Déterminer la suite ( ) u

PanaMaths

[1 - 3]

Octobre 2006

Déterminer la suite ( ) u

n

solution de :

1

2 2 1 1

n n

3

n

u − u

₋

+ =

Déterminer alors, pour la solution obtenue : lim

_n

n_→+∞

u .

Analyse

On commence par se ramener à une forme d’équation classique : il convient alors de

déterminer la solution générale de l’équation sans second membre et une suite particulière de l’équation complète.

Résolution

On a immédiatement :

1

1 1 1 2 2 3

n n n

u −u ₋ = − +

Commençons par déterminer les solutions de l’équation :

1 0

n n

u −u ₋ = On veut : ∀ ∈n `, u_n =u_n−1.

Il s’agit donc des suites constantes : ∀ ∈n `, u_n =k.

On cherche ensuite une solution particulière de l’équation : ₁ 1 1 1 2 2 3

n n n

u −u ₋ = − + . On peut d’abord rechercher une solution particulière de l’équation : ₁ 1

n n 2

u −u ₋ = − , puis, une solution particulière de l’équation ₁ 1 1

n n 2 3n

u −u ₋ = .

Une solution particulière

( )

vn de l’équation ₁ 1

n n 2

u −u ₋ = − est une suite arithmétique de raison 1

−2. Avec un premier terme nul, on obtient : ,

n 2 n v n

∀ ∈` = − .

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Octobre 2006

Au regard de la forme du second membre (suite géométrique) de l’équation ₁ 1 1

n n 2 3n

u −u₋ = et de ses coefficients (1 et −1 sont tels que 1

1 1 0

× − ≠3 ), on cherche une suite géométrique de même raison comme solution particulière. Soit : ⁰

n 3n

w = w .

La suite

( )

wn est solution de l’équation ₁ 1 1

n n 2 3n

u −u₋ = si, et seulement si, on a pour tout entier naturel n non nul : ^{0 0}₁ 1 1

3ⁿ 3ⁿ 2 3ⁿ

w w

− − = . D’où, en multipliant par 3ⁿ : ₀ 1

2^w 2

− = . Soit : ₀ 1 w = −4. Finalement : 1 1

4 3

n n

w = − × .

Une solution particulière de l’équation proposée est donc la suite de terme général :

1 1

2 4 3

n n n

v +w = − − ×n

Conclusion :

L’équation ₁ 1 1 1

2 2 3

n n n

u −u ₋ = − + admet pour solution générale tout suite

( )

un de la forme :

1 1

2 4 3

n n

u = − − ×k n

On veut ₀ 3 u =4.

Or, pour n=0, on a : ₀ 0 1 1₀ 1

2 4 3 4

u = − − ×k = −k . On en tire : 1 3

4 4

k− = . D’où : k =1.

Finalement, la solution de l’équation proposée est la suite

( )

un définie par :

1 1

1 2 4 3

n n

u = − − ×n

La suite géométrique

( )

wn ayant une raison positive strictement inférieure à 1, sa limite vaut 0 : lim _n 0

n w

→+∞ = .

Par ailleurs, on a immédiatement : lim 1 2

n

n

→+∞

⎛ − ⎞= −∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

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Finalement :

1 1

lim 1

2 4 3ⁿ

n

n

→+∞

⎛ − − × ⎞= −∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠