() () Qu ’ est ce que le raisonnement par récurrence ?

Lycée Desfontaines – MELLE 1/2

Qu

’

est ce que le raisonnement par récurrence ?

On considère une proposition

( )

^Pn

On souhaite prouver que la proposition

( )

^Pn est vraie pour tout nÃn₀.

Déroulement du principe de raisonnement :

• Initialisation :

On doit montrer dans un premier temps que la proposition est vraie pour l’entier n₀

• Hérédité :

On doit ensuite montrer que lorsque la proposition est vraie à un certain rang, elle est également vraie au rang suivant.

En conclusion :

La propriété sera vraie au rang n0 (nous l’aurons montré). On appliquera l’hérédité de la proposition en disant que puisqu’elle est vraie au rang n₀, elle est vraie également au rang suivant, càd au rang n0+1 et puisqu’elle est vraie au rang n0+1, elle l’est également au rang n0+2 et ainsi de suite. La proposition sera donc vraie pour tout entier nÃn0

Sur un exemple :

On souhaite montrer que la proposition "1+2+3+…+n= n(n+1) 2 "

est vraie pour tout entier naturel nÃ1.

Initialisation :

On doit prouver que la proposition est vraie au rang n=1 càd que 1=1×(1+1)

2 .

Or, 1×(1+1)

2 =1×2

2 =1. La proposition est donc vraie pour n=1 Hérédité :

On doit prouver que si la proposition est vraie à un certain rang alors elle est vraie au rang suivant.

On suppose donc qu’il existe un entier pÃ1 telle que 1+2+…+p=p×(p+1)

2 (ce sera notre hypothèse de récurrence)

et on doit montrer que 1+2+…+p+(p+1)=(p+1)×(p+2) 2

Par hypothèse de récurrence on sait que 1+2+…+p=p×(p+1)

2 donc

Lycée Desfontaines – MELLE 2/2

1+2+…+p+(p+1)=p×(p+1)

2 +(p+1) =p×(p+1)+2×(p+1)

2 = (p+1)×(p+2)

2

On vient bien de montrer que la proposition est héréditaire (si elle est vraie à un rang pÃ1 alors elle l’est au rang p+1)

En résumé :

La proposition est vraie pour n=1 et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout nÃ1, càd que ┐nÃ1, 1+2+…+n=n×(n+1)

2

Remarque : On pouvait aussi démontrer cette proposition sans utiliser le raisonnement par récurrence et en utilisant la somme des n premiers termes de la suite arithmétique

( )

^un définie ┐n, par un=n. (cf fiche méthode sur les suites arithmétiques)

Un exemple (à ne pas retenir !!)

On souhaite démontrer par récurrence que n points quelconques d’un plan sont toujours alignés ! Absurde direz-vous. Et pourtant…

On appelle

( )

^Pn la proposition "n points du plan sont toujours alignés".

Initialisation :

La propriété est bien évidemment vraie pour n=1 et pour n=2 (1 ou 2 points du plan sont toujours alignés). Donc

( )

^{P1 et}

( )

^P2 sont vraies.

Hérédité :

Supposons qu’il existe un entier pÃ2 tel que

( )

^Pp soit vraie, c'est-à-dire tel que "p points alignés du plan sont toujours alignés". On doit prouver que

(

^Pp+1

)

est vraie càd que

"(p+1) points du plan sont toujours alignés".

Considérons alors ces (p+1) points qu’on appellera A₁, A₂, … , Ap+1

D’après l’hypothèse de récurrence, les p points A₁, … , A_p sont alignés sur une droite D. De même, les p points A2, … Ap+1 sont également alignés sur une droite D’. Les deux droites D et D’ contiennent toutes les deux les points A₂, A3, …, Ap elles sont donc confondues et donc les points A1, A2, … , Ap+1 sont alignés.

Conclusion :

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 2 et puisqu’elle est vraie aux rangs 1 et 2, on déduit qu’elle est vraie pour tout entier nÃ1

Alors, toujours aussi absurde ???

Evidemment, il y a une erreur quelque part. La trouverez-vous ?