Déterminer x pour que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC.

Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD = BE = x.

Déterminer x pour que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC.

On donne : AB = 18 m et AC = 8 m.

Illustration

Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la somme des aires soit égale à 15 125 ? Si oui, préciser quelles valeurs doivent avoir les côtés.

Même question avec 15 127.

Résoudre dans R les équations suivantes : 1) x

= 9.

2) x

= −3.

3) (x − 5)

= 3.

4) (2x − 1)

+ x(1 − 2x) = 4x

− 1.

5) (3x + 5)

= (x + 1)

.

6) (5x − 4)

− (3x + 7)

= 0.

Sur un drapeau rectangulaire de longueur 4 m et de largeur 3 m, on trouve une croix d’épaisseur x m.

Quelle valeur doit-on donner à la largeur de la croix pour que son aire soit égale à la moitié du drapeau ?

1) Résoudre les équations suivantes : a) x

= 1

2 ; b) x

= 1

3 .

2) Résoudre l’équation suivante : 6x

− 5x

+ 1 = 0. On pourra poser X = x

.

Résoudre les inéquations suivantes :

−2x

+ 7x − 5 6 0 (x

+ 2x + 1)

< 16 3x

+ x + 1

x

− 3x − 10 > 0.

1) On dispose d’une baguette de bois de 10 cm de long.

Où briser la baguette pour que les morceaux obtenus soient deux côtés consécutifs d’un rectangle de surface 20 cm

?

2) Même question avec un rectangle d’aire 40 cm

.

On appelle format f d’un rectangle le quotient de la longueur L par la largeur l : f = L l . 1) Quel est le format d’un rectangle de longueur L = 5 cm et de largeur l = 2 cm ?

2) On considère un rectangle ABCD de largeur l = 1 cm et de longueur L = x cm. On prendra 1 < x < 2.

a) Exprimer en fonction de x le format f du rectangle ABCD.

b) On découpe dans le rectangle un carré ABOR.

Exprimer en fonction de x le format f

du rectangle ORDC .

c) Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABCD et ORDC aient le même format ? d) On note φ cette valeur. Déterminer φ − 1, φ(φ − 1) et 1

φ .

Pour se rendre d’une ville A à une ville B distantes de 195 km, deux cyclistes partent en même temps. L’un deux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure à 4 km.h

à celle de l’autre, arrive une heure plus tôt.

Quelles sont les vitesses des deux cyclistes ?

L’aire d’un triangle rectangle est 429 m

, et l’hypoténuse a pour longueur h = 72, 5 m.

Trouver le périmètre.

Résoudre les équations suivantes : 1) 4x

− x − 3 = 0.

2) (t + 1)

+ 3 = 0.

3) 2(2x + 1)

− (2x + 1) − 6 = 0.

4) x

+ 10

+ 25 × 10

= 0.

Résoudre l’inéquation suivante :

−x

+ 9x + 22 > 0.

Illustration

O ~ i

~ j

( C

)

A B

−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

−8

−4

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540.

On achète pour 40 e d’essence à une station service. On s’aperçoit qu’à une autre station, le prix du litre d’essence est inférieur de 0, 10 e. On aurait pu ainsi obtenir 5 litres de plus pour le même prix.

Quel était le prix d’essence à la première station et combien de litres en avait-on pris ?

Résoudre les équations suivantes : 1) 2x − 5

x − 1 = x − 1 x + 1 . 2) x

− x + 1

x + 2 = 2x + 3.

1) Résoudre l’équation : −2x

+ 7x − 5 = 0.

2) Factoriser l’expression : −2x

+ 7x − 5.

3) Résoudre l’inéquation : −2x

+ 7x − 5 6 0.

Illustration

O ~ i

~ j

( C

) A

B

−1 0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Soit f la fonction définie par f(x) = −3x

+ 2x + 1 pour tout réel x.

On note (C

) la courbe représentative de f dans un repère (O ; − → i , − →

j ).

1) Préciser la nature de la courbe (C

) et les coordonnées de son sommet S.

2) Montrer que la courbe (C

) coupe l’axe des abscisses en deux points A et B dont on précisera les coordon- nées.

3) Pour quelles valeurs de x la courbe (C

) est-elle située au dessus de l’axe des abscisses ? Illustration

O ~ i

~ j

( C

) A

B

S

−3 −2 −1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

ABCD est un rectangle de largeur x et de longueur 1 − x. On a : 0 < x 6 1 2 . 1) Pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire du rectangle est-elle égale à 2

9 ? 2) Pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire du rectangle est-elle maximale ?

Illustration

O

(C

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0

0.2

0.4

Résoudre dans R l’inéquation :

(2x + 1)(5 − x) < (5 − x)(x + 4).

Illustration

O ~ i

~ j ( C

) ( C

)

A B

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−8

−4

0

4

8

12

16

20

24

1) Etudier le signe de x

+ 10x + 25 et celui de −2x

− 7x − 3.

2) En déduire le signe de x

+ 10x + 25

−2x

− 7x − 3 , puis les solutions de l’inéquation : x

+ 10x + 25

−2x

− 7x − 3 6 0.

Illustration

O ~ i

~ j

( C

) A

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

On donne le trinôme du second degré P défini par : P (x) = 4x

− √

6 + 4 √ 3

x + √ 18.

1) Montrer que P admet

√ 6

4 pour racine.

2) Trouver l’autre racine (en valeur exacte).

Illustration

O ~ i

~ j

( C

)

A

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1

0

1

2

3

4

Résoudre l’équation :

2004 x

+ x − 2005 = 0.

PS : est-il bien raisonnable de calculer le discriminant ?

Le montage en dérivation de deux résistances R

et R

a une résistance de 1, 5 kΩ.

Leur montage en série a une résistance de 8 kΩ.

Calculer les valeurs des deux résistances.

Soit P la fonction polynôme définie sur R par : P (x) = ax

+ bx + c avec a 6= 0.

Démontrer que :

Si a et c sont de signes opposés, alors P admet au moins une racine réelle.

Les longueurs des trois côtés d’un triangle sont trois entiers consécutifs.

Trouver ces trois longueurs.

Soient a ∈ R

et b ∈ R .

On considère l’équation (E) : ax

+ bx − a = 0.

1) Démontrer que (E) admet deux racines distinctes.

2) Démontrer que les deux racines de (E) sont de signes contraires.

1) Résoudre l’équation : x

= 1 + x.

On notera φ sa racine positive. φ s’appelle le nombre d’or.

2) Que vaut s

1 + r

1 + q

1 + p 1 + √

1 + · · · ? Il y a une infinité de racines imbriquées.

Illustration

O ~ i

~ j

(C

)

( C

)

φ

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Dans cet exercice, on admettra que le nombre de façons de choisir deux objets parmi n est : n(n − 1)

2 .

Une compagnie aérienne assure toutes les liaisons possibles entre un certain nombre de villes.

On sait qu’il y a 45 liaisons en service.

Quel est le nombre de villes desservies par cette compagnie ?

Résoudre l’équation : √

x + 1 = 2x − 3.

Illustration

O ~ i

~ j

(C

)

( C

)

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Une parabole P admet, dans un repère (O ; i , j ), une équation du type : y = ax

+ bx + c

avec a 6= 0.

Déterminer les coefficients a,b et c sachant que P coupe l’axe des abscisses (Ox) au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées (Oy) au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x+2 pour tangente.

Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de P avec (Ox).

Illustration

O ~ i

~ j

( C

) B

A

−2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

Résoudre l’équation :

3x

+ 4x + 1 3 = 0.

Illustration

O ~ i

~ j ( C

)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

Une parabole passe par l’origine d’un repère (O ; i , j ) et par les points A(1 ; 2) et B(2 ; 3).

Quelle est la fonction représentée par cette parabole ?

Illustration

O ~ i

~ j

( C

) A

B

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

1) Tracer sur un même graphique les courbes (C

) et (C

) représentant les fonctions suivantes : f (x) = x

+ x − 2 et g(x) = 1

2 x

− x.

2) Déterminer les solutions des équations et des inéquations suivantes (on indiquera la méthode utilisée) : a) f(x) = 0 ;

b) g(x) > 0 ; c) f(x) = g(x).

d) f(x) > g(x) ; e) f(x) g(x) > 0.

Illustration

O ~ i

~ j ( C

)

( C

)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

On considère la fonction polynôme f définie par f(x) = −2x

+ 12x − 11.

1) Donner sa forme canonique.

2) En déduire les variations de f .

Illustration

O ~ i

~ j

(C

)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

On considère les fonctions polynômes f et g définies par :

f (x) = 3x

+ 4x − 15 et g(x) = 3x

+ 4x

− 18x + 5 1) Résoudre l’équation f (x) = 0.

2) Factoriser f (x).

3) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x,

g(x) = (3x − 5)(ax

+ bx + c).

4) Résoudre l’équation f (x) = g(x).

Illustration

O ~ i

~ j

( C

)

( C

)

−16

−12

−8

−4

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

Résoudre l’inéquation : 4

x − 1 6 x + 2.

Illustration

O ~ i

~ j

( C

) ( C

)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

On considère la fonction f définie par f(x) = 1 + 2x + 2 x

+ 2x + 2 et (C

) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Montrer que la fonction f est définie sur R . 2) Résoudre l’équation f (x) = 0.

3) Donner le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

4) Montrer que pour tout réel x, f (x) 6 2.

5) Montrer que le point I(−1 ; 1) est centre de symétrie de (C

).

Illustration

O ~ i

~ j

( C

) ( C

)

I

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

O ~ i

~ j

( C

)

A B

−2 −1 0 1 2 3 4

−2

−1 0 1 2

3 f est la fonction définie sur R par

f (x) = ax

+ bx + c

dont la représentation graphique (C

) est la parabole représentée ci-contre.

1) Le réel a est-il positif ? Pourquoi ? 2) Quel est le signe du discriminant ?

3) Grace aux informations de la courbe, donner la forme factorisée de f (x) en fonction de a et x.

4) Déterminer les réels a et b sachant que c = 1, 8.

B L C

A D

U E

U

L

x

SoitABCD un rectangle tel que AB = 5 et BC = 7.

U est un point de [AB] et L un point de [BC].

Les droites (U U

) et (LL

) sont parallèles aux côtés du rectangle et définissent un carré BLEU .

On pose BL = x.

1) Dans quel intervalle varie x ?

2) Exprimer l’aire hachurée A(x) en fonction de x.

3) Pour quelle(s) valeur(s) de x cette aire est-elle maximale ?

Illustration

O ~ i

~ j

( C

)

−1 0 1 2 3 4 5

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Le but de ce problème est de comparer les deux nombres suivants : A = 1, 000 000 2 et B = √

1, 000 000 4 1) Donner une valeur approchée de B.

Quelle conjecture peut-on faire sur A et B ?

2) Pour confirmer ou infirmer cette conjecture, nous allons utiliser deux fonctions.

Soient f et g les fonctions définies sur [0; +∞[ par : f (x) = 1 + x

2 et g(x) = √ 1 + x

a) Vérifier que A et B sont les images respectives d’un même réel a par les fonctions f et g.

b) Montrer que f (x) > 0 et g(x) > 0 pour tout x ∈ [0; +∞[.

c) Comparer (f (x))

et (g(x))

pour tout x ∈ [0; +∞[.

d) Que peut-on en déduire pour f (x) et g(x) ? e) Conclure.

Illustration

O ~ i

~ j

( C

)

( C

)

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

0

1

2

3

4

5

6

Résoudre l’inéquation :

x

− 3x + 1

6 25.

Illustration

O ~ i

~ j

(C

)

(C

)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−8

−4

0

4

8

12

16

20

24

28

Résoudre l’inéquation :

5

x − 3 < x + 1.

Illustration

O ~ i

~ j

( C

) (C

)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

1) Soit ax

+ bx + c un trinôme du second degré ayant un discriminant positif.

On appelle S la somme des racines et P leur produit.

Exprimer S et P en fonction des coefficients a, b et c.

2) On donne le trinôme de second degré défini par : P (x) = 4x

+ ( √

3 − 4 √

6)x − √ 18.

a) Montrer que P (x) admet √

6 comme racine.

b) Déterminer l’autre racine.

Illustration

O ~ i

~ j

( C

) A

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

On considère la fonction polynôme f définie par f(x) = 3x

+ 8x − 11.

1) Donner sa forme canonique.

2) En déduire les variations de f .