l . Mr :Khammour.K Série n°4 : « Suites réelles » 4 Sc-exp Novembre 2015

Mr :Khammour.K Série n°4 : « Suites réelles » 4^èmeSc-exp Novembre 2015

Exercice n°1 :

I. Donner la réponse exacte.

1) Soit la suite U définie par son premier terme U0 et U_n+12U_n 3. a) U est une suite géométrique.

b) La suite V définie par V_n U_n 3 est une suite géométrique.

c) Pour tout nIN , Un 2ⁿ





2) On considère les suites U , V et W telles que pour tout n, on a : U_n V_n W_n. Si _n

nlim V+

    alors :

a) _n

nlim W+

    b) _n

nlim U+

    c)

 

3) Soit la suite U définie par :  n ^{IN U*} n   ^{1 n}est :

a) Bornée b) convergente c) croissante.

4) Soit la suite U définie par : n IN U^* _n nsin ¹ n

      . a) lim U_n 0

n   b) lim U_n

n    c) lim U_n 1

n  

5) Soit la suite U définie par : IN U ^sin₂

n 1 n n

   n

 alors on a : a) lim U_n

n    b) lim U_n 1

n   c) lim U_n 0

n   II. Répondre par vrai ou faux en justifiant :

1) U converge ssi U² converge.

2) Si U est bornée alors U converge.

3) Si ⁿ

n + n

lim U

  V

 

 

  1 alors _{n n}

nlim U+ nlim V+

      l.

4) Deux suites qui convergent vers une même limite sont adjacentes.

5) Si _n

1

U 1

2

n k

k





6) La suite W_n ¹ sin(n)

 n est convergente.

7) La suite T définie pour tout n>0  ⁿ

n

2n -1

T n

  converge vers 2.

Exercice n°2 :

Soit

 

1 3 4

n n

U _  U  1) a) Montrer que Un

 

b) Montrer que

 

2) a) Montrer 1  

IN , 4 1 4

n 2 n

n U _ U

    

b) Retrouver la limite de

 

Soit

 

   et U_n1U_n





1) Montrer que IN ^* 0,¹

n 2

n U  

    .

2) Montrer que

 

Exercice n°4 :

Soit  un réel tel que ^

 





1 3 1

n n

U _    U 1) On suppose dans cette question  0.

a) Calculer U U₁, ₂ et U₃.

b) Montrer que pour tout nIN on a : U_n 3n. 2) On suppose dans cette question  0.

a) Montrer que pour tout n IN on a : 0 U_n ³

    .

b) Montrer que pour tout nIN on a : U_n U_n1. Déduire que la suite U est convergente..

3) Soit

 

  .

a) Montrer que la suite V est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Exprimer V_n puis U_n en fonction de n et  .

c) On pose ²

0 n

n k

k

S U







Soit  un réel appartenant à ]0,1[.On considère la suite

 

0 2

U 

 

1

1 _n

n

n

U U

U

 



 



1) a) Montrer que pour tout n de IN , on a : U_n 1. b) Montrer que

 

c) En déduire que la suite

 

2) Soit

 

n

V U

U 

 

 .

a) Montrer que

 

b) Exprimer V_n puis U_n en fonction de n. c) Retrouver alors la limite de la suite

 

Soit U la suite définie sur IN par : {

U0 a

1 2

1 1

1

n n

n

U U

 U

  



1) Pour quelles valeurs de a la suite U est constante.

2) On suppose dans la suite de l’exercice que ¹ a 2 a) Montrer que pour tout nIN,  1 U_n 0.

b) Montrer que la suite U est décroissante et convergente.

3) a) Montrer que pour tout nIN, 1  

0 1 2 1

n 5 n

U _ U

    .

b) Déduire que pour tout nIN ₁ 1 2

0 1 2 5

n

Un_  

     . c) Déduire la limite de la suite U.

4) Soit

0

1 ⁿ

n k

k

V U

n _





Exercice n°7 :

On considère la suite

 

0 0

U 

1 2

3

n 6

n

U

  U

 1) Calculer U₁et U₂.

2) a) Montrer que pour tout n de IN , on a :0U_n 3. b) Montrer que

 

c) En déduire que la suite

 

3) Soit

 

2

3 2 n n

n

V U

 U

 .

a) Montrer que

 

b) Exprimer V_n puis U_n en fonction de n. c) Retrouver alors la limite de la suite

 

Soit la suite U définie par : {

0 1

U 

1 2

2 1

n

n

U ^  U

1) a) Montrer que  n IN U_n 1 et que Un est croissante.

b) Justifier que lim U_n

n   .

2) Soit V la suite définie par IN V_n 2 ¹₂

n

n U

    .

a) Etudier la monotonie de V.

b) Déduire que V est convergente.

3) a) Montrer que  n IN U_n  1 2n.

b) Retrouver alors lim U et lim_{n n}

n n V

  .

4) a) Montrer que

 

* 1

IN 2 V 2

n 1

n n n

    

 . b) Soit

1

1 ⁿ

n k

k

S V

n _





 ^{1 1} ^{1 11}

n n  n n

  ).

Exercice n°9 :

On définit deux suites (U_n) et (V_n) par : ₁ 12, ₁ 1, ₁ ² , ₁ ³

3 4

n n n n

n n

U V U V

U  V  U _   V_  

1) Pour tout entier n  1, on pose Wn = Un – Vn. Montrer que (Wn) est une suite géométrique à termes positifs, déterminer sa limite et exprimer Wn en fonction de n.

2) Démontrer que la suite (Un) est décroissante et que la suite (Vn) est croissante.

3) Pour tout entier n  1, démontrer queU_n V_n. En déduire queU₁U_n V_n V₁.

4) Pour tout entier n  1, on pose Tn = 3Un + 8Vn. Démontrer que (Tn) est une suite constante.

5) En déduire les expressions de Un et Vn en fonction de n, puis les limites de (Un) et (Vn).

Exercice n°10 :

On considère la suite U définie par : {

0

1 U 2

1

1 1

n 2 n

U U

n ^

 

  

pour tout n de IN^*.

1) a) Montrer que pour tout nIN^*U_n 0. b) Exprimer U_n en fonction de n.

2) On pose : pour tout n de IN , V_n  nU_n et W_n n1U_n

a) Montrer que la suite V est croissante et la suite W est décroissante.

b) En déduire que pour tout n de IN^{* 1 1}

4 Uⁿ 2 1

n   n

 . c) Montrer que la suite U est convergente et calculer sa limite.

d) Montrer que les suites U et W sont adjacentes.