _-7 = ?()

1. Déterminer le signe de ? sur l’intervalle [0; +∞[. En déduire que, pour tout entier naturel , existe.

2. Écrire un programme qui, pour une valeur fournie par l’utilisateur, calcule et affiche .

Exercice 19 : D’après EDHEC 2013

Soit () la suite définie par _< = 0 et , pour tout entier naturel , _-7 = ^! + 1 1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel , 0 ≤ ≤ 1. 2

(b) Étudier les variations de la suite ().

(c) Déduire des questions précédentes que la suite () converge et donner sa limite.

2. Écrire un programme qui calcule et affiche la plus petite valeur de telle que 0 < 1 − < 10^_.

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On considère l’application définie sur ℝ_- par (A) = 1 − A^!ln(A) si A > 0 1 sinon

On considère deux suites (P) et (Q)définies par P_< = √2, Q_< = 2 et, pour tout entier naturel : Si (P) zP+ Q

2 { < 0, alors P^-7 = P et Q_-7 =P+ Q 2 Si (P) zP+ Q

2 { ≥ 0, alors P^-7 =P+ Q

2 et Q_-7= Q Écrire un programme qui calcule et affiche P et Q.

(On pourra créer une fonction phi définie dans l’énoncé)

On considère l’application définie sur ℝ_-^∗ par : (A) = (A) − (A + 1) +1 A 1. Montrer que l’équation (A) = 1 admet une unique solution l sur ℝ_-^∗ et que

1

3 < l < 1 2

2. Écrire un programme qui permet d’encadrer l dans un intervalle d’amplitude 10^_.

Exercice 22 :

On rappelle que k = S 1 Y!

-.

TU<

et on admet que, ∀ ≥ 1, k − S 1 Y!

TU<

≤ 1 . !

Compléter le programme suivant afin qu’il affiche une valeur approchée du nombre k à 10^_ près : n=0, fact=1, erreur=1, s=1

while erreur >0,00001 n=n+1

fact=...

s=s+1/fact

erreur=...

end disp(s)

Exercice 23 :

Soit () la suite définie par _< et , pour tout entier naturel , _-7 =1

2 d3 + ^!

(a) En définissant un vecteur u, écrire un programme qui calcule et affiche la valeur de pour un entier naturel et un réel _< entrés au clavier par l’utilisateur.

(b) Ajouter une instruction qui calcule S _T

TU<

.

(c) Toujours avec le vecteur u, Écrire une suite d’instructions permettant de déterminer le plus petit entier naturel tel que | − 1| < 10^_.