C. Comportement global d'une suite B. Raisonnement par récurrence { Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TSA. Rappels

Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TS A. Rappels

1. Suite

Soit n₀un entier naturel. Une suite, définie pour nn₀, est une fonction qui à tout entier naturel n associe un nombre réel u_n. n est l'indice ou le rang du terme u_n. La suite est notée un _ou u_n_{nn0 .}

2. Modes de générations

Une suite peut être définie par :

➢ une formule explicite : un=fn_.

➢ le terme initial et une relation de récurrence qui relie tout terme u_n en fonction du (ou des) terme(s) précédents : {^u0=a

u_n1=fu_npourtout entier natureln ^. 3. Suites arithmétiques et suites géométriques

Suite arithmétique de raison r Suite géométrique de raison q Relation de

récurrence u_n1=u_nr un1=un×q

Formule

explicite u_n=u₀nr=u₁n–1r=...

u_n=u_pn – pr

un=u0×qⁿ=u1×q^{n – 1=...}

u_n=u_p×q^{n – p} Somme de N

termes

consécutifs S = N×[moyenne des termes extrêmes] S = [premier terme]×1– q^N

1– q ^{(q≠1 )}

B. Raisonnement par récurrence

1. Principe  feuille annexe 1.

2. Exemple : La suite u_n est définie par u₀=0 et, si n0 , u_n1=^un6 . Montrer que, pour tout n0 , u_n3 .

C. Comportement global d'une suite

1. Suites monotones

DÉFINITION  Soit u_n une suite de nombres réels. On dit que :

• La suite u_n est croissante lorsque, pour tout entier n, u_nu_n1.

• La suite u_n est décroissante lorsque, pour tout entier n, u_nu_n1.

• La suite u_n est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante.

étude de la monotonie d'une suite : 3 techniques :

Si u_n=fn où f est une fonction définie Je compare directement u_n et u_n1 : sur [0;∞[ : j'étudie les variations de f sur ou  soit en étudiant le signe de u_n1– u_n

[0;∞[ et le sens de variation de u_n s'en déduit.  soit en comparant u_n1

u_n à 1 si u_n0

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Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TS

ou J'utilise le raisonnement par récurrence

Exemples : étudier la monotonie des suites u_n à l'aide de la technique indiquée.

Avec la différence u_n1– u_n : u_n=n²–5n

Avec le quotient u_n1

u_n : u_n=n 3ⁿ

Avec la fonction f : u_n=n²–1 n²1

Avec le raisonnement par récurrence : reprendre exemple B.2

2. Suites majorées, minorées, bornées

DÉFINITION  Soit u_n une suite de nombres réels. On dit que :

• La suite u_n est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout entier n, u_nM.

• La suite u_n est minorée s'il existe un réel m tel que, pour tout entier n, mu_n.

• La suite u_n est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

techniques :

Si u_n=fn : f majorée sur [0;∞[ ou Si u_n1=fu_n : on peut raisonner par implique que la suite u_n l'est aussi. récurrence.

Exemple B.2 : la suite u_n est majorée par 3.

D. Comportement asymptotique

1. Suites convergentes

DÉFINITION  Soit u_n une suite numérique et l un nombre réel. On dit que la suite u_n admet pour limite l si ...

extérieur de I : seulement

un nombre fini de termes l

Dans I, tous les termes à partir du rang n₀

2010©My Maths Space Page 2/4 Intervalle ouvert I

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Notation : u_n admet l pour limite se note lim_n∞u_n=l

Vocabulaire : Lorsqu'une suite admet une limite l, on dit qu'elle est convergente. Dans le cas contraire, elle est divergente.

Propriété de la limite : Si une suite est convergente, sa limite est unique.

l₁ l₂

2. Suites divergentes

 Suites ayant pour limite ∞ ou –∞

DÉFINITION  On dit qu'une suite u_n admet pour limite ∞ si tout intervalle du type [A;∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note lim_n∞u_n=∞.

Exercice : Écrire la définition pour lim

n∞u_n=−∞

Exemples : Les suites de termes généraux n, n, n², n³, ... admettent ∞ comme limite.

Les suites de termes généraux −n, −n, −n², −n³, ... admettent −∞ comme limite.

Suites n'ayant pas de limite



La suite de terme général –1ⁿ n'admet pas de limite ; idem pour u_n=cosn. 3. Opérations sur les limites

u_n et v_n deux suites telles que lim_n∞u_n=a et lim_n∞u_n=b où a et b désignent des réels ou l'un des symboles ∞ ou –∞ .

u_nv_n b∈ℝ ∞ –∞ u_nv_n b∈ℝ ∞ –∞ u_n vn

b∈ℝ

b≠0 ^{∞ –∞}

a∈ℝ a∈ℝ a∈ℝ

∞ ∞ ∞

–∞ –∞ –∞

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Exemples : Déterminer les limites éventuelles des suites de termes généraux : u_n=n²n ; ^v_n^{=n3–n} ; ^wn= 1

n²–5

4. Théorèmes de comparaison

3 théorèmes vus en classe de première et très utiles

Si

u_nv_n

et

lim

n∞u_n=∞

alors

lim

n∞v_n=∞

v_nu_n lim

n∞u_n=−∞ lim

n∞v_n=−∞

u_nv_nw_n

u_ne t w_n ont la même limite l

v_n converge et lim

n∞v_n=l à partir d'un

certain rang

Exercice : Étudier la limite de la suite u_n à l'aide d'un théorème de comparaison.

u_n=cosn– n ; u_n=–1ⁿ

ⁿ

5. Comportement de u_n=qⁿ suivant les valeurs de q réel

THÉOREME  suivant les valeurs de q

• Si q1 , alors lim

n∞

qⁿ=∞.

• Si q=1 , alors la suite qⁿ est constante et a pour limite 1.

• Si –1q1 , alors lim

n∞

qⁿ=0 .

• Si q–1 , alors la suite qⁿ est divergente et n'a pas de limite.

Plan leçon d'après "Collection Terracher Terminale S"

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