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L.S.Marsa Elriadh

Série 1

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Exercice 1:

Soient (un) et (vn) deux suites réelles définies par : u₀ = 1 et, pour tout nN, un + 1 =

2 1u_n.

v0 = 1 et, pour tout nN, vn + 1 = vn + ₁ 2

1

 n

a) (u_n) est une suite géométrique.

b) (vn) est une suite arithmétique.

c) Pour tout nN^*, u0 + u1 + … + un = _^









 



 





n

2 1 1

2 .

d) Pour tout nN, vn + 1 = 1 + ₁ 2

1





n

n . e) lim 2



 n

n v .

Exercice 2:

On définit une suite (Un)nIN par son premier terme U0 et la relation de récurrence : Un+1 = Un – 8

2 U_n – 9 .

1) On suppose que U₀ < 1.

a) Démontrer par récurrence que pour tout n, U_n < 1.

b) Démontrer que la suite (Un)nIN est croissante.

c) En déduire qu’elle est convergente et calculer sa limite.

2) On suppose que 1 < U0 < 4

a) Démontrer par récurrence que pour tout n,. 1 < Un < 4 b) Démontrer que la suite (Un)nIN est décroissante.

c) En déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite.

Exercice n°3:

soit U la suite définie sur N par: ^U

Uⁿ Un

0 1

0

3 4



 



 ^ 1) calculer U₁ et U₂.

2) montrer que pour tout nN 0Un4.

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3) montrer que la suite U est strictement croissante.

4) en déduire que U est convergente et calculer sa limite.

Exercice 4 :

On considère les deux suites U et V définies pour tout entier naturel non nul par :

Un = 1 +



 n i

i ₁i!

1 = 1 +

! 1

1 +

! 2

1+ . . . +

! 1

n et Vn = Un +

! 1 nxn

1°) a) Vérifier que U1 = 2 et V1 = 3.

b) Calculer U2 , U3 ,V2 et V3. 2°) Montrer que :

a) U est une suite croissante.

b) V est une suite décroissante.

3°) a) Déterminer _n^lim_

! 1 nn

b) En déduire que les suites U et V sont adjacentes.

Exercice 5

On définit deux suites u et v par u₀ = 1, v₀ = 2 et pour tout entier naturel n :

1 1

1 1

( 3 ) ; ( 4 )

4 5

n n n n n n

u _  u  v v _  u  v

1. On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par wn = vn – un.

a) Montrer que w est une suite géométrique à termes positifs dont on précisera la raison.

b) Déterminer la limite de la suite w.

2. a) Montrer que la suite u est croissante.

b) Montrer que la suite v est décroissante.

c) Démontrer que les suites u et v sont convergentes vers une limite qu'on appellera l.

3. On appelle t la suite définie pour tout entier naturel n par tn = 4un + 15vn. a) Montrer que la suite t est une suite constante. Déterminer cette constante.

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b) Déterminer alors la valeur de l.