Mr :Khammour.K Résumé : Suites réelles 4

Mr :Khammour.K Résumé : Suites réelles 4

^ème

Math et Sc-exp Novembre 2015

 Suite arithmétique :

  ^U

n

suite arithmétique de raison r U

_n1

 U

_n

 r Relation entre deux termes quelconques

Terme général (Relation entre U

_n

et n) ^U

n

 ^U

p

   n p r 

U

_n

 U

0

  n r si U

₀

est le premier terme de la suite Somme

1

0 1 1

0

U U ... U U

n

n k

k



 

    

¹

0

U

n k k







⁼

  

1 0



Nombre de termes

1 terme dernier terme U +U

2 2

er

n

n

 



 Suite géométrique :

  ^U

n

suite géométrique de raison q U

_n1

=qU

_n

Relation entre deux termes quelconques

Terme général (Relation entre U

_n

et n)

 

U =U

_{n p}

q

^{n p}

U =U

_n 0

q

ⁿ

si U

₀

est le premier terme de la suite Somme

1

0 1 1

0

U U ... U U

n

n k

k







    

¹

0

U

n k k







⁼

^Nombre de termes^

0

1 1

1 terme U

1 1

n

er

q q

q q

 

  

 

 Propriétés sur la 

 

k k

  

k

 

k

k I k I k I

U V U V

  

  

  

^.

 

k

  

k

^{où IR}

k I k I

U U

  

 

 

 

^.

  nombre d'éléments de I 

k I

 



  

 nombre d'éléments de U 1 dernier indice 1 indice +1

^er

n k k p

n p



    



 Si on a : U

_n

V alors

_n

 

_k

 

_k

k I k I

U V

 

   

^.

 Suites monotones :

   ^U

n

est croissante sur I ssi U

_n1

 U

_n

 0 pour tout n  I .

   ^U

n

est décroissante sur I ssi U

_n1

 U

_n

 0 pour tout n  I .

   ^U

n

est croissante sur I ssi U

_n1

=U

_n

pour tout n  I . Remarque :

Pour étudier la monotonie d’une suite (croissante ou décroissante) - On étudie le signe de U

_n1

 U

_n.

- Quand U

_n

 0 , on compare ^U

¹

U

n n



par 1.

- Quand U

_n1

 f U  

_n ,

On compare f(x) et x.

 Suite majorée – minorée – bornée : Soit   ^U

n

est définie sur I.

   ^U

n

est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n  I U

_n

 M

.

   ^U

n

est minorée s’il existe un réel m tel que U

_n

 m pour tout n  I

.

   ^U

n

est bornée s’il existe deux réels m et M tels que m  U

_n

 M pour tout n  I

.

Remarque :

Pour démonter qu’une suite est majorée ou minorée ou bornée on utilise en général la raisonnement par récurrence.

Exemple : Montrons que pour tout n  I , a  U

_n

 b

.

- 1

^ère

étape : Vérifions pour n = n

₀

,

U

_n0

a   b

.

- 2

^ème

étape : Supposons que a  U

_n

 b Démontrons que a  U

_n1

 b

.

1

^ère

méthode : Encadrement, on part de a  U

_n

 b et on démontre que a  U

_n1

 b

.

2

^ème

méthode : Différence , on démontre que U

_n1

  b 0

et que

U

_n1

  a 0

.

3

^ème

méthode : Variation de la fonction f si U

_n1

 f U  

_n .

 Si f est croissante a  U

_n

 b

alors

f( ) a  f(U )

_n

 f( ) b

.

 Si f est croissante a  U

_n

 b

alors

f(b)  f(U )

_n

 f(a)

.

 Suites convergentes :

 Une suite est convergente si elle admet une limite finie lorsque n tend vers +∞

 

n



n

 ⁰

n

Lim U l

n

Lim U l



 



 

.

 Toute suite convergente est bornée (La réciproque est fausse : exemple : U

n

    ¹

ⁿ

est bornée mais n’est pas convergente)

 Règle de convergence des suites monotones :

 Toute suite croissante et majorée est convergente.

 Toute suite décroissante et minorée est convergente.

1

^er

hypothèse à partir d’un certain rang 2

^ème

hypothèse

comportement en +∞ Conclusion

n

U

n n

V   W  

n

 

n

n n

Lim W Lim V l







   ^U

n

est convergente et

 

n n

Lim U l





U

_n

 V

_n

 

n

⁰

n

Lim V



   ^U

n

est convergente et

 

n

⁰

n

Lim U





U

_n

a   b  

n

n

Lim U l



 a l   b

U

_n

 V

_n

 

n

^et  

n

^'

n

Lim U l

n

Lim V l







 l  l '

U

_n

 V

_n

 

n

n

Lim V



   

n

n

Lim U



 

n

U

n

V   

n

n

Lim V



   

n

n

Lim U



 

 Recherche de la limite d’une suite : U

_n1

 f U  

_n



Si {

U

_n

 D f est continue sur D U est convergente vers

_n

l

alors

^f   ^{l  l}

Si -1< q < 1

_n

^{Lim q}

_

 

ⁿ

^{ 0}

Si q >1

_n

^{Lim q}

_

 

ⁿ

^{ }

Si q   1 Pas de limite

 Suites adjacentes :

 Deux suites U et V sont adjacentes lorsqu’elles vérifient :

 U

_n

 V

_n.

   ^U

n

est croissante et   V

n

est décroissante

.

 

n n



n

Lim U V





= 0 .

 Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Exercice d’application:

Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0 < a < b. On définies les suites   U

n

et   V

n

par :

0 0 1 1

2

2U V U V

U , V , U ,V

U V

n n n n

n n

n n

a b

_{ }



    

1) Vérifier que   U

n

et   V

n

sont strictement positives.

2) On pose pour tout entier naturel n T

n

= U

n

– V

n

. a) Montrer que pour tout entier n , T

n

>0 puis

1

0 T 1 T

n

2

n

  .

b) En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : 0 T

n

2

n

b a 

  .

3) Démontrer alors que les suites   U

n

et   V

n

sont adjacentes.