Raisonnement par récurrence www.mathGM.fr Les savoir-faire Le problème du chapitre Le raisonnement par récurrence Exemples d’application
Raisonnement par récurrence
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Lycée Louise Michel (Gisors)
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Les savoir-faire
10. Savoir mener un raisonnement par récurrence.
11. Utiliser le raisonnement par récurrence pour étudier une suite.
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Le problème de Nabolos
On considère la propriété suivante :
«23n−1 est un multiple de 7 »
On peut vérifier que cette propriété est vraie pour quelques valeurs den. Mais l’est-elle pour tous les entiers naturelsn?
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Principe du raisonnement
Théorème
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si :
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Principe du raisonnement
Théorème
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si : il existe un entier natureln0 tel quePn0 est vraie (Initialisation) ;
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Principe du raisonnement
Théorème
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si : il existe un entier natureln0 tel quePn0 est vraie (Initialisation) ;
pour tout entiern>n0,Pn vraie impliquePn+1 vraie (Hérédité) ;
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Principe du raisonnement
Théorème
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si : il existe un entier natureln0 tel quePn0 est vraie (Initialisation) ;
pour tout entiern>n0,Pn vraie impliquePn+1 vraie (Hérédité) ;
AlorsPn est vraie pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àn0.
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Méthode
Propriété
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Pour montrer que la propriétéPn est vraie pour tout n>n0, on procède en deux étapes :
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Méthode
Propriété
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Pour montrer que la propriétéPn est vraie pour tout n>n0, on procède en deux étapes :
Initialisation :On montre que la propriétéPn est vraie pourn0 (le plus souvent,n0= 0 oun0= 1).
On dit que la propriété estinitialiséeau rangn0 (c’est-à-dire :Pn
0 est vraie) ;
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Méthode
Propriété
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Pour montrer que la propriétéPn est vraie pour tout n>n0, on procède en deux étapes :
Initialisation :On montre que la propriétéPn est vraie pourn0 (le plus souvent,n0= 0 oun0= 1).
On dit que la propriété estinitialiséeau rangn0 (c’est-à-dire :Pn
0 est vraie) ;
Hérédité :On suppose la propriétéPn vraie pour un entier naturelnfixé et quelconque, et on montre que, sous cette hypothèse, la propriétéPn+1 est vraie.
On dit que la propriété esthéréditaire. ALORS
On conclut que la propriété est vraie pour tout entier naturelnplus grand quen0.
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Exemples
Démontrer une célèbre inégalité
Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : (1 +a)n>1 +naaveca >0. Vidéo
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Exemples
Démontrer une célèbre inégalité
Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : (1 +a)n>1 +naaveca >0. Vidéo
Démontrer une expression générale d’une suite
Soit(un)la suite définie pour tout entier natureln par :un+1=un+ 2n+ 3etu0= 1.
Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : un= (n+ 1)2. Vidéo
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Exemples
Démontrer une célèbre inégalité
Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : (1 +a)n>1 +naaveca >0. Vidéo
Démontrer une expression générale d’une suite
Soit(un)la suite définie pour tout entier natureln par :un+1=un+ 2n+ 3etu0= 1.
Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : un= (n+ 1)2. Vidéo
Démontrer la monotonie d’une suite
Soit(un)la suite définie pour tout entier natureln par :un+1=1
3un+ 2etu0= 2.
Démontrer par récurrence que la suite(un)est croissante. Vidéo