Chapitre 1
Raisonnement par récurrence
Les savoir-faire
10. Savoir mener un raisonnement par récurrence.
11. Utiliser le raisonnement par récurrence pour étudier une suite.
I. Le raisonnement par récurrence
1. Principe du raisonnement
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln. Si :
— il existe un entier natureln0tel que Pn
0 est vraie (Initialisation) ;
— pour tout entiern>n0, Pn vraie impliquePn+1 vraie (Hérédité) ; AlorsPn est vraie pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à n0. Théorème
Méthode :
SoitPn une propriété dépendant d’un entier natureln.
Pour montrer que la propriétéPn est vraie pour toutn>n0, on procède en deux étapes :
— Initialisation :On montre que la propriétéPn est vraie pourn0(le plus souvent,n0= 0 oun0= 1).
On dit que la propriété estinitialiséeau rangn0(c’est-à-dire :Pn
0 est vraie) ;
— Hérédité :On suppose la propriétéPn vraie pour un entier naturelnfixé et quelconque, et on montre que, sous cette hypothèse, la propriétéPn+1 est vraie.
On dit que la propriété esthéréditaire.
ALORS
On conclut que la propriété est vraie pour tout entier naturelnplus grand quen0.
II. Exemples d’application
Exemple : Démontrer une célèbre inégalité
Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a : (1 +a)n>1 +naaveca >0. Vidéo Exemple : Démontrer une expression générale d’une suite
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturelnpar :un+1=un+ 2n+ 3 etu0= 1.
Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a :un= (n+ 1)2. Vidéo Exemple : Démontrer la monotonie d’une suite
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturelnpar :un+1=1
3un+ 2 etu0= 2.
Démontrer par récurrence que la suite (un) est croissante. Vidéo
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