Calculer la limite de la suite ( ) u

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Novembre 2006

Calculer la limite de la suite ( ) u

n

définie par :

2 3

*

, ... 1 1 1 1

3 3 3 3

n

n u

n ^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∀ ∈ ` = + + + +

Analyse

L’exercice fait appel aux connaissances sur les sommes de termes consécutifs des suites géométriques et sur les limites des suites géométriques.

Résolution

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

2 3

2 1

1 1 1 1

3 3 3 ... 3

1 1 1 1

1 ...

3 3 3 3

1 1

1 3

3 1 1 3 1 1

1 3

3 2 3 1 1

3 2

n n

n

u

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎝ ⎠ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎢⎣ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎥⎥⎦

− ⎜ ⎟⎛ ⎞

= ⎝ ⎠

−

− ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠

=

− ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠

=

Remarque : la factorisation de la deuxième ligne n’est pas obligatoire.

1

3 appartenant à l’intervalle ouvert

] [

⁻^1;1 ^{, on a :}^lim ¹ ⁰

3

n n→+∞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ . On en déduit alors :

1 1 3 1

lim 2 2

n

n→+∞

− ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠ = .

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Novembre 2006

Résultat final

La suite

( )

un est convergente et 1 1

3 1

lim 2 2

n

n→+∞

− ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠ = .