Liste 19

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 19

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths ^Exercices

1

Exercice 1:

soit f la fonction définie par f(x)=

1 2

² x x

1/ montrer que f est croissante sur [1,2] ; en déduire que si 1x2 alors 1f(x)2.

Soit U la suite définie sur N par U0=1 ; Un+1=f(Un) 2/ prouver que pour tout nN ; 1Un2

3/ prouver que la suite U est croissante

4/ démontrer que U convergente et déterminer sa limite.

5/ a/ établir que pour tout nN ; 2-Un+1 (2 ) 3

2 U_n  b/ prouver que pour tout nN;02-Un )

3 (2

n

c/ retrouver la limite de U.

Exercice 2:

Soit la suite U définie sur IN par:

0 n 1 n

n

U 1

U U ; n IN

( 1 U )²



 

  

 



. 1) a) montrer que pour tout nIN, Un >0.

b) montrer que la suite U est décroissante.

a) Montrer que U est convergente et calculer sa limite.

2) soit V la suite définie sur IN, par Vn=

n

1 U . a) montrer que V est une suite arithmétique .

b) en déduire Vn puis Un en fonction de n; retrouver _n

n

lim U

 . 3) on pose pour tout nIN*, _n ⁿ _k

k 0

S U

  . a) montrer que la suite S est croissante .

b) montrer que pour tout nIN*, 0 Un ¹ ¹

nn 1

 . c) Montrer que Sn 2-¹

n. En déduire que la suite S est convergente et donner un encadrement de sa limite.

Exercice 3:

Soit la suite U définie par:

0

n 1 n2

U 0

U 1U 2 ;n IN

 2

 



  



(2)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 19

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths ^Exercices

2

1) a) montrer que pour tout nIN; 0  Un 2.

b) montrer que U est croissante.

c) déduire que U est convergente et déterminer sa limite.

2) a) montrer que pour tout nIN; 2-Un-1 ¹ ( 2 U )_n 2  

b) montrer que pour tout nIN; 0  2-Un 2( ¹ )ⁿ 2 . c) retrouver la limite de la suite U.

3) soit S la suite définie par _n ⁿ _k

k 0

S U

  . a) déduire de 2/b un encadrement de Sn. b) déterminer ⁿ

n

lim S

 n . Exercice 4:

soit U la suite définie sur N par U0=1/2 ; Un+1=

n n

U

U 1 2

2 . 1/ a/ montrer que pour tout nN, 0Un1.

b/ montrer que U est une suite croissante et par suite convergente vers un réel que l’on précisera.

2/ soit V la suite de terme général Vn=

n n

U

U

 1 1

a/ montrer que pour tout nN Vn+1=Vn², en déduire que pour tout nN, 3)

(1 ²

n

Vn

b/ déduire la limite de Vn et l’expression de Un. c/ on pose pour tout nN, Pn=

 n k

Vk 0

, calculer Pn puis

n

lim Vⁿ^¹ Pn

3/montrer que pour tout nn* on a (1 ) 1

1 1

0 ¹

0

2  

Uⁿ  Uⁿ

 U

 , en déduire que pour

tout nN ) 5 (4

1 0

n

Un

 

4/ soit la suite S définie sur N* par Sn= ^

 1 0

1ⁿ

k

Uk

n ; montrer que pour tout nN*,

1 ] 1 5[

1 )

5

(4  



 ⁿ Sⁿ

n calculer la limite de Sn.