EXERCICE N°1 : (7poits) A) a) Calculer ( 3 – i ) ².
b) Résoudre dans l’équation : z² - ( 1 + i ) z + 2 ( -1 + i ) = 0 . B) Soit .
1) Ecris -1 + i et 1 + sous forme exponentielle .
2) On considère l’équation ( ) : Z² - ( i + ) Z + ( 1 + ) ( -1 + i ) = 0.
a) Vérifier que Z1 = ( -1 + i ) est une solution de l’équation ( ).
b) En déduire l’autre solution Z2 de l’équation ( ).
c) Ecris Z1 et Z2 sous forme exponentielle .
3) Dans le plan complexe P rapporté a un repère orthonormé ( o , . On considère les points M1 , M2 et M d’affixe respectives ( -1 + i ) , 1 + et i + .
a) Montrer que le quadrilatère OM1MM2 est un parallélogramme . b) Déterminer pour le quadrilatère OM1MM2 soit un losange .
EXERCICE N° 2 : (7points) Soit la suite U définie sur IN par U0 = 1 et Un+1 = , n . 1) a) Montrer que : pour tout n : 0 < Un < 2 .
b) Etudier la monotonie de la suite U .
c) En déduire que U est convergente et calculer sa limite .
2) a) Montrer que pour tout n : 2 – Un+1 Un ) .
b) Montrer que : pour tout n : 0 < 2 - Un < ( n . Retrouver la limite de U . 3) On pose pour tout n : Sn = U0 +U1 + … + Un .
a) Montrer que , pour tout n : Sn 2n – 3 + ( 4/5 )n+1 . b) En déduire la limite de Sn .
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L.S. O.CHATTI M’SAKEN
Prof :
BAHLOUL RIDHADEVOIR DE CONTROLE N°1 Mathématiques
4 éme sciences exp 2
08 / 11 / 2010
Durée : 2 heures
EXERCICE N°3 : (6 points)
Soit f la fonction définie par : f (x ) = + 2x si x 0 f (x ) = si x < 0 1) a ) Montrer que f est continue en 0 .
b) Etudier la continuité de f sur IR .
2) a) Montrer que . b) En déduire .
3) Calculer les limites suivantes : et . 4) a) Montrer que f est croissante sur [ 0 , + [ .
b) Montrer que l’équation f ( x ) = 3 admet une solution unique dans [ 0 , 1 ] .
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