Mr :Khammour.K Série n°5 : « Suites réelles » 4

Mr :Khammour.K Série n°5 : « Suites réelles » 4

^ème

Math Novembre 2015

Exercice n°1 :

Pour chaque question, il ya exactement deux propositions correctes.

1) Les suites suivantes sont convergentes : a)

0 IN

4 3

n n

k n

   

   

   

   b)

²

 

IN

2 1

1

n

n

n n

n



   

 

  

 

c)

IN

sin 1

n

n n

_

 

 

  d)  

2 IN

1

ⁿ

n

n



  

 

 

 

. 2) Deux suites sont définies pour n>0 par les relations :

0 n

1

n k

X



n k

 

       ^et

1 n

1

n k

Y



n k

 

       a) Les suites   X

n

^et   Y

n

sont toutes les deux croissantes.

b)

₃

¹⁹ et Y

₃

³⁷

20 60

X  

c) Les suites   X

n

^et   Y

n

ne sont pas majorées.

d) Les suites   X

n

^et   Y

n

sont adjacentes.

3) Une suite est définie sur IN par : : { ^U

⁰

^{ 1,5}

1

2 1

n n

U

_

 U  pour tout entier naturel n.

a) Pour tout n de IN U

_n

 0 .

b) La suite   U

n

converge vers 1, abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y = 2x-1.

c) La suite   V

_n

définie par : V

_n

 U

_n

 1 est géométrique.

d) La suite   V

n

est majorée.

Exercice n°2 :

Soit S la suite définie sur IN par :

1 n

1

n k

S

k



 

  

 

 ^.

1) a) Montrer que pour tout n  1 , S

_n

ⁿ

 n . b) La suite S est- elle convergente ?

2) Vérifier que pour tout entier n  1 ; 1 ¹ 1

n n

n n

  

  .

3) On considère les suites U et V définies sur IN

^*

par U

_n

 2 n  S

_n

et V

_n

¹ U

_n

 n  . a) Démontrer que les suites U et V sont adjacentes. Que peut-on déduire ?

b) Déterminer

ⁿ

n

lim

+

2 S

 

n . Exercice n°3 :

Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0<a<b. On définies les suites   U

n

et   V

n

par :

0 0

2

, , 1 2 , 1

U V n n U n V n U a V b U n U n V n V n

       

1) Vérifier que   U

n

et   V

n

sont strictement positives.

2) On pose pour tout entier naturel n W

n

= U

n

– V

n

.

a) Montrer que pour tout entier n , W

_n

>0 puis 0  W n  1  ¹ 2 Wn . b) En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : 0

2 Wn b a  n

  .

3) Démontrer alors que les suites   U

n

et   V

n

sont adjacentes.

Exercice n°4 :

Soit la suite U définie par :

₀

1 ;

_{n 1}

1 ¹

n

U U



U

   .

1) Montrer que pour tout n IN , U

_n

 1 .

2) Montrer que 1 ¹ admet dans ³ ,2 une solution unique 2

x ^{ } 

     .

3) a) Montrer que

1

 

1

n n

n

U U

 U 



     . En déduire que

2 2

 

1

1

n n

n n

U U

U U

 







    .

b) Prouver que U

_n2

  et U

_n

  sont de même signe.

4) Soient V et W les suites définies par : V

_n

 U

_2n

et W

_n

 U

_2n1

. a) Montrer par récurrence que pour tout n , V

_n

   W

_n

. b) Montrer que

₂

1

1 1

n n

U U



_

^ . En déduire que V

_n

 V

_n1

et W

_n1

 W

_n

. c) Prouver que U et V sont convergentes.

5) a) Montrer que pour tout n,

₁

² et ²

3 3

n

n n n

U

_

   U   U      ^{ }   . b) Déterminer alors la limite de la suite U.

Exercice n°5 :

Pour tout n>0, on définie sur 0, 2

  

 

  la fonction f

_n

par : f

n

  x   x n ^tan x . 1) a) Montrer que pour tout n>0, l’équation f

n

  x   n admet dans 0,

2

  

 

  une unique solution qu’on note U

_n

.

b) Vérifier que pour tout n>0 ,

n

 

n ⁿ

, et que tan 1

2 n

U U

4 U

  

 

      .

2) a) Montrer que pour tout n>0 et pour tout , x    4 2 

     on a : 1  f

_n1

  x  f

_n

  x .

b) Déduire alors que la suite U est strictement décroissante, et quelle converge vers une limite que l’on précisera.