Exercices en temps libre : Semaine 6 Exercice MPSI :
Étudier pour(a, b)∈R∗+ la limite éventuelle de
ax+bx 2
1/x
lorsquextend vers0+. Exercice MPSI :
Soient a et b deux réels, a < b. On considère la fonction f : [a, b] −→ [a, b] supposée continue et une suite récurrente(un)n définie par :u0∈[a, b] et pour tout n∈N, un+1=f(un).
1. On suppose ici quef est croissante. Montrer que(un)n est monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l’équationf(x) =x.
2. Application. Calculer la limite de la suite définie par :u0= 4 et pour tout n∈N, un+1= 4uun+5
n+3. 3. On suppose maintenant quef est décroissante. Montrer que les suites(u2n)n et(u2n+1)nsont monotones
et convergentes.
4. Application. Soitu0= 12 et pour tout n∈N, un+1= (1−un)2.Calculer les limites des suites(u2n)n
et(u2n+1)n. Exercice 1
On munitE =l∞(C)leC-espace vectoriel de suites bornées de la normekuk∞= supn∈N|un|.
On considère les endomorphismes∆etC deE définis par :∆(u) =voùvn =un+1−unet C(u) =woùwn= 1
n+ 1 Pn
k=0uk.
Montrer que∆et C sont continus sur(E,k.k∞)et calculer leurs normes.
Exercice 2
Soitf :R→Rune application uniformément continue surRtelle quef(0) = 0. Montrer qu’il existe des réels aetb tels que∀x∈R,|f(x)|6a|x|+b.
1
Exercice MPSI 1 On trouve√
ab.
Exercice MPSI 2
1. Si u0 6 u1 alors comme f est croissante f(u0) 6 f(u1) donc u1 6 u2, ensuite f(u1) 6 f(u2) soit u2 6u3,... Par récurrence on montre que (un)est décroissante. Comme elle est minorée paraalors elle converge. Siu06u1 alors la suite(un)est croissante et majorée parb donc converge.
Notons ℓ la limite de (un)n. Comme f est continue alors (f(un)) tend vers f(ℓ). De plus la limite de (un+1)nest aussiℓ. En passant à la limite dans l’expressionun+1=f(un)nous obtenons l’égalitéℓ=f(ℓ).
2. La fonctionf définie par f(x) = 4x+5x+3 est continue et dérivable sur l’intervalle[0,4]etf([0,4])⊂[0,4].
La fonctionf est croissante (calculez sa dérivée). Comme u0= 4 et u1 = 3alors(un)est décroissante.
Calculons la valeur de sa limiteℓ.ℓest solution de l’équation f(x) =xsoit 4x+ 5 =x(x+ 3). Comme un >0pour toutnalorsℓ>0. La seule solution positive de l’équation du second degré4x+ 5 =x(x+ 3) estℓ= 1+√221 = 2,7912. . .
3. Si f est décroissante alorsf◦f est croissante (carx6y⇒f(x)>f(y)⇒f◦f(x)6f◦f(y)). Nous appliquons la première question avec la fonctionf ◦f. La suite(u0, u2=f ◦f(u0), u4=f◦f(u2), . . .) est monotone et convergente. De même pour la suite(u1, u3=f◦f(u1), u5=f ◦f(u3), . . .).
4. La fonctionf définie parf(x) = (1−x)2est continue et dérivable de[0,1]dans[0,1]. Elle est décroissante sur cet intervalle. Nous avonsu0= 12,u1= 14,u2= 169,u3= 0,19. . .,... Donc la suite(u2n)est croissante, nous savons qu’elle converge et notonsℓ sa limite. La suite (u2n+1)et décroissante, notons ℓ′ sa limite.
Les limites ℓet ℓ′ sont des solutions de l’équationf◦f(x) =x. Cette équation s’écrit(1−f(x))2 =x, ou encore(1−(1−x)2)2=xsoitx2(2−x)2=x. Il y a deux solutions évidentes0et 1. Nous factorisons le polynômex2(2−x)2−xenx(x−1)(x−λ)(x−µ)avecλetµles solutions de l’équationx2−3x+ 1: λ= 3−2√5 = 0,3819. . .et µ= 3+2√5 >1. Les solutions de l’équationf ◦f(x) =xsont donc{0,1, λ, µ}. Comme(u2n)est croissante et que u0= 12 alors (u2n) converge versℓ= 1 qui est le seul point fixe de [0,1]supérieur à 12. Comme (u2n+1) est décroissante et que u1 = 14 alors(u2n+1)converge vers ℓ′ = 0 qui est le seul point fixe de[0,1]inférieur à 14.
Exercice 1
La linéarité de∆ est claire et de plus∆ est un endomorphisme de E car si uest une suite bornée, ∆(u)l’est encore. Plus précisément,
∀u∈E, ∀n∈N,|∆(u)n|6|un|+|un+1|62kuk∞et donc∀u∈E,k∆(u)k∞62kuk∞.
Ceci montre que ∆ est continu surE et |||∆||| 62. Ensuite, siuest la suite définie par ∀n∈N,un = (−1)n alorsuest un élément non nul de E tel quekuk∞= 1 etk∆(u)k∞= 2. En résumé,
•∀u∈E\ {0}, k∆(u)kuk∞k∞ 62,
•∃u∈E\ {0}, k∆(u)kukk∞
∞ = 2.
On en déduit que∆ est continu sur(E,k k∞)et|||∆|||= 2.
La linéarité de C est claire et C est un endomorphisme de E car si u est bornée, C(u) l’est encore. Plus précisément,
∀u∈E,∀n∈N,|(C(u))n|6n+11 Pn
k=0kuk∞=kuk∞et donc∀u∈E,kC(u)k∞6kuk∞.
Par suiteT est continue surE et|||T|||61. Ensuite, siuest la suite définie par∀n∈N,un = 1alorsuest un élément non nul deE tel que kuk∞= 1et kC(u)k∞= 1. En résumé,
•∀u∈E\ {0}, kC(u)kuk∞k∞ 61,
•∃u∈E\ {0}, kC(u)kuk∞k∞ = 1.
On en déduit queC est continu sur(E,k k∞)et |||C|||= 1.
Exercice 2
Soitf une application uniformément continue surR.∃α >0/∀(x, y)∈R2, (|x−y|6α⇒ |f(x)−f(y)|61).
Soitx∈R+ (le travail est analogue six∈R−).
Pourn∈N
|x−nα|6α⇔ −α6x−nα6α⇔αx−16n6αx+ 1⇐n=E xα . On posen0=E αx
.
2
|f(x)|6|f(x)−f(x−α)|+|f(x−α)−f(x−2α)|+. . .+|f(x−(n0−1)α)−f(x−n0α)|+|f(x−n0α)−f(0)|+|f(0)| 6n0+ 1 +|f(0)|(car|x−n0α−0|6α)
6 x
α+ 2 +|f(0)|.
Ainsi,∀x∈R+, |f(x)|6 αx + 2 +|f(0)|. Par symétrie des calculs,∀x∈R−,|f(x)| 6 −αx+ 2 +|f(0)|et donc
∀x∈R,|f(x)|6|αx|+ 2 +|f(0)|.
f uniformément continue surR⇒ ∃(a, b)∈R2/∀x∈R, |f(x)6a|x|+b.
3