Suites et séries de fonctions

Exercices

Exercices d'applications

Exercice 1. Soitfn : [0,1]→Rdénie par

f_n(x) =n²x(1−nx)six∈[0,1/n] et f_n(x) = 0sinon a) Etudier la limite simple de la suite (fn).

b) Calculer

Z 1 0

f_n(t) dt

Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction(f_n)? c) Etudier la convergence uniforme sur[a,1]aveca >0. Exercice 2. Montrer la convergence normale de la série

∞

X

n=1

1 n²+ 2n+x²

En déduire

x→1lim

∞

X

n=1

1 n²+ 2n+x²

!

en admettantζ(2) =π² 6

Exercice 3. Étudier la convergence uniforme defn: [0 ; +∞[→Rdénie par fn(x) = x

n(1 +xⁿ) Exercice 4. :

On pose

∀x∈R⁺ u_n(x) =e^−nxsin(nx) 1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions(un)sur[0 ; +∞[. 2. Étudier la convergence uniforme sur[a; +∞[aveca >0.

3. Étudier la convergence uniforme sur[0 ; +∞[. Exercice 5. Montrer que

f(x) =

+∞

X

n=1

1

n²arctan(nx) est continue sur Ret de classeC¹ surR^∗.

Exercice de synthèse

Exercice 6. Soient f : [0,1]→Rcontinue etfn : [0,1]→Rdénie par f_n(x) =xⁿf(x)

a) Former une condition nécessaire et susante sur f pour que la suite de fonction(fn)converge uniformément sur [0,1].

b) Montrer que la série de fonctions X

f_n converge uniformément sur [0,1] si, et seulement si, f(1) = 0 et f dérivable en 1 avecf⁰(1) = 0.

Exercice 7. Soient α∈Ret si n∈N,

un:x∈[0,1]7→n^αxⁿ(1−x)∈R

Etudier le mode convergence de la suite de fonctions(un), puis de la série de fonctionsX un. Exercice 8. On note1I la fonction caractéristique d'un intervalleI :

1_I(x) =

(1 six∈I 0 sinon

Étudier la convergence simple, uniforme et normale sur[0 ; +∞[ de la série des fonctions un(x) = 1

n+ 11_[n;n+1[(x) Exercice 9. On pose

un(x) = (−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺²lnx∀x∈]0,1[etun(0) = 0 1. Calculer

+∞

X

n=0

u_n(x)

2. Montrer que la série desun converge uniformément sur[0 ; 1]. 3. En déduire l'égalité

Z 1 0

lnx 1 +x²dx=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹ (2n+ 1)²

Exercices d'oraux

Exercice 10. Énoncé (RMS 869 Mines Ponts PC)

Soit, pourn∈N, u_n :x7→Arctan(x+n)−Arctan(n).On pose sous réserve de convergencef =

∞

X

n=0

u_n 1. Etudier la convergence simple et uniforme deX

u_n 2. Montrer quef est de classeC¹ surR

3. Exprimer f(x+ 1)en fonction def(x) 4. Déterminer un équivalent de f en+∞

Solution :

1. Etudions la convergence simple.Voici deux méthodes possibles.

Soitx∈Rxé , on a

Arctan(n) =π

2 −Arctan(1 n) =π

2 −1

n+O( 1 n²) De même

Arctan(x+n) = π

2 −Arctan 1 n+x= π

2 −Arctan(1

n+O( 1 n²)) = π

2 − 1

n+O(1 n²) ainsi

u_n(x) =O( 1 n²) et par comparaison pour les séries la sérieX

u_n(x)converge absolument et donc il y a convergence simple de la série de fonctions associée.

Une seconde méthode pratique :

On utilise le théorème des accroissements nis, il existe un réelccompris entrex+netntel que : Arctan(x+n)−Arctan(n) =xArctan⁰(c) = x

1 +c².

Par suite|un(x)|6 |x|

1 + (n− |x|)² ainsiun(x) ∼

n→+∞

|x|

n² d'où la convergence simple . Pour la convergence uniforme :

Soitx∈R, on noteR_n(x)le reste de la série associé.

∀n∈N, R_n(−n) =

∞

X

k=n+1

Arctan(−n+k)−Arctan(k)

| {z }

60

Ainsi

|Rn(−n)|=

∞

X

k=n+1

Arctan(k)−Arctan(−n+k)>Arctan(n+ 1)−Arctan1 en ne gardant que le premier terme.

Par passage à la limite commeArctan(n+ 1)−Arctan1tend vers π

4 la suite(R_n(−n))ne peut tendre vers 0.

Il n'y a pas de convergence uniforme sur R.

SoitA >0 commeu_n est une fonction croissante sur[−A, A]on a

kun k_∞,[−A,A]=max{|un(−A)|,|un(A)|}6|un(−A)|+|un(A)|

et comme X

un(A),X

un(−A)convergent absolument , il y a convergence normale et a fortiori uniforme sur[−A, A]

2. -∀n∈N, un est de classeC¹surRavec

u⁰_n(x) = 1 1 + (n+x)² -La sérieX

un converge simplement surR - La sérieX

u⁰_nconverge normalement donc uniformément sur tout segment[−A, A]puisqueku⁰_n(x)k_∞,[−A,A]6 1

1 + (n−A)² ∼ 1 n²

D'après le théorème de dérivation pour les séries de fonctionsf est de classeC¹surR 3. f(x+ 1)−f(x) = lim

N→∞

N

X

n=0

Arctan((n+ 1) +x)−Arctan(n+x) d'où par télescopage

f(x+ 1)−f(x) = lim

N→∞Arctan((N+ 1) +x)−Arctan(x) =π

2 −Arctan x 4. La question 2montre que pour tout réelx,

f⁰(x) =

∞

X

n=0

1

1 + (n+x)² >0 ainsif est croissante sur Rdonc elle admet en+∞une limite nie ou innie notée`.

On a donc`= lim

p7→+∞f(p).On sait que cette suite se comporte comme la série télescopiqueX

f(p+ 1)−f(p) et commef(p+ 1)−f(p) =Arctan(1

p)∼ 1

p terme d'une série divergente on en déduit que`= +∞

Exercice 11. Énoncé (CCP PSI 2018 - Retour élève) 1. Montrer que∀t∈[−1

2,1

2],|ln(1 +t)−t|62t². 2. On s'intéresse à X

n>1

ln

1 + (−1)ⁿx n(1 +x²)

.

Étudier la convergence simple et uniforme de cette série.

Solution :

1. Posonsf(t) = ln(1 +t)−t−2t² sur[−1 2,1

2]. f est de classeC¹ etf⁰(t) = 1

1 +t−1−4t=−4t(t+⁵₄) t+ 1 .

Ainsif⁰(t)>0sur[−1

2,0]etf⁰(t)>0sur[0,1

2]doncf admet un maximum en0qui vaut0et ainsif(t)60 soit :

ln(1 +t)−t62t² De même avecg(t) =−ln(1 +t) +t−2t² sur[−1

2,1 2]. g est de classeC¹et g⁰(t) =− 1

1 +t+ 1−4t=−4t(t+³₄) t+ 1 . Ainsig⁰(t)>0sur[−1

2,0]etg⁰(t)>0sur[0,1

2]doncgadmet un maximum en0qui vaut0et ainsig(t)60 soit :

−ln(1 +t) +t62t² Finalement ∀t∈[−1

2,1

2],|ln(1 +t)−t|62t². 2. On s'intéresse à X

n>1

ln

1 + (−1)ⁿx n(1 +x²)

. Posons pourx∈Retn>1,u_n(x) = ln

1 + (−1)ⁿx n(1 +x²)

. Convergence simple : Soitx∈Rxé.

u_n(x) = (−1)ⁿx n(1 +x²)+O

1 n²

AlorsX

n>1

u_n(x) =X

n>1

(−1)ⁿx n(1 +x²)+X

n>1

O 1

n²

.

La première converge grâce au critère spécial des séries alternées. (elle est alternée et le terme général décroît en valeur absolu vers0).

La seconde converge absolument par comparaison à une série de Riemann donc converge.

Convergence uniforme : Posons X

n>1

un(x) =X

n>1

(−1)ⁿx n(1 +x²)+X

n>1

vn(x). En posant pourx∈Retn∈N^∗,t= (−1)ⁿx

n(1 +x²), on a bient∈[−1 2,1

2]et donc :

|vn(x)|6 2x²

n²(1 +x²)² 6 1 2n²

Ainsi par comparaison de séries, X

n>1

vn converge normalement surR. De plus, toujours d'après le CSSA, pour X

n>1

(−1)ⁿx

n(1 +x²), on peut majorer le reste de cette série :

|Rn(x)|6 |x|

(n+ 1)(1 +x²) 6 1 2(n+ 1) AinsikRnk∞→0 lorsquen→+∞donc la convergence est uniforme surR. Par somme de séries uniformément convergentes, X

n>1

un converge uniformément surR. Exercice 12. Énoncé (TPE-EIVP PSI 2018 - Retour élève)

Pour toutn∈N, on posefn(x) =n^αxⁿ(1−x).

Pour quelles valeurs de αa-t-on(fn)qui converge uniformément sur[0,1]?

Solution :

Soitα∈Ret fn: [0,1]→Rdénie parfn(x) =n^αx(1−x)ⁿ.

1. Six= 0 alorsf_n(0) = 0 −→

n→+∞0 Si x∈]0,1]xé alorsn^α=o

1 (1−x)ⁿ

doncfn(x) −→

n→+∞0. Donc la suite(fn)converge simplement vers la fonction nullef =^∼0. 2. Calculonskfnk_∞par étude de la fonctionfn.

fn est dérivable sur[0,1]et :

∀x>0, f_n⁰(x) =n^α(1−x)ⁿ−n^α+1x(1−x)ⁿ⁻¹=n^α(1−x)ⁿ⁻¹(1−(n+ 1)x) La dérivée s'annule enx= 1et x= 1

n+ 1. On dresse le tableau de variation def_n :

x 0 ¹

n+ 1 1

f_n⁰(x) + 0 −

fn

1

n+ 1

f_n % &

0 0

Donckf_nk_∞=f_n( 1

n+ 1) =n^α 1 n+ 1

1− 1

n+ 1 ⁿ

. Or 1

n+ 1 ∼ 1 n et :

1− 1

n+ 1 ⁿ

=e^{nln(1−n+11 )}=e^−1+o(1) −→

n→+∞e⁻¹ Finalement kfnk_∞∼n^α−1

e .

Donc il y a convergence uniforme vers la fonction nullef =^∼0 si, et seulement si, α <1. Exercice 13. Énoncé (Mines-Ponts 2018 exercice 2, retour élève)

Soit(a_n)_n∈Nune suite strictement positive, croissante et de limite+∞. Montrer que Z +∞

0 +∞

X

n=0

(−1)ⁿe^−anxdx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ an

.

Solution :

On pose un(x) = (−1)ⁿe^−anx. Pour x > 0 la suite (e^−anx)_n∈N est positive, décroissante (car (an)croissante) de limite nulle (car an −→ +∞), donc X

un(x) converge pour x > 0 par théorème spécial des séries alternées (TSSA).

La série de fonctions X

un est donc simplement convergente sur]0,+∞[versS:x7→

+∞

X

n=0

e^−anx. un est continue et intégrable sur]0,+∞[car|un(x)|=e^−anx et−an<0.

On s'intéresse alors à la série XZ

]0,+∞[

|un|: Z +∞

0

|un(x)|dx= Z +∞

0

e^−anxdx= 1 a_n Malheureusement la série XZ

]0,+∞[

|un|=X 1

an n'a aucune raison d'être convergente (par exemple avec a_n = n+ 1 qui vérie les conditions de l'énoncé, elle est divergente). Nous allons donc utiliser une autre méthode permettant d'exploiter le fait que la série est alternée.

On poseS_n(x) =

n

X

k=0

(−1)^ke^−akx. D'après le TSSA,|S−S_n|6e^−an+1x et pourb >0, k(S−S_n)_/[b,+∞[k∞6e^−an+1b −→

n→+∞0.

On a donc :

Sn est continue sur]0,+∞[

(Sn)converge uniformément vers S sur[b,+∞[

doncS est continue sur[b,+∞[pour toutb >0donc sur]0,+∞[et d'après l'inégalité|S−Sn|6e^−an+1x,S−Sn

est intégrable sur]0,+∞[.

On a alors S=Sn+ (S−Sn)continue, intégrable sur ]0,+∞[ et Z +∞

0

S(x)dx= Z +∞

0

Sn(x)dx+ Z +∞

0

(S−Sn)(x)dx

Or

Z +∞

0

Sn(x)dx= Z +∞

0 n

X

k=0

(−1)^ke^−akxdx=

n

X

k=0

Z +∞

0

(−1)^ke^−akxdx=

n

X

k=0

(−1)^k ak

. et

Z +∞

0

S(x)dx− Z +∞

0

S_n(x)dx =

Z +∞

0

(S−S_n)(x)dx 6

Z +∞

0

|S−S_n|(x)dx6 1 an+1

−→0.

On en déduit que

Z +∞

0 +∞

X

n=0

(−1)ⁿe^−anxdx= lim

n→+∞

n

X

k=0

(−1)^k a_k =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ a_n . Exercice 14. Énoncé (Odtl 98-mines ponts 18)

Soitf :x7→

∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+x.

1. Dénition, continuité puis dérivabilité def surR^∗+.

2. Trouver une relation entref(x+ 1)et f(x)pour toutx >0. 3. Donner un équivalent def en 0.

4. Vérier quef est décroissante et donner un équivalent def en+∞. 5. Montrer que pour toutx >0, f(x) =

Z 1 0

t^x−1 1 +tdt.

Solution :

On noteu_n:x7→ (−1)ⁿ

n+x pour toutn∈N.

1. Pour toutx >0, la sérieX

u_n(x)est une série alternée telle que la suite (|un(x)|))_n≥0= 1

n+x

n≥0

est décroissante et de limite 0. D'après le théorème spécial, X

u_n(x) converge : la fonction f est dénie sur R^∗+.

Au vu du texte, on demande d'étudier d'abord la continuité puis la dérivabilité . Selon le contexte on pourrait montrer d'abord le caractère C¹ qui entraine la continuité.

• Les fonctionsu_n sont toutes continues surR^∗+.

• X

u_n converge simplement versf surR^∗+.

•. Pour toutx >0, puisqueX

n

(x)vérie les hypothèses du théorème spécial, on a aussi, en notantR_n(x) =

∞

X

k=n+1

uk(x),

∀n∈N, |Rn(x)| ≤ 1

n+ 1 +x≤ 1 n+ 1 On en déduit que pour tout entiern,sup

x>0

|R_n(x)| ≤ 1

n+ 1 puis par encadrement que lim

n→∞|R_n|_∞= 0 Xun converge uniformément surR^∗+ et d'après le théorème de continuité, f est continue surR^∗+.

• Les fonctionsu_n sont toutesC¹surR^∗+.

• X

un converge simplement versf surR^∗+.

• Etude de la série des dérivées

Pour toutx >0 et pour toutn∈N, u⁰_n(x) =(−1)ⁿ⁺¹ (n+x)²

On en déduit que pour tout[a, b]⊂R^∗+,∀x∈[a, b],∀n∈N, |u⁰_n(x)| ≤ 1 (n+a)² La série X 1

(n+a)² est une série majorante convergente, indépendante de x : on en déduit que X u⁰_n converge normalement donc uniformément sur tout segment de R^∗+.

D'après le théorème de dérivation des series de fonctions,f estC¹surR^∗+

2. Pour toutx >0, par changement d'indice,f(x+ 1) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ x+n d'où

∀x >0, f(x+ 1) +f(x) = 1 x 3. Pour toutx >0, f(x) = 1

x−f(x+ 1). Par continuité def en 1, lim

x→0+f(x+ 1) =f(1). Comme lim

x→0+

1

x= +∞, f(x) ∼

x→0

1 x 4. Pour toutx >0, la sérieX

u⁰_n(x)est encore une série alternée dont la suite des valeurs absolues est la suite 1

(n+x)²

n≥0

qui est décroissante et de limite nulle.

D'après le théorème spécial,f⁰(x) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹

(n+x)² est du signe de son premier terme : f⁰(x)<0 La fonction f est donc strictement décroissante surR^∗+.

On en déduit que pour toutx >0, 2f(x+ 1)≤f(x) +f(x+ 1) = 1

x≤2f(x)d'où

∀x >1, 1

2x ≤f(x)≤ 1 2(x−1)

Par encadrement, f(x) ∼

x→+∞

1 2x 5. Soitx >0.

la fonction t7→ t^x−1

1 +t est continue sur]0,1]et t^x−1 1 +t ∼

t→0

1 t^1−x.

Comme1−x <1, par comparaison avec l'exemple de Riemann,t7→ t^x−1

1 +t est intégrable sur]0,1]. Z 1

0

t^x−1 1 +tdt=

Z 1 0

∞

X

n=0

(−1)ⁿt^x+n−1dt

Remarquons que pour toutn∈N, = Z 1

0

(−1)ⁿt^x+n−1dt=u_n(x) On voit facilement que X

(−1)ⁿt^x+n−1 ne converge pas uniformément sur le segment [0,1] puisqu'il y a divergence en 1 . Comme X

u_n(x) n'est pas absolument convergente, le théorème d'intégration sur un intervalle est exclu. Reste donc "le retour aux sommes partielles".

Pour toutn∈N, pour toutt∈]0,1[, t^x−1 1 +t =

n

X

k=0

(−1)^kt^k+x−1+(−1)ⁿ⁺¹t^n+x 1 +t (∗) Toutes les fonctions en présence sont intégrables sur]0,1[(et même ]0,1]). On a alors :

Z 1 0

t^x−1 1 +tdt=

n

X

k=0

u_k(x) + (−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

t^n+x 1 +tdt

Or Pour toutn∈N,

(−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

t^n+x 1 +tdt

≤ Z 1

0

t^n+xdt= 1 n+x+ 1.

Par encadrement, lim

n→∞(−1)ⁿ⁺¹ Z 1

0

t^n+x 1 +tdt= 0

On déduit de (*), en passant à la limite quandn→+∞, que Z 1 0

t^x−1

1 +tdt=f(x)

Exercice 15. Énoncé (Retour élève-CCP 18 ex mineur) Pour toutn∈N, on dénitu_n:x7→ sin(nx)

n!

1. Etudier la convergence simple, normale, uniforme de X un. 2. Montrer queS=

∞

X

n=0

u_n est C^∞ sur son domaine de dénition puis en donner une expression plus simple.

Solution :

1. Pour toutx∈Ret pour toutn∈N, |u_n(x)| ≤ 1

n!, terme général d'une série convergente de sommee. On en déduit que X

un converge normalement donc aussi uniformément et simplement surR.

2. ∀n∈N, u_n est C^∞ surR.

u_n converge simplement vers S surR.

Etude des séries dérivées :

∀k∈N^∗,∀n∈N, u^(k)_n :x7→n^ksin nx+π

2

par récurrence facile surk. Pour toutx∈R, ∀n∈N,

u^(k)_n (x)

≤n^k

n!, terme général d'une série convergente car n^k n! =o

1 n²

et la sérieX 1

n² converge.

On en déduit queX

u^(k)_n converge normalement donc uniformément surRpour toutk∈N^∗. D'après le théorème de dérivation C^∞ des séries de fonctions,S est de classeC^∞ surR.

Pour tout x∈ R et pour tout n∈ N, u_n(x) = Im(e^inx

n! ) et la série Xe^inx

n! est convergente de somme exp(exp(ix))car pour toutz∈C, exp(z) =

∞

X

n=0

zⁿ n!. On en déduit que pour tout réelx,

S(x) =Im (exp(exp(ix))) =Im

e^{cos(x)+isin(x)}

= sin(sin(x))e^cos(x)

Exercice 16. Énoncé (BEOS CCP PSI 2018) 1. Justier l'existence de l'intégraleI=

Z +∞

0

√t e^t−1dt. 2. Prouver l'égalité :I=π

2

+∞

X

n=1

1 n√

n. On donne :Z +∞

0

e^−y2dy=

√π 2 .

Solution :

1. Posonsf :t7→

√ 3t

e^t−1.f est continue par morceaux sur R^∗+.

t→+∞lim t²f(t) = lim

t→+∞

t^5/2

e^t = 0par croissance comparée.

Ainsi,f(t) =◦ 1

t²

, or,t7→ 1

t² est intégrable sur[1,+∞[,f l'est donc également.

Par ailleurs,f(t) ∼

t→+∞

√t

t ∼

t→+∞

1

t^1/2 avect7→ 1

t^1/2 intégrable sur]0,1], doncf également.

f est donc intégrable sur R^∗+.

2. Pour t >0,

√t e^t−1 =

√t e^t

1 1−e^−t =

√t e^t

+∞

X

n=0

e^−tn

=

+∞

X

n=0

√

te^−(n+1)ten utilisant la série géométriqueX uⁿ qui converge pour|u|<1(et ici on a prisu= e^−t∈]0,1[(cart >0)).

Posons alorsfn:t∈R^∗+7→√

te^−(n+1)t.

•fnest continue surR^∗+,fnse prolonge par continuité en0, etfn(t) =o 1

t²

en+∞, doncfnest intégrable surR^∗+.

Si on pose (n+ 1)t =x² ⇐⇒ x=p

(n+ 1)t, t 7→p

(n+ 1)t est une bijection de classe C¹ strictement croissante surR^∗+, et(n+ 1)dt= 2xdx, d'où, √

tdt= x

√n+ 1(n+ 1).2xdx, ainsi,

Z +∞

0

f_n(t)dt= Z +∞

0

2x²

√n+ 1(n+ 1)e^−x2dx.

On fait une intégration par partiesu⁰(x) = 2xe^−x2,u(x) =−e^−x2,v(x) =xet v⁰(x) = 1. uetv sont de classeC¹ surR+. Et, lim

x→+∞u(x)v(x) = 0par croissance comparée.

Ainsi,Z +∞

0

fn(t)dt= 1

√n+ 1(n+ 1) Z +∞

0

e^−x2dx=

√π 2√

n+ 1(n+ 1).

• X

f_n converge simplement sur R^∗+ versf :t7→ t

e^t−1 qui est continue par morceaux surR^∗+.

• fn est positive sur R^∗+, donc X

n>0

Z +∞

0

|fn(t)|dt = X

n>0

√π 2

√ 1

n+ 1(n+ 1), et cette série converge bien (série de RiemannX 1

n^α avecα= 3 2 >1).

Conclusion : D'après le théorème d'intégration terme à terme d'une série, f est intégrable sur R^∗+ et Z +∞

0

t e^t−1dt=

+∞

X

n=0

√π 2

√ 1

n+ 1(n+ 1) =

√π 2

+∞

X

k=1

1 k√

k. Exercice 17. Énoncé (CCP 2018 - Retour élève)

Pour tout entiernsupérieur ou égal à2, on posefn la fonction dénie surR+ parfn(x) = 1 1 +xⁿ. 1. Etudier les variations de f_n surR+ et donner ses limites aux bornes.

2. (a) Montrer que la suite de fonctions (f_n)converge simplement surR+. (b) Montrer que X

f_n converge simplement sur ]1,+∞[. Xfn converge-t-elle normalement sur]1,+∞[? On noteS=

+∞

X

n=2

f_n.

3. Etudier les variations de S et donner ses limites de]1,+∞[. 4. (a) fn est-elle intégrable sur[0,+∞[?

(b) Si elle existe, que vaut lim

n→+∞

Z +∞

0

fn(t)dt?

Solution :

1. Soitnun entier supérieur ou égal à2.

• fn est une fonction de classeC^∞ surR+. Et∀x∈R+, f_n⁰(x) = −nxⁿ⁻¹ (1 +xⁿ)². Doncf_n⁰ est négative surR+. Ainsif_n est décroissante surR+.

• fn(0) = 1. Et lim

x→+∞fn(x) = 0.

•

x 0 +∞

1 f(x) &

0

2. (a) Soitxun réel positif.

n→+∞lim fn(x) =











1 si06x <1 1

2 six= 1 0 six >1

Donc(f_n)converge simplement vers la fonctionf dénie surR+ parf(x) =











1 si06x <1 1

2 six= 1 0 six >1 (b) • Soitxun réel strictement supérieur à1. Remarquons quefn(x) ∼

n→+∞

1 xⁿ. Or la série géométriqueX

n>2

1 x

ⁿ

converge car 1 x

<1. Et∀n>2, fn(x)>0. Donc par critère de comparaison X

n>2

fn(x)converge.

AinsiX

fn converge simplement sur ]1,+∞[.

• D'après la question 1,||fn||_∞,]1,+∞[ =1

2. OrX

n>2

1

2 diverge. Donc X

n>2

||fn||_∞,]1,+∞[ diverge.

AinsiX

fn ne converge pas normalement sur]1,+∞[. 3. • Soit1< x6y.

Pour tout entiern, f_n est décroissante sur]1,+∞[. Donc06f_n(y)6f_n(x). Or les sériesX

n>2

f_n(x)et X

n>2

f_n(y)convergent. Donc06S(y)6S(x). AinsiS est décroissante sur]1,+∞[.

• S est décroissante et minorée par 0. DoncS admet une limite en+∞. Or∀n>2, 06fn(x)6

1 x

ⁿ et X

n>2

1 x

ⁿ

converge et

+∞

X

n=2

1 x

ⁿ

= 1 x²

1

1−¹_x = 1 x(x−1). Donc06S(x)6 1

x(x−1). Or lim

x→+∞

1

x(x−1) = 0. Ainsi par encadrement lim

x→+∞S(x) = 0.

• Remarquons que∀n>2, 1 2

1 x

ⁿ

6fn(x)et X

n>2

1 x

ⁿ

converge

et

+∞

X

n=2

1 x

ⁿ

= 1 x²

1

1−¹_x = 1 x(x−1).

Donc 1

x(x−1) 6S(x). Or lim

x→1

1

x(x−1) = +∞. Ainsi par encadrement lim

x→+∞S(x) = +∞. 4. (a) Soitnun entier supérieur ou égal à2.

f_n est continue, positive sur[0,+∞[. fn(x) ∼

x→+∞

1 xⁿ. etZ +∞

1

dx

xⁿ converge.

Donc par critère de comparaisonZ +∞

1

f_n(x)dxconverge.

D'après la relation de Chasles,Z +∞

0

fn(x)dxconverge.

(b) ? Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2,fn est continue sur[0,+∞[.

? D'après la question 2b la suite de fonction(f_n)_n>2 converge simplement vers la fonctionf.

? f est continue par morceaux sur[0,+∞[.

? Pout tout entiernsupérieur ou égal à2,∀x∈[0,+∞[, |f_n(x)|6ϕ(x)oùϕest la fonction dénie sur [0,+∞[parϕ(x) =







1 si06x61 1

x² six>1 .

Etϕest continue par morceaux sur[0,+∞[et intégrable sur[0,+∞[. Donc la suiteZ +∞

0

fn(t)dt

converge et lim

n→+∞

Z +∞

0

fn(t)dt= Z +∞

0

f(t)dt= 1.

Exercice 18. Énoncé (CCP 2018 - Retour élève) Pour tout entierkon poseuk(x) = k³

1 +k²xe^−kx. Etudier la convergence simple, normale et uniforme deX

k>0

u_k.

Solution :

Convergence simple si x= 0 , alors∀k∈N, uk(x) = 0. Donc la sérieX

k>0

uk(0)converge.

si x <0 alors lim

k→+∞u_k(x) =−∞. Donc la sérieX

k>0

u_k(0) diverge grossièrement.

si x >0 , alorsuk(x) = o

k→+∞

1 k²

. OrX

k>1

1

k² est une série à terme positif convergente.

Donc par critère de comparaisonX

k>0

u_k(x)converge.

Ainsi la série X

k>0

uk(x)converge simplement sur [0,+∞[. Convergence normale Soitk un entier naturel.

La fonction uk est de classeC¹ surR+ et∀x∈R+, u⁰_k(x) = k³(1−kx) 1 +k² e^−kx.

x 0 1

k +∞

u⁰_k(x) + 0 −

k² 1 +k²e⁻¹ u_k(x) % &

0 0

Donc||uk||= k² 1 +k²e⁻¹. Or k²

1 +k²e⁻¹ ∼

k→+∞e⁻¹. Donc la sérieX

k>0

||uk|| diverge.

Ainsi la série X

k>0

uk ne converge pas normalement surR+. Soitaun réel strictement positif.

Pour tout entierktel que 1

k < a,||uk||_[a,+∞[=uk(a). OrX

k>0

uk(a)converge. DoncX

k>1

||uk||_[a,+∞[converge.

Ainsi pour tout réelastrictement positif, la sérieX

k>0

u_k converge normalement sur [a,+∞[. Convergence uniforme Comme la série X

k>0

u_k converge normalement sur [a,+∞[, elle converge uniformé- ment sur[a,+∞[.

Remarquons que la suite de fonctions(u_k)ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur]0,+∞[. En eet ∀k∈N, uk

1 k

= k²

1 +k²e⁻¹ et lim

k→+∞

k²

1 +k²e⁻¹=e⁻¹. Exercice 19. Énoncé (CCP PC 2018)

On considère la fonctionf :x7→

∞

X

n=0

e^−nx2

1 +n². Soitn∈N. On poseu_n :x7→ e^−nx2 1 +n². 1. Montrer quef est dénie surR.

2. Montrer quef est continue surR.

3. Montrer que∀x >0,06f(x)−16

+∞

X

n=1

e^−nx2. En déduire lim

x→+∞f(x).

4. Soitn∈N. Calculerku⁰_nk_∞= sup

x∈R

|u⁰_n(x)|et en déduire que f est de classeC¹ surR.

5. Étudier les variations et tracer le graphe def. 6. Montrer quef −1 est intégrable sur[0,+∞[. 7. Montrer que06f(0)−

10

X

n=0

un(0)6 1 10.

Solution :

1. On a pour tout réel x, 0 6fn(x) 6 1

n²+ 1 qui est le terme général d'une série convergente (équivalent à 1/n²). La fonctionf est donc dénie sur R.

2. La série est normalement convergente sur R, et les u_n sont continues sur Ret paires, doncf est continue surRpar théorème de continuité et f est paire.

3. Comme ∀x > 0,0 6f(x)−1 =

∞

X

n=1

e^−nx2 1 +n² 6

+∞

X

n=1

e^−nx2 = e^−x2

1−e^−x2 de limite nulle en +∞, on en déduit

x→+∞lim f(x) = 1par encadrement.

4. Pour tout entiern,un est de classeC¹ surRetu⁰_n(x) =−2nxe^−nx2 1 +n². La dérivée de vn:x7→2nxe^−nx2 est égale àv⁰_n:x7→2ne^−nx2(1−2nx²). On en déduit queku⁰_nk_∞= sup

x∈R

|u⁰_n(x)|=

u⁰_n 1

√2n

=

√2n

√e(n²+ 1) =O( 1

n^3/2)donc la série des dérivées converge normalement surR.

Ainsif estC¹ surRet pour tout réel x,f⁰(x) =−2x

+∞

X

n=0

ne^−nx2 1 +n². 5. f est donc décroissante surR⁺ de limite1en+∞etf est paire.

6. ∀x >0,0²f(x)−1² e^−x2

1−e^−x2 = 1

e^x2−1 =o(e^−x)qui est intégrable surR⁺, doncf−1 qui est continue sur [0,+∞[est intégrable sur[0,+∞[.

7. Par encadrement par des intégrales, on a en posantRn=f(0)−

n

X

k=0

uk(0),

06Rn 6 Z +∞

n

dt

1 +t² = arctan 1 n 6 1

n donc06f(0)−

10

X

n=0

un(0)6 1 10.

Exercice 20. Énoncé (Mines PC 2018 : retour d'oraux d'élève) On posefn(x) =ne^−n2x2 .

a) Etudier la convergence simple de X

n∈N

fn(x).

b) Montrer qu'il y a convergence uniforme sur tout intervalle de la forme [a,∞[aveca >0. c) Y-a-t'il convergence uniforme surR^∗?

Solution :

a) Pourx= 0, il y a divergence grossière.

Pour x6= 0,06fn(x) =o( 1

n²)par croissances comparées.

Il y a donc convergence simple surR^∗.

b) 06fn(x)6ne^−n2a2 pour tout x∈[a,∞[. Orne^−n2a2 est le terme général d'une série convergente d'après a), donc il y a bien convergence normale, ce qui entraîne la convergence uniforme, sur [a,∞[aveca >0.

c) La convergence uniforme de X

n∈N

fn(x)revient à montrer que le reste converge uniformément vers 0 surR^∗. Or R_n(x) =

+∞

X

k=n+1

ke^−k2x2 >(n+ 1)e^−(n+1)2x2 et en x= 1

n+ 1, on obtient queR_n( 1

n+ 1) >(n+ 1)e⁻¹. Il n'a donc pas convergence uniforme surR^∗.

Exercice 21. CCP PC 2019 Soit

f :x7→

+∞

X

n=0

e^−n2x

1. Montrer quef est dénie surR⁺∗mais qu'il n'y a pas convergence normale surR⁺∗. 2. Montrer quef est continue surR⁺∗

3. Montrer quef −1 est intégrable surR⁺∗ et exprimer son intégrale à l'aide deX

n>1

1 n² 4. Montrer que f n'est pas intégrable sur R⁺∗.

5. Montrer que, pourx∈R⁺∗,

Z +∞

0

e^−t2xdt6f(x)61 + Z +∞

0

e^−t2xdt

6. En admettant queZ +∞

0

e^−t2dt=

√π

2 donner un équivalent de f en0.

Exercice 22. IMT2019 On veut déterminer les fonctions f ∈C⁰(R⁺,R)telles que

∀x∈R⁺∗, f(2x) =f(x) +xlnx.

Pourk∈N∗,soituk :x7→ 1 2^k ln(x

2^k).

1. Montrer queX

uk converge simplement sur ]0; +∞[. On noteS=

+∞

X

k=1

uk. 2. Soitf ∈C⁰(R+,R)vériant (*). Exprimerf en fonction def(0)et deS.

3. Conclure.

Exercice 23. Centrale 2019 PC Soit

f :x7→

+∞

X

n=0

e^−nx (n+x)² 1. Déterminer le domaine de dénition def.

2. Déterminer la limite def en+∞.

3. Montrer quef est de classeC¹ surR⁺∗.Est-elle de classeC¹ surR⁺? Exercice 24. Centrale 2019 PC On pose, pour n∈N∗

u_n= Z +∞

0

e^−t n+tdt 1. Justier la dénition deun.

2. Donner un équivalent deun. 3. Déterminer(a, b, c)∈R³tel que

u_n= a n+ b

n² + c

n³ +o( 1 n³)