D E B O R D
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Raisonnement par récurrence et limites de suites
⋆ ⋆1 Le raisonnement par récurrence
1.1 La méthode
Il y a trois étapes dans le raisonnement par récurrence :
Initialisation : on vérifie que la propriété à démontrer est vraie au premier rang
Hérédité : on montre que si la propriété est vraie pour un rang donné , alors elle est vraie au rang suivant .
Conclusion : on a démontré que la propriété est vraie pour tout n .
1.2 Exemple
Montrer que 4n+ 2 est un multiple de 3 pour tout entier naturel n .
Attention
On utilise le raisonnement par récurrence uniquement avec des entiers , jamais avec des réels .
2 Limites de suites
2.1 Premières définitions
Définition.
Soit (u
n) une suite . On dit que (u
n) tend vers L si et seulement si tout intervalle ouvert contenant L contient aussi tous les termes de (u
n) à partir d’un certain rang . Dans ce cas , on note : lim
n→+∞
un =L Définition.
Soit (u
n) une suite . On dit que (u
n) tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[ contient tous les termes de (u
n) à partir d’un certain rang . Dans ce cas , on note : lim
n→+∞
un = +∞ Définition.
Une suite converge si elle admet une limite finie . Une suite non convergente est dite divergente
Attention
Une suite est donc divergente si elle a une limite infinie ou si elle n’a pas de limite . Exemple.
un = (−1)n diverge car elle n’a pas de limite .
28 juillet 2020 1 Béatrice Debord
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Raisonnement par récurrence et limites de suites
⋆ ⋆2.2 Règles de calculs
Propriété.
lim
n→+∞
np = +∞ avec p entier naturel lim
n→+∞
√n= +∞ lim
n→+∞
1
n = 0 lim
n→+∞
√1n = 0
lim
n→+∞
1
np = 0 avec p entier naturel .
On applique les opérations habituelles pour calculer des limites .
Attention
Il y a quatre formes indéterminées :
∞
∞ 0
0 ∞ ×0 +∞ − ∞
Exemple. 1. Déterminer la limite de u
n=n2+n+ 5 2. Déterminer la limite deu
n = 3
n2+ 1 3. Déterminer la limite deu
n = (n+ 1)(n2−9)
2.3 Lever une indétermination
Méthode.
On factorise par le facteur de plus haut degré pour supprimer une forme indéterminée . Exemple. 1. Déterminer la limite de u
n=n2−n+ 8 2. Déterminer la limite deu
n = n2+n+ 8 n3+ 8
28 juillet 2020 2 Béatrice Debord
