Classe de Terminales S T. P 1 Raisonnement par récurrence
Démonstration par récurrence : Pour démontrer par récurrence qu’une propriétéP relative à un entier naturel n est vraie pour tout entier naturel n , on doit :
n
n0
≥
≥n
• Démontrer que la propriété est vraie pour n0 (initialisation)
• Démontrer que la propriété est « héréditaire », c'est-à-dire prouver que si on la suppose vraie à un rang n 0 (hypothèse de récurrence) alors elle est encore vraie au rang (n+1).
Exemple : Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :n≺2n.
0
1 n
1 1
La propriété est vraie pour 0 :0 2 .
Supposons que la propriété est vraie au rang c'est à dire 2 . Montrons alors que : 1 2 .
comme 0, On a 2 1.
Ainsi 1 2 2 . Or 2 2 2.2 2 .
Donc 1 2
n n
n n n n n n
n
n
n n
n n
n n
+
+ +
=
+
≥ ≥
+ + + = =
+
≺
≺
≺
≺
≺ .La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.
On conclut que, pour tout entier naturel n, on a : n≺2 .n Applications :
Montrer par récurrence la propriété suivante:
1) "12 22 32 2 ( 1)(2 1)"
6
n n n
n + +
+ + + + =
2) La suite ( ) définie pour tout entier naturel par: 0 2 et 1 2 3.
Démontrer par récurrence que : 3 2 .
n n n
n n
u n u
u
u + u
= = −
= −
3)
0
n+1 n
u =1 La suite ( ) est définie sur par :
u = 1+u
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , est strictement positif.
n
n
u
n u
⎧⎪⎨
⎪⎩
4) Soit un réel positif.
Démontrer par récurrence l'inégalité (1 )n 1 n pour tout entier naturel .n α
α α
+ ≥ +
5) La suite ( ) définie pour tout entier naturel par: 0 3 et 1 5 4.
Démontrer par récurrence que : 2 5 1.
n n n
n n
u n u
u
u + u
= = −
= × +
6)
0 1
La suite ( ) définie pour tout entier naturel par: 0 et 6.
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel : 0 3.
b) Démontrer par récurrence que la suite ( ) est croissante.
n n n
n n
u n u u u
n u
u
= + = +
≤ ≺
En déduire qu'elle converge.
