Nom :
Classe : TS 1 Te st n°1
Raisonnements par récurrence
le 11/09/2017
Note :
… / 5
Avis de l’élève Avis du professeur
Compétences évaluées Oui Non Oui Non
Mener des démonstrations par récurrence
Exercice 1 : ROC (Restitution Organisée de Connaissances) sur une démonstration exigible.
Soit un réel strictement positif. Démontrer la propriété p( ) : '' ∀ ∈ N, ≥ ''.
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Exercice 2 : On considère la suite définie sur N par . Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : = .
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® n n (1 +®)n 1 +n®
½ u0 = 2
un+1 = 2un¡3 n un 3¡2n
Correction du Test n°1 Exercice 1 : Cf cours.
Exercice 2 : On considère la suite définie sur N par . Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : = .
On note p( ) : '' ∀ ∈ N, = ''.
• Initialisation :
= 2 et : = = 2 Donc : = et p(0) est vraie.
• Hérédité :
Soit un entier naturel. ≥ 0.
On suppose que p( ) est vraie, c'est-à-dire que : =
On veut montrer que p( ) est aussi vraie, c'est-à-dire que : = . Si p( ) est vraie alors : =
= =
= =
p( ) est vraie
• Conclusion :
p(0) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire.
Donc : ∀ ∈ N, =
½ u0 = 2
un+1 = 2un¡3 n un 3¡2n
n un 3¡2n
n n un 3¡2n
u0 3¡20 3¡1 u0 3¡20
k k
k uk 3¡2k
k+ 1 uk+1 3¡2k+1
k uk 3¡2k
2uk 2(3¡2k) 2uk 6¡2k+1
2uk¡3 6¡2k+1¡3 uk+1 3¡2k+1
k+ 1 n
