TS Le raisonnement par récurrence, un outil puissant de démonstration

I. Intérêt 1°) Exemple

u est la suite définie par ⁰

1

0

_n 2 _n 1 u

n u_ u

 

   

 

(suite récurrente ; suite « arithmético-géométrique » ; on ne connaît pas l’expression du terme général en fonction de n).

Calculons les premiers termes de cette suite.

n 0 1 2 3 4 5 6 7

un 0 1 3 7 15 31 63 127

Conjecture :

Il semble que l’on ait pour tout entier naturel n, u_n2ⁿ1 (cf. passage du mode récurrent au mode explicite pour une suite).

2°) Problème

Si l’on note pour n la phrase ^{P n}

 

^{: «} un²ⁿ¹ », on vérifie facilement que ^P

 

^{0 , P}

 

^{1 , P}

 

^{2 …}

 

⁷

P sont vraies.

Pour démontrer que la phrase est toujours vraie, on ne peut pas se contenter de quelques vérifications, aussi nombreuses soient-elles.

Pour cela, il faudrait disposer d’un raisonnement qui permette en un nombre fini d’étapes de montrer que la phrase ^{P n}

 

est vraie pour tous les entiers naturels n (qui sont une infinité).

Le raisonnement par récurrence permet précisément d’opérer « le passage du fini à l’infini » (selon la formule célèbre de Henri Poincaré).

3°) Autre approche

On a déjà utilisé un type de raisonnement appelé raisonnement de « proche en proche » qui permet d’établir des propriétés sur le signe des termes d’une suite ou des majorations-minorations (par contre, pas pour des sens de variation).

Le raisonnement par récurrence va permettre de formaliser ce type de raisonnement.

TS Le raisonnement par récurrence, un outil puissant de démonstration

II. Théorème de récurrence

1°) Énoncé (admis sans démonstration)

 

P n est une phrase mathématique dépendant d’un entier naturel n.

On suppose que les deux conditions suivantes sont vérifiées : C₁ : P

 

0 est vraie

C2 : Si la phrase ^{P k}

 

est vraie pour un entier naturel k fixé alors la phrase ^{P k}



^1



est vraie.

Dans ce cas, on peut affirmer que la phrase ^{P n}

 

est vraie pour tout entier naturel n.

Schéma :

 ^P

 

⁰ est vraie

 ^{P k}

 

^{vraie P k}



^1



^vraie

Alors, pour tout entier naturel n, ^{P n}

 

est vraie.

2°) Vocabulaire C₁ : « initialisation »

C₂ : « hérédité »-« transmissibilité » - « propagation » 3°) Extension (phrases vraies à partir d’un certain rang)

 Lorsque P n

 

0 est vraie

 ^{P k}

 

^vraie ^{P k}



¹



vraie

Alors pour tout entier naturel nn₀, ^{P n}

 

est vraie .

III. Explication du principe 1°) Barreaux d’une échelle

Si l’on peut mettre un pied sur un barreau de l’échelle (le barreau n₀) et si l’on peut passer d’un barreau quelconque au suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de l’échelle à partir du barreau n₀.

2°) Dominos

On peut aussi donner l’image de dominos qui tombent les uns après les autres.

3°) Remarques

 La partie « initialisation » est très importante ; il existe des phrases qui sont héréditaires mais pas vraies au rang initial.

 La partie « hérédité » utilise un mode de raisonnement déductif.

On peut avoir l’impression que l’on part du résultat pour démontrer le résultat.

Ce n’est évidemment pas du tout le cas.

IV. Exemple de mise en œuvre d’un raisonnement par récurrence

u est la suite définie par

0

1

1

1 1

n 2 n

u

n u_ u

 



   

  .

Démontrer par récurrence que pour tout entier n u_n 2.

Rédaction Commentaires

Démontrer par récurrence que pour tout entier n, on a :

n 2 u   .

Le résultat d’une récurrence :

« pour tout n » ou « pour tout nn0 »

Pour n on définit la phrase

 

P n : « u_n 2 ».

On donne un nom à la phrase mathématique.

Elle découle toujours de l’énoncé qui est donné.

Initialisation :

Vérifions que ^P

 

⁰ est vraie.

0 1

u  par hypothèse donc u₀ 2. D’où ^P

 

⁰ est vraie.

Transcription de la phrase^P

 

^{0 .}

Hérédité :

Considérons un entier naturel k tel que la phrase ^{P k}

 

soit vraie c’est-à-dire u_k 2.

Démontrons qu’alors la phrase ^{P k}



^1



est vraie c’est-à-dire

1 2

uk_   .

Par hypothèse de récurrence, on a : u_k 2

1 1

0

2 2

 

   

 

d’où 1

2u^k 1

1 1

1 2

2u^k   u_k1 2

Donc ^{P k}



^1



est vraie.

On sait qu’un tel entier existe



^k0



^.

On part de u_k 2 (hypothèse de récurrence)

On veut arriver à ¹

1 1

2

2

k k u

u_



  .

Il faut « incruster » 1 2 et 1.

Conclusion :

On a démontré que ^P

 

⁰ est vraie et que si ^{P k}

 

est vraie pour un entier naturel k, alors ^{P k}



¹



est vraie.

Donc, d’après le théorème de récurrence, la phrase ^{P n}

 

^est

vraie pour tout entier naturel n.

Conditions C₁ et C₂ du théorème.

Cela marche comme des dominos qui tombent les uns après les autres.

 

⁰

P vraie ^P

 

^{1 vraieP}

 

^{2 vraie}

(En gros le « pour tout » ne marche qu’avec le n !)

Il est important de comprendre que le « pour tout » est quelque chose que l’on « gagne » à la fin de la démonstration.

V. Autre exemple de mise en œuvre d’un raisonnement par récurrence

u est la suite définie par ⁰

1

0

_n 2 _n 1 u

n u_ u

 

   

  (reprise de l’exemple du I).

Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : u_n2ⁿ1. Pour n on définit la phrase ^{P n}

 

^{: «} un²ⁿ¹ ».

Initialisation :

Vérifions que ^P

 

⁰ est vraie.

0 0

u  par hypothèse donc u₀  1 1 2⁰1. D’où ^P

 

⁰ est vraie.

Hérédité :

Considérons un entier naturel k tel que la phrase ^{P k}

 

soit vraie c’est-à-dire u_k2^k1. Démontrons qu’alors la phrase ^{P k}



¹



est vraie c’est-à-dire u_k12^k11.

Par hypothèse de récurrence, on a : u_k2^k1

2 (en effet : 2 2 ^k2¹2^k2^k1 d’après les règles sur les puissances) d’où 2u_k2^k12

1 Par suite, 2u_k 1 2^k11

1

1 2^k 1

uk_  ^ 

Donc ^{P k}



¹



est vraie.

Autre rédaction :

1 2 1

k k

u_  u 

 

1 2 2^k 1 1

uk_   

1

1 2^k 2 1

uk_  ^  

1

1 2^k 1

uk_  ^  Conclusion :

On a démontré que ^P

 

⁰ est vraie et que si ^{P k}

 

est vraie pour un entier naturel k, alors ^{P k}



¹



est vraie.

Donc, d’après le théorème de récurrence, la phrase ^{P n}

 

est vraie pour tout entier naturel n.

VI. Remarques

1°) Remarque historique

Pascal est le premier mathématicien à avoir fait un raisonnement par récurrence pour démontrer une propriété (« raisonnement inductif »).

2°) Rédaction

à bien respecter le protocole.

(beaucoup de rédaction, aucun quantificateur).

3°) Quelles propriétés peut-on démontrer par récurrence ? - Avec des suites

On pourra démontrer énormément de résultats : minorations, majorations, sens de variations, expression du terme général d’une suite, formules sommatoires etc.

- Sans des suites (cf. exos).

Propriétés des entiers naturels par exemple.

Ne pas écrire de raccourci du type ^P

 

^{0 3}

VII. Appendice : remarques sur le symbole



1°) Quelques formules

u désigne une suite.

1

1

0 0

k n k n

k k n

k k

u u u

  



 

 

 

 

 

 

 

2

1 2

0 0

k n k n

k k n n

k k

u u u u

  

 

 

 

 

  

 

 

 

0

1 0

k n k n

k k

k k

u u u

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0 0

k n k n

k k n

k k

u u u

  

 

 

 

 

 

 

 

2°) Utilisation : formules sommatoires Voir exercices.

C OMMENTAIRES

Une proposition est une phrase qui est soit vraie soit fausse.

Exemples :

« 2 divise 5 » est fausse.

« 2 divise 2ⁿ » est vraie pour tout entier n1.

«  est un nombre décimal » est fausse.

Objectif : chercher à démontrer qu’une propriété est vraie pour tout entier naturel n.

Certaines propriétés peuvent se démontrer directement.

Par exemple : « 2 divise 2ⁿ ».

En effet, pour tout entier n1, on a : 2ⁿ 2 2^n1.

En revanche, il y a des cas où on sait pas démontrer directement (ou en tout cas pas facilement) qu’une propriété est vraie pour tout entier naturel n directement.

Par exemple : « 10ⁿ1 est divisible par 9 ».

Le raisonnement par récurrence va nous fournir un moyen simple et puissant de démontrer beaucoup de propriétés.

Mardi 8 décembre 2009 Vincent Faber

« Monsieur, si on prend la suite u est la suite définie par ⁰

2 1

4

_{n n} u

n u_ u

 



  

  .

Si on veut démontrer que tous les termes sont positifs ou nuls, alors on n’a pas besoin de récurrence. » C’est une remarque tout à fait juste.

Gaétan Le Bail

1 2

n n

u_  u 

Etudier le sens de variation de la suite

 

un .

« Ici, il vaut mieux que je fasse u_n1u_n. De toute façon, je peux pas faire la fonction. »

Le mercredi 8 décembre 2010 A propos du I :

« Les calculs ne suffisent pas »

« Il faut que ce soit vrai pour tout n »

A propos de la 1^ère récurrence :

On a le mot HYPOTHESE (« hypothèse de récurrence », « hypothèse générale ») HYPOTHESE en mathématiques :

Pauline Gaultier : « On ne sait pas si c’est vrai ou pas ».

« C’est quelque chose que l’on suppose » Florentine : « C’est ce qu’on doit démontrer ».

Antoine Bélorgey : « Une hypothèse est une affirmation que l’on prend pour vraie tandis que l’on n’est pas sûr.

Une hypothèse c’est quelque chose que l’on cherche à démontrer. »

Bonne définition donnée par ROXANE : « En mathématiques, ce sont toutes les informations données par l’énoncé ».

En SVT, le mot HYPOTHESE n’a pas le même qu’en mathématiques.

Attention aux amalgames avec la SVT.

En SVT, « émettre une hypothèse », « valider ou réfuter une hypothèse ».

En maths « émettre une conjecture ».

émettre une conjecture  émettre une hypothèse

Ici hypothèse générale = définition de la suite Hypothèse de récurrence

La récurrence en mathématiques : le mot « un », l’expression « pour tout ».

Roxane Haziza :

Quand on ajoute des éléments, quelles sont les règles de priorité d’ »incrustation » à appliquer.

Exemples : 1. ₁ 1

2 1

n n

u_  u 

Connaissant u_n, on multiplie d’abord u_n par 1

2 puis on ajoute 1.

2. u_n1 u_n12

Connaissant u_n, on a ajouté 12 puis on fait la racine carrée.

2^e exemple de récurrence : plus difficile que le premier.

2^e rédaction :

On part de l’hypothèse générale.

On « incruste » l’hypothèse de récurrence.

Pas de quantificateur dans une récurrence.

 n  P(n) est vraie

Incorrect : pas de texte en français

Le jeudi 15 septembre 2011

Cours particulier avec Alexandre Léonis A quoi sert la fonction P(n) ?

Réponse :

Ce n’est pas une fonction ; c’est une proposition qui dépend de l’entier n.

On pose cette proposition par commodité.

Idée personnelle :

Relier la récurrence aux algorithmes. Notion de boucle. Invariant de boucle.

La notion d’invariant de boucle permet de donner un autre éclairage sur le raisonnement par récurrence.