1 Série 4 Suites réelles

Lycée Jammel 3 Série : Suites réelles 4M Afli Ahmed

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 Exercice 1:

Soit la suite définie sur IN par :

0

1

3

4 2

1

n n

n

U U U

 U

 

 

 

 



1) a) Montrer que pour tout n Є IN : Un ≥ 2 . b) Montrer que U est décroissante.

c) Déduire que U est convergente et calculer sa limite.

2) a) Montrer que pour tout n Є IN : Un+1 -2 ≤ ²

3 (Un -2).

b) Montrer par récurrence que pour tout n Є IN: 2 ( )² 3

n

Un  c) Retrouver la limite de U.

 Exercice 2:

On considère la suite u définie sur IN par:







 



 u

u u

n

n 1 2

0

4 2 1

1) Montrer que pour tout nIN on a: 0 2 2) Etudier la monotonie de' cette suite

3) En déduire que la suite U est convergente et donner sa limite 4) Soit V la suite définie sur IN par :

u v u

n

n n2

2

2

 a. Montrer que v est arithmétique

b. Exprimer Un en fonction de n puis retrouver le résultat 3) c. On pose = 

 

n

k ₁n vk

1 . Montrer que

2 1   



 

 n

s n n

n

*; n IN

n _n

d. En déduire que est convergente et donner sa limite

 Exercice 3:

On considère la suite réelle (Un) définie sur IN* par :













 n

2 n 1 n 1

2 U 1 U

1 U

1) a) Montrer que pour tout nIN* on a: Un1. b) Montrer que la suite (U_n) est croissante.

2) a) Montrer que pour tout nIN* on a: _{n 1 n n 1} 2 U 1

U _   _ . b) En déduire que pour tout nIN* on a: _{n n}

2 1 2

U  3 .

c) Que peut-on dire de la convergence de la suite (U_n)? Expliquer.

3) a) Montrer par récurrence que pour tout nIN* on a: _



 

 

 _n

2

n 2

1 1 2

U .

b) Calculer alors, _nlim_U_n .

Lycée Jammel 3

Série 4

Suites réelles

Mr :Afli Ahmed

M 11/10/2014

Lycée Jammel 3 Série : Suites réelles 4M Afli Ahmed

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 Exercice 4:

Dans la graphe ci-dessous on a représenté la courbe (C)d’une fonction f définie sur [-2 , 2] et la droite D d’équation : y= x

On considère la suite U définie sur par : U₀ 0 et U_{n 1} f(U ) pour n 0_n  1/ En utilisant le graphique :

a) Quel est le sens de variation de f ? b) Déterminer le signe de [f(x)-x] sur [-2,2]

2/a) Montrer par récurrence que : n ; 0 U _n 1 c) Vérifier que la suite U est croissante

d) En déduire que U est convergente et calculer sa limite.

3/ On considère la suite

n

n n 0 n 2 k

k 1

(t ) définie par t 1 U

 n







Montrer que _n

nlim t 0

 

4/ La fonction f est définie par

2

f(x) 1 x

x 3

 

 On désigne par V la suite définie par

n

n k 1 k

k 0

V (2U _ U ) ; n







a) Montrer que pour tout n ; U_{n 1} ^{1 Un} . En déduire que V_n n 1

 2

    

b) Déterminer, alors _n

nlim V



 Exercice 5:

On considère les suites

 

 

3

n n

n

a b

a _    et ₁ ^{2 3}

3

n n

n

a b

b _    . On pose u_n a_n b_n 1./a. Montrer que pour tout entier naturel n , u_n  2( )¹₃ ⁿ

b. En déduire la limite de

 

2./ On pose , pourⁿN^*, v_n ^{an bn} n

 

a.Montrer que pour tout n1 on a : v_n 2 b. Montrer que pour tout n1 on a : ₁ ²

1

n

n n

v v v

 n

  

 . c. En déduire que

 

3./Exprimer alors a_n et b_n en fonction de u_n , v_n et npuis déterminer les limites des suites

 

 

 Exercice 6: Soit ( ) la suite définie sur IN par et et pour tout n : 1./ a. Montrer que pour tout n ;

b. Montrer que ( ) est monotone.

c. En déduire que ( ) est convergente et préciser sa limite.

2./ a. Montrer que pour tout n | | | |

b. En déduire que pour tout n | | ( ) .Retrouver la limite de U.

3./ Montrer que pour tout n ,

( )