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Raisonnement par récurrence

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Academic year: 2022

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Raisonnement par récurrence www.mathGM.fr Les savoir-faire Le problème du chapitre Le raisonnement par récurrence Exemples d’application

Raisonnement par récurrence

www.mathGM.fr

Lycée Louise Michel (Gisors)

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Les savoir-faire

10. Savoir mener un raisonnement par récurrence.

11. Utiliser le raisonnement par récurrence pour étudier une suite.

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Le problème de Nabolos

On considère la propriété suivante :

«23n−1 est un multiple de 7 »

On peut vérifier que cette propriété est vraie pour quelques valeurs den. Mais l’est-elle pour tous les entiers naturelsn?

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Principe du raisonnement

Théorème

SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si :

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Principe du raisonnement

Théorème

SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si : il existe un entier natureln0 tel quePn0 est vraie (Initialisation) ;

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Principe du raisonnement

Théorème

SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si : il existe un entier natureln0 tel quePn0 est vraie (Initialisation) ;

pour tout entiern>n0,Pn vraie impliquePn+1 vraie (Hérédité) ;

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Principe du raisonnement

Théorème

SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si : il existe un entier natureln0 tel quePn0 est vraie (Initialisation) ;

pour tout entiern>n0,Pn vraie impliquePn+1 vraie (Hérédité) ;

AlorsPn est vraie pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àn0.

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Méthode

Propriété

SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Pour montrer que la propriétéPn est vraie pour tout n>n0, on procède en deux étapes :

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Méthode

Propriété

SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Pour montrer que la propriétéPn est vraie pour tout n>n0, on procède en deux étapes :

Initialisation :On montre que la propriétéPn est vraie pourn0 (le plus souvent,n0= 0 oun0= 1).

On dit que la propriété estinitialiséeau rangn0 (c’est-à-dire :Pn

0 est vraie) ;

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Méthode

Propriété

SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Pour montrer que la propriétéPn est vraie pour tout n>n0, on procède en deux étapes :

Initialisation :On montre que la propriétéPn est vraie pourn0 (le plus souvent,n0= 0 oun0= 1).

On dit que la propriété estinitialiséeau rangn0 (c’est-à-dire :Pn

0 est vraie) ;

Hérédité :On suppose la propriétéPn vraie pour un entier naturelnfixé et quelconque, et on montre que, sous cette hypothèse, la propriétéPn+1 est vraie.

On dit que la propriété esthéréditaire. ALORS

On conclut que la propriété est vraie pour tout entier naturelnplus grand quen0.

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Exemples

Démontrer une célèbre inégalité

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : (1 +a)n>1 +naaveca >0. Vidéo

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Exemples

Démontrer une célèbre inégalité

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : (1 +a)n>1 +naaveca >0. Vidéo

Démontrer une expression générale d’une suite

Soit(un)la suite définie pour tout entier natureln par :un+1=un+ 2n+ 3etu0= 1.

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : un= (n+ 1)2. Vidéo

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Exemples

Démontrer une célèbre inégalité

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : (1 +a)n>1 +naaveca >0. Vidéo

Démontrer une expression générale d’une suite

Soit(un)la suite définie pour tout entier natureln par :un+1=un+ 2n+ 3etu0= 1.

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : un= (n+ 1)2. Vidéo

Démontrer la monotonie d’une suite

Soit(un)la suite définie pour tout entier natureln par :un+1=1

3un+ 2etu0= 2.

Démontrer par récurrence que la suite(un)est croissante. Vidéo

Références

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On appliquera l’hérédité de la proposition en disant que puisqu’elle est vraie au rang n 0 , elle est vraie également au rang suivant, càd au rang n 0 +1 et puisqu’elle est

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Utiliser le raisonnement par récurrence pour étudier une suite. Le raisonnement