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Dans tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormal direct R= (O,−→ı ,−→ ).
Exercice 1 Changement de repère
On considère le repère R0 = (A;−→u ,−→v ) obtenu à partir deRpar la rotation d’angle π3 et de centreO, suivie de la translation de vecteur−w→(3,−2).
1. Soit le pointB de coordonnées(−1,2)dansR. Déterminer ses coordonnées dansR0. 2. Soit la droiteD d’équation :√
3x−y= 1dansR. Déterminer une équation deD dansR0. Exercice 2 Équations de droites
1. Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne et des équations paramétriques de la droite : (a) passant par le pointA(−1,2)et dirigée par le vecteur −→u (5,3);
(b) passant par les pointsB(−2,3)etC(0,5);
(c) passant par le pointD(−1,3)et de vecteur normal−→n(−1,2).
2. Déterminer une équation normale et une équation polaire des droites d’équation cartésienne : y=√
3xetx+y−3 = 0.
Exercice 3 Courbes en coordonnées polaires
Reconnaître les courbes d’équation polaire suivantes :ρ= 3 cosθ−4 sinθ etρ= 1 cosθ+ 3 sinθ. Exercice 4 Surface d’un triangle
Soit les trois pointsA(1,2),B(2,3),C(3,0). Calculer l’aire du triangleABC.
Exercice 5 Projetés orthogonaux et symétriques
SoitA(−2,4) etD etD0 deux droites d’équations respectives :x+ 2y+ 3 = 0et3x+ 2y+ 1 = 0.
1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal deA surD.
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite symétrique deD par rapport àA.
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite symétrique deD0 par rapport àD.
Exercice 6 Distance d’un point à une droite
1. Calculer la distance du point Aà la droiteD dans les cas suivants : (a) A(1,0) etD a pour équation cartésienne2x−3y= 12.
(b) A(−2,3)et Dpasse parB(−1,2), de vecteur normal−→n(2,3).
(c) A(5,−4)et Dpasse parC(0,2), de vecteur directeur−→u (1,1).
2. Soit les points A(−1,1),B(3,4)et C(1,0).
(a) Déterminer la distance deCà la droite (AB).
(b) Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des pointsM tels que les distances deM à Cet de M à la droite(AB)soient égales.
3. Soitaun réel strictement positif. On définit les pointsA(a,0),B(−a,0)et C(0,√ 3a).
(a) Quelle est la nature du triangleABC?
(b) Donner un système d’inéquations déterminant les coordonnées des points intérieurs à ce tri- angle.
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(c) Montrer que la somme des distances d’un point intérieur àABCaux trois côtés de ce triangle est constante.
Exercice 7 Cercles
1. Déterminer le centre et le rayon du cercle d’équation cartésienne x2+y2+ 4x−3y+ 6 = 0.
2. Déterminer une équation polaire du cercle d’équation cartésienne :x2+y2−3x−3y= 0.
3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercleC :x2+y2−4x+ 2y−4 = 0et de la droiteD :x+ 3y−2 = 0.
Exercice 8 Tangentes à un cercle
1. SoitDla droite d’équationx−2y+ 2 = 0. Soit les cerclesΓetΓ0d’équations :x2+y2+ 4x−2y= 4 et x2+y2+ 4y= 9
4. Déterminer le nombre de points d’intersection deD etΓ, deD etΓ0, deΓ et Γ0.
2. Soit, pour toutλ∈R, la droiteDλ d’équation :(1−λ2)x+ 2λy−4λ−2 = 0.
(a) Montrer qu’il existe un cercleΓtel que pour tout λ,Dλ est tangente àΓ.
(b) Toute tangente àΓ est-elle une droite de la famille(Dλ)λ∈R? 3. SoitC le cercle d’équation :x2+y2−2ax−2by=c.
(a) Rappeler la condition sura, b, c,pour queC soit un vrai cercle.
(b) SoitM(x0, y0)un point deC. Montrer que la tangente àCenM a pour équationxx0+yy0− a(x+x0)−b(y+y0) =c.
4. SoitC le cercle de centreΩ(0,10)et de rayon10.
(a) SoitM(8,4). Vérifier queM est sur C et former une équation cartésienne de la tangente àC enM.
(b) SoitN(14,15). Former une équation cartésienne de la tangente menée de N àC et de pente strictement négative.
Exercice 9 Géométrie du triangle
SoitA,B,C trois points non alignés du plan. On notea=BC,b=CA, c=AB, A,b Bb et Cbles angles non orientés respectivement enA,B etC.
1. Soit M un point de la droite (AB). La parallèle à (BC) passant par M coupe (CA) en N, la parallèle à(AB)passant parN coupe(BC)enP, La parallèle à(CA)passant parP coupe(AB) enQ. Montrer que les milieux des segments[M Q]et [AB]sont confondus.
2. On notep=12(a+b+c)le demi-périmètre du triangleABC,Sson aire etRle rayon de son cercle circonscrit.
(a) Montrerc2=a2+b2−2abcosCbet en déduire la formule de Héron :S=p
p(p−a)(p−b)(p−c).
(b) Montrer a
sinAb= b
sinBb = c
sinCb = 2R.
3. SoitABC un triangle isocèle enA,Dle milieu de[BC],E le pied de la perpendiculaire menée de D à (AC)et F le milieu de[DE]. Montrer que les droites(AF)et (BE)sont orthogonales.
Exercice 10 Cercles tangents
SoientCetC0deux cercles tangents extérieurement, de rayons respectifsRetR0. Une de leurs tangentes communesDest tangente àC enAet àC0 enA0. On noted=AA0.
1. Montrer qued2= 4RR0.
2. SoitC00un troisième cercle, de rayonR00, tangent extérieurement àCetC0et tangent àD. Montrer
√1
R00 = 1
√R0 + 1
√R.
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