Séries numériques

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Exercice 1. Étude de convergence

Étudier la convergence des séries de terme général : 1)

1 + 1

n ⁿ

−e. 2) ch^αn−sh^αn. 3) 2 ln(n³+ 1)−3 ln(n²+ 1).

4) √ⁿ

n+ 1−√ⁿ

n. 5) arccos

n³+ 1 n³+ 2

. 6) aⁿ

1 +a²ⁿ. 7) √(−1)ⁿ

n²+n. 8) (−1)ⁿ

lnn . 9) 1 + (−1)ⁿ√

n

n .

10) 2.4.6. . .(2n)

nⁿ . 11) 1! + 2! +. . .+n!

(n+ 2)! . 12) 1!−2! +. . .±n!

(n+ 1)! . 13) (−1)ⁿ

lnn+ sin(2nπ/3). 14) s

1 + (−1)ⁿ

√n −1. 15) (−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ. 16) (−1)^[√n]

n . 17) (lnn)ⁿ

n^lnn . 18) 1

(lnn)^lnn. Exercice 2. Centrale PC 1999

Soit la suite de terme général : un= (n⁴+n²)^1/4−P(n)^1/3 oùP est un polynôme. A quelle condition surP la sériePun converge-t-elle ?

Exercice 3. Ensi PC 1999

Quelle est la nature de la série de terme général ln

1 + (−1)ⁿ pn(n+ 1)

? Exercice 4. Mines MP 2000

Soitα >0. Étudier la sériePu_n, avecu_n= (−1)ⁿ pn^α+ (−1)ⁿ. Exercice 5. Mines MP 2003

Si α >0, donner la nature des séries P

n>2

(−1)ⁿ (−1)ⁿ+n^α, P

n>2ln

1 +(−1)ⁿ n^α

etP

n>2 1 nlnn. Exercice 6. Ensi PC 1999

Soit (un) une suite réelle telle que u2n+1

u_2n −→

n→∞aet u2n

u_2n−1 −→

n→∞b. Étudier la convergence deP un. Exercice 7. Encadrement

SoientP un, P

vn,P

wn trois séries réelles telles queP

un et P

wn convergent, etun6vn6wn pour tout n. Montrer quePv_n converge.

Exercice 8. Calcul approché Montrer que la sérieP∞

n=1

nsin(0.4/n)ⁿ

converge. Calculer à la machine une valeur approchée à 10⁻⁸ près de sa somme.

Exercice 9. Ensi MP 2002

On suppose que la série à termes positifs de terme généralun est divergente et on poseSn=Pn k=0uk. Soitf :R⁺→R⁺ une application continue décroissante. Comparer les énoncés :

1. f est intégrable

2. La série de terme généralunf(Sn) converge.

Exercice 10. Centrale P’ 1996 Montrer que la sérieP∞

n=1 n²

(1 +n²)² converge. Calculer une valeur approchée à 10⁻⁴près de sa somme.

Exercice 11. ²ⁿ_n /n4ⁿ

L’une au moins des deux séries : P

2n n

n4ⁿ etP n4ⁿ

2n n

diverge. Dire pourquoi et dire laquelle.

Exercice 12. 1/(1 +n²u_n), Mines-Ponts MP 2005 Soit (un) une suite réelle positive et vn = 1

1 +n²un

. Montrer que Pun converge ⇒ Pvn diverge.

Étudier le cas oùPu_n diverge.

Exercice 13. a_n/(1 +a₁)(1 +a₂). . .(1 +a_n)

Soit (a_n) une suite réelle positive. On poseu_n= a_n

(1 +a1)(1 +a2). . .(1 +an). 1) Montrer que la sériePun converge.

2) CalculerP∞

n=1u_n lorsquea_n= 1√ n. Exercice 14. 1/anb de chiffres den

Pourn∈N^∗ on notepn le nombre de chiffres de l’écriture décimale den(sans zéros inutiles). Soita >0.

Étudier la convergence et déterminer la somme éventuelle de la sérieP∞ k=1

1 a^pk. Exercice 15. Cauchy-Schwarz

Soient (un), (vn) deux suites réelles telles quePu²_n etPv²_n convergent.

1) Montrer quePunvn converge.

2) Montrer queP

(un+vn)² converge et : pP

(un+vn)²6pP

u²_n+pP v_n². Exercice 16. (−1)ⁿ/(n^3/4+ cosn)

Soitun= (−1)ⁿ n^3/4+ cosn.

1) La sériePun est-elle absolument convergente ? 2) En écrivantun= (−1)ⁿ

n^3/4 +vn, étudier la convergence deP un. Exercice 17. Reste d’une série alternée

On poseun =P∞ k=n

(−1)^k

√k+ 1. Étudier la convergence de la sérieP un. Exercice 18. Calcul de sommes

Calculer les sommes des séries suivantes : 1) P∞

k=2 1

k²−1. 2) P∞

k=1 1

k(k+ 1)(k+ 2). 3) P∞

k=1 1

k(k+ 1). . .(k+p). 4) P∞

k=0 1

k³+ 8k²+ 17k+ 10. 5) P∞ k=1ln

1 + 2

k(k+ 3)

. 6) P∞

k=2ln

1− 1 k²

. 7) P∞

k=0ln

cos α 2^k

. 8) P∞

k=02^−ktan(2^−kα). 9) P∞

k=02k³−3k²+ 1 (k+ 3)! . 10) P∞

n=p n p

xⁿ. 11)P∞ k=1

x^k

(1−x^k)(1−x^k+1). 12) P∞ k=1

k−n[k/n]

k(k+ 1) . Exercice 19.

Convergence et somme de la série de terme généralu_n =b√

n+ 1c − b√ nc

n .

Exercice 20. Chimie P 90

1) Résoudre les équations différentielles : y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y= 0,y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= 2e^−xcosx.

2) Soitf la solution commune. On définit la série de terme généralun =R(n+1)π

x=nπ f(x) dx. Montrer que Pun converge et calculer sa somme.

Exercice 21. 1/n²(n+ 1)² On admet que P∞

k=1 1 k² = π²

6 . CalculerP∞

k=1 1

k²(k+ 1)².

Exercice 22. 1/(1²+ 2²+...+n²) On admet que P∞

k=1

(−1)^k+1

k = ln 2. Montrer que la série P∞

k=1 1

1²+ 2²+. . .+k² est convergente et calculer sa somme.

Exercice 23. ln(n) +aln(n+ 1) +bln(n+ 2)

Pour quelles valeurs dea, b∈Rla série de terme général ln(n)+aln(n+1)+bln(n+2) est-elle convergente ? Calculer alors la somme de la série.

Exercice 24. arctan(1/(k²+k+ 1)) Montrer queP∞

k=0arctan 1 k²+k+ 1

= π

2 (on pourra calculer tansn).

Exercice 25. arctan(n+a)−arctann Soita∈R.

1) Montrer que la série de terme général arctan(n+a)−arctannest convergente.

2) On poseS(a) =P∞

k=0(arctan(k+a)−arctank). Trouver lim_a→+∞S(a).

Exercice 26. Pile en porte à faux

Peut-on empiler 100 pièces de 1ede sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (cad que sa projection sur un plan horizontal ne rencontre pas la projection de la première pièce)

Exercice 27. P1/n, Mines MP 2010 On définit kj = min{k∈Ntq Pk

n=11/n>j}.

1) Prouver l’existence dekj. Quelle est la limite de kj lorsquej tend vers l’infini ? 2) Calculer lim_j→∞(kj+1/kj).

Exercice 28. Recherche d’équivalents

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de : 1) P2n

k=n+1 √1 k. 2) Pn

k=2 1 klnk. Exercice 29. ln²(k)

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de u_n =Pn

k=1ln²k. La série de terme général 1

u_n est-elle convergente ? Exercice 30. k^−2/3

Trouver la partie entière de P10⁹ k=1k^−2/3. Exercice 31. (−1)^k√

k On pose un =P2n

k=1(−1)^k√

k. Donner un équivalent de un quand n→ ∞ (regrouper les termes deux par deux puis comparer à une intégrale).

Exercice 32. Constante d’Euler

Soitf :R⁺→R⁺ décroissante. On poseun=f(n) et sn=u0+. . .+un. Montrer que la suite de terme général sn −Rn+1

t=0 f(t) dt est convergente. Donner une interprétation graphique de ce fait.

Application : On pose γ= lim_n→∞

1 + 1

2+. . .+ 1 n−lnn

. Justifier l’existence deγ et montrer que 1

2 6γ61.

Exercice 33. Constante d’Euler (Centrale MP 2003) SoitSn=Pn−1

k=1

1 k−1

n−lnnetTn=Pn−1 k=1

1 k+ 1

n−lnn. Les suites (Sn) et (Tn) sont-elles adjacentes ?

Exercice 34. Constante d’Euler, Mines-Ponts MP 2005

Soitu_n,k le reste de la division dunpark. Quelle est la limite de 1 n

Pn k=1

u_n,k k ? Exercice 35. Mines MP 2003

Soit la suite de terme généralu_n= ln 2 2 + ln 3

3 +. . .+ lnn n . 1) Donner un équivalent deun en +∞.

2) Montrer que la suite de terme général : v_n=u_n−ln²n

2 est convergente.

3) Soit`= lim<sub>n→∞</sub>vn. Donner un équivalent devn−`.

Exercice 36. Centrale MP 2001

Donner un équivalent simple dePn−1 k=0

1 n²−k². Exercice 37. 1/nln²(n)

1) Prouver la convergence de la série de terme généralu_n= 1 nln²n. 2) On noteSn=Pn

k=2uk et S=P∞

k=2uk. Montrer que 1

ln(n+ 1) 6S−Sn6 1

lnn pourn>2.

3) Montrer que siS_n est une valeur approchée deS à 10⁻³ près alorsn >10⁴³⁴.

4) On suppose disposer d’une machine calculant un million de termes de la série par seconde avec 12 chiffres significatifs. Peut-on obtenir une valeur approchée de S à 10⁻³ près ? (Rmq : 1 an ≈ 32 millions de secondes)

5) Donner une valeur approchée deS à 10⁻³ près.

Exercice 38. (x−1)ζ(x)→1 Pour x >1 on note ζ(x) =P∞

k=1 1

k^x. En comparantζ(x) à une intégrale, trouver lim_x→1+(x−1)ζ(x).

Exercice 39. un/(1 +un)

SoitPun une série à termes positifs etvn = u_n 1 +un

. Montrer quePun et Pvn ont même nature.

Exercice 40. Série des restes

1) Soit (un) une suite réelle telle queP|un|etPn|un|convergent. On notevn=P∞ k=nuk. a) Montrer quenvn −→

n→∞0.

b) Montrer queP∞

n=1vn=P∞ n=1nun.

2) Application : Calculer lorsque c’est possible : P∞ k=1kr^k. Exercice 41. X MP^∗2001

Soit (un) une suite réelle positive, Un = Pn

i=0ui et α > 0 un réel donné. On suppose Un

nun

n→∞−→ α.

Étudier la suite de terme général 1 n²u_n

Pn k=0kuk. Exercice 42. Pnu_n converge

On considère une suite (u_n)_n>1 telle que la série P

n>1nu_n converge. Montrer que la série P

n>1u_n converge.

Exercice 43. (un)décroit

Soit (un)n>1 une suite réelle positive décroissante telle quePun converge.

1) Montrer quenun −→

n→∞0 (considérerP2n

k=n+1uk).

2) Montrer queP∞

n=1n(un−un+1) converge et a même somme queP∞ n=1un. 3) Application : calculer pour 06r <1 : P∞

k=1kr^k etP∞ k=1k²r^k.

Exercice 44. un/Sn

Soit (un) une suite à termes strictement positifs convergeant vers 0. On poseSn =Pn k=0uk. 1) Si la sériePu_n converge, que dire de la sériePun

S_n ? 2) Si la sériePu_n diverge, montrer que la sériePu_n

S_n diverge aussi.

On pourra considérerpn =Qn k=1

1−uk

S_k

. Exercice 45. Polytechnique MP^∗ 2000

On donne une suite de réels strictement positifs (a_n), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série de terme général an−an+1

an

diverge.

Exercice 46. (un+un+1+. . .+u2n−1)/n SoitP

unune série à termes positifs. On posevn= un+un+1+. . .+u2n−1

n . Montrer queP

vna même nature quePu_n.

Exercice 47. Pkuk/n(n+ 1)

Soit (un)n>1une suite positive. On pose vn= 1 n(n+ 1)

Pn

k=1kuk. Montrer que les sériesP

un etP vn

ont même nature et éventuellement même somme.

Exercice 48. Pkuk/n² SoitP

un une série à termes positifs convergente.

Étudier la convergence de la série de terme généralv_n = 1 n²

Pn k=1ku_k. Exercice 49. Principe d’accumulation

Soit (un) une suite réelle positive décroissante. On posevn = 2ⁿu2ⁿ. Montrer que les séries Pun et Pvn ont même nature.

Applications :

– Retrouver la convergence des séries de RiemannP 1 n^α. – Étudier la convergence des séries de Bertrand : P 1

n(lnn)^α. Exercice 50. u_n+1= 1/ne^un. Ensi P 90

Soit (un) définie par : u1∈R,un+1= 1

ne^un. Quelle est la nature de la sériePun ? Exercice 51. x_n+1 =x_n+x²_n

Soit (x_n) une suite définie par : x₀>0 et∀n∈N,x_n+1=x_n+x²_n. 1) Montrer quexn −→

n→∞+∞.

2) On poseun = 2⁻ⁿlnxn. Montrer que la suite (un) est convergente (on étudiera la sériePun+1−un).

3) En déduire qu’il existeα >0 tel quexn∼α²ⁿ. Exercice 52. u_n+1=u_n−u²_n

On considère la suite (u_n) définie par : 0< u₀<1 et∀n∈N,u_n+1=u_n−u²_n. 1) Montrer que la suite (u_n) converge. Quelle est sa limite ?

2) Montrer que la série de terme généralu²_n converge.

3) Montrer que les séries de termes généraux ln un+1

un

et un divergent.

4) Montrer queun< 1

n+ 1 et que la suite (nun) est croissante. On note`sa limite.

5) On poseun= `−vn

n . Montrer que la série de terme général vn+1−vn converge.

6) En déduire queun est équivalent à 1 n.

Exercice 53. un+1/un = (n+a)/(n+b)

Soit (u_n) une suite définie par la donnée deu₀∈R^∗ et la relation : ∀n∈N, u_n+1

u_n =n+a

n+b oùa,b sont deux constantes réelles (−a,−b /∈N).

1) Montrer queun est de signe constant à partir d’un certain rang.

2) On posevn= (n+b−1)un. Étudier la convergence de la suite (vn) (on introduira la série de terme général ln(vn+1)−ln(vn)).

3) En déduire que la sérieP

unconverge si et seulement sia−b+ 1<0 et calculer sa somme en fonction dea, b, u0.

Exercice 54.

On se donne u1 et a deux réels strictement positifs et l’on définit par récurrence la suite (un) par u_n+1=u_n+ 1

n^aun

. . .Étudiez la limite de la suite (u_n), et, quanda61, en donner un équivalent.

Exercice 55. 1/k^α(n−k)^α Soitα >0. On poseun=Pn−1

k=1 1

k^α(n−k)^α. Étudier la convergence deP un. Exercice 56. Produit de Cauchy de trois séries

Soient Pa_n,Pb_n,Pc_n trois séries absolument convergentes de sommesA,B,C.

On poseu_n =P

i+j+k=na_ib_jc_k. Montrer quePu_n=ABC.

Exercice 57. Produit de séries géométriques Soient a ∈ [0,1[. Écrire 1

(1−a)² comme produit de deux séries. En déduire la somme de la série P∞

k=0ka^k. Calculer par la même méthodeP∞ k=0k²a^k. Exercice 58. Produit de séries géométriques

Pourn∈Non noteTn le nombre de manières de décomposerneuros avec des pièces de 1eet 2eet des billets de 5eet 10e(T0= 1). Montrer que : ∀x∈[0,1[,P∞

k=0Tkx^k = 1

(1−x)(1−x²)(1−x⁵)(1−x¹⁰). Exercice 59. Puk/2^n−k

SoitP

un une série convergente. On posevn =un

1 +un−1

2 +. . .+u0

2ⁿ. 1) Montrer quevn −→

n→∞0.

2) Montrer queP

vn converge et donner sa valeur.

Exercice 60. P

an/n^p= 0

Soit (an) une suite bornée telle que pour tout entierp>2 : P∞ n=1

an

n^p = 0.

Montrer que : ∀n∈N^∗, an = 0.

Exercice 61. Px_kn= 0 SoitP

n>1x_n une série absolument convergente telle que pour tout entierk>1 on aP∞

n=1x_kn= 0.

Montrer que : ∀n∈N^∗, x_n= 0.

Exercice 62. Césaro

1) Soientk, p∈Naveck6p. Montrer quePp n=k

n k

− _k+1ⁿ

2ⁿ =

p+1 k+1

2^p . 2) Soit (u_n) une série convergente. On posev_n = ₂¹_nPn

p=0 n p

u_p. Montrer que la série (v_n) est conver- gente.

Exercice 63. nun→0

Soit (un) une série convergente à termes positifs décroissants.

1) Montrer quenun −→

n→∞0.

2) Montrer queP

uk>1/n

1 uk

=o(n²).

Exercice 64. un/R^p_n

Soit (an) une série positive convergente,A=P∞

k=0ak,Rn =P∞

k=nak etp∈]0,1[.

1) Montrer qu’il existeC_p∈Rtel queP∞

n=0a_n/R^p_n6C_pA^1−p. 2) Trouver la meilleure constanteC_p.

Exercice 65. u_n+1=u_n+a_n/u_n

Soit (a_n) une suite réelle positive et (u_n) la suite définie par la relation de récurrence : u_n+1=u_n+a_n un

avecu0>0. Montrer que la suite (un) converge si et seulement si la sériePan converge.

Exercice 66. Raabe-Duhamel

Soit (un) une suite réelle positive telle que un+1

un

= 1−α n+O

1 n²

. Montrer qu’il existeA >0 tel que un∼ A

n^α.

Exercice 67. Stirling++

Montrer quen! = n

e n√

2πn

1 + 1 12n+O

1 n²

. Exercice 68. Développement factoriel

SoitS l’ensemble des suites croissantes d’entiers (qi) telles queq0>2.

1) Sis= (qi)∈ S, montrer que la sérieP∞ k=0

1 q0. . . qk

converge. On noteΦ(s) sa somme.

2) Montrer que l’applicationΦ:S →]0,1] est bijective.

3) Soits= (qi)∈ S. Montrer queΦ(s)∈Qsi et seulement sisest stationnaire.

Exercice 69. Développement asymptotique 1) Montrer qu’il existeC∈Rtel que Pn

k=1lnk k = 1

2ln²(n) +C+o(1).

2) Prouver : ln 2 2 −R3

t=1

lnt

t dt6C6 ln 2 2 + ln 3

3 −R3 t=1

lnt t dt.

3) Prouver : Pn k=1

lnk k = 1

2ln²(n) +C+ lnn

2n +olnn n

. Exercice 70.

Soit (un) une suite de complexes telle que u1+. . .+un

n −→

n→∞`∈C. Montrer que 1

ln(n) u1

1 +. . .+un

n −→

n→∞`.

Exercice 71.

Soit (un) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.

Étudiez la suite de terme généralv_n=Pn k=0

uk

n+k+ 1. . . Exercice 72. Centrale MP 2000

Soient deux suites de termes générauxu_n etv_n définies par la donnée deu₁etv₁, tous deux réels, et les relations :

u_n+1=u_n− v_n

n(n+ 1), v_n+1=v_n+ u_n n(n+ 1). Montrer que ces suites sont définies et bornées.

Exercice 73. Produits infinis, Polytechnique 2000

On considère une suite (an) de réels et on définitPN =QN

n=1(1 +an) et SN =PN n=1an. 1) On suppose que pour toutn,a_n>0.

a) Montrer que, pour toutN, 1 +S_N 6P_N 6e^SN.

b) Comparer les convergences respectives des suites (S_N) et (P_N).

2) On suppose maintenant que pour toutn,−16a_n60.

a) La relation précédente est-elle encore vérifiée ? b) Discuter de la convergence des suites (SN) et (PN).

3) On suppose que (an) est de signe quelconque et que pour toutn, 1 +an>0. On suppose de plus que la sériePan converge. Montrer que (PN) a une limite et que cette limite est nulle si et seulement si Pa²_n diverge.

4) Complément. On suppose que la suite (an) est complexe, que pour tout n, |an|<1 et que la série P|an|est convergente.

a) Montrer queQ∞

n=1(1 +|an|) existe, puis queQ∞

n=1(1 +an) existe. On pourra démontrer et utiliser l’inégalité

QN

n=1(1 +an)−1 6QN

n=1(1 +|an|)−1.

b) Montrer queQ∞

n=1(1 +an) n’est pas nul.

Exercice 74. Polytechnique MP 2002

Trouver les fonctions f : [0,1]→Rcontinues vérifiant : ∀x∈[0,1],f(x) =P∞ n=1

f(xⁿ) 2ⁿ . Exercice 75. ENS Cachan MP^∗2005

SoitP(n) = max{ppremier, p|n}. Montrer queP

n 1

nP(n) converge.

Exercice 76. cosz∈[−1,1]

Quels sont les complexes ztels que cosz∈[−1,1] ? Exercice 77. lim((1 +z/n)ⁿ)

Soitz∈C. Montrer que

1 + z n

ⁿ

n→∞−→ e^z. Exercice 78. Inégalité

Soitz∈C. Montrer que|e^z−1|6e^|z|−16|z|e^|z|. Exercice 79. Inégalité, Polytechnique MP^∗ 2006

Soitz=x+iy∈Cavecx, y∈Retx6= 0. Montrer que

e^z−1 z

6

e^x−1 x

. Que dire en cas d’égalité ? Exercice 80. Morphismes(R,+)→(C,∗)

Soitf :R→C^∗ telle que : ∀x, y∈R,f(x+y) =f(x)f(y).

1) Sif est dérivable, montrer qu’il existeλ∈Ctel que : ∀x∈R,f(x) =e^λx.

2) Obtenir le même résultat si f est seulement supposée continue (prendre une primitive, F, de f et montrer qu’elle est de classeC²).

Exercice 81. e^z=z

Montrer qu’il existe une infinité de complexes z tels quee^z =z (on calculera xen fonction de y, et on étudiera l’équation obtenue).

Exercice 82. Équations trigonométriques Résoudre dansC:

1) cosz= 2.

2) chz=−1.

3) sinz+ sinjz+ sinj²z= 0.

4) 8 cosz+ 4isinz= 7 + 5i.

Exercice 83. |cos|et|sin|sur le cercle unité

Calculer sup{|cosz|tq|z|61} et sup{|sinz|tq|z|61}.

Exercice 84. Courbes

Soient M, M⁰ deux points du plan d’affixesz=x+iy etz⁰=x⁰+iy⁰.

1) On suppose quez etz⁰ sont liés par la relation : z⁰ =e^z. Étudier la courbe décrite parM⁰ lorsqueM décrit :

a) une droitex= cste.

b) une droitey= cste.

c) une droite quelconque.

2) Reprendre les questions1a)et1b)avecz⁰ = cosz.

Exercice 85. Centrale MP 2002

Résoudre dansM2(C) : exp(M) =_{2i 1 +i}

0 2i

. Exercice 86. Famille non sommable

Soit (a_n)n∈N une suite de réels positifs telle que a_n −→

n→∞0 et P

n∈Na_n = +∞. Montrer que pour tout réel x>0, il existeX ⊂Ntel que P

n∈Xan=x.

Exercice 87. Famille sommable, Centrale 2015

Soit n ∈ N^∗. On note u_n = 0 si l’écriture décimale de n comporte au moins un chiffre égal à 9 et u_n= 1/nsinon. SoientS_n=u₁+. . .+u_netT_n=S₁₀n+1−1−S10ⁿ−1. On noteA_nl’ensemble des entiers k∈[[10ⁿ,10ⁿ⁺¹−1]] tels queu_k 6= 0.

1) Écrire en Python les fonctions donnantu_n,S_n,T_n. DonnerS₉₉₉,S₉₉₉₉,T₂ etT₃. 2) Montrer quePu_n converge.

3) Nous allons chercher à approcherP∞ n=1un. a) Montrer queT_n+1=P8

`=0

P

k∈Anu_10k+`. b) Montrer que ₁₀⁹T_n−₁₀³⁶_n+2T_n6T_n+16 10⁹T_n.

c) En déduire un encadrement deS=P∞ n=1un. Exercice 88. Mines 2017

Soitf ∈ C¹([1,+∞[,C) une fonction de dérivéef⁰ intégrable.

1) Montrer que la sérieP∞

n=0f(n) converge si et seulement si la suite (Rn

t=1f(t) dt)_n∈N^∗est convergente.

2) La sérieP∞ n=1

sin√ n

n converge-telle ?

solutions

Exercice 1.

1) ∼ − e

2n ⇒DV.

2) ∼ α

2^α−1e^n(α−2)⇒CV ssiα <2.

3) ∼ − 3

n² ⇒CV.

4) ∼ 1

n² ⇒CV.

5) ∼r 2

n³ ⇒CV.

6) cv ssi|a| 6= 1.

7) Série alternée⇒CV.

8) Série alternée⇒CV.

9) Harmonique + alternée⇒DV.

10) d’Alembert⇒CV.

11) 6(n−1)(n−1)! +n!

(n+ 2)! 6 2

(n+ 1)(n+ 2) ⇒CV.

12) =(−1)ⁿ⁻¹

n+ 1 +O 1 n²

⇒CV.

13) Décomposition en 3 séries alternées⇒CV.

14) =(−1)ⁿ 2√

n − 1

8n+O(n^−3/2)⇒DV.

15) Regroupement de termes⇒DV.

16) Regroupement par paquets + CSI⇒CV.

17) −→/ 0⇒DV.

18) = 1

n^{ln lnn} ⇒CV.

Exercice 2.

P(n) =n³+³₄n+C.

Exercice 3.

= (−1)ⁿ

pn(n+ 1)+O 1 n²

⇒converge.

Exercice 4.

un= (−1)ⁿ n^α/2 − 1

2n^3α/2+o 1 n^3α/2

, il y a convergence ssiα > ²₃. Exercice 5.

Effectuer un développement asymptotique pour les deux premières. Elles convergent si et seulement si α > ¹₂. La troisième diverge par comparaison série-intégrale.

Exercice 6.

u2n+1

u_2n−1 −→

n→∞abet u2n

u_2n−2 −→

n→∞ab donc il y a convergence si|ab|<1.

Exercice 8.

n= 21,S≈0.65314389.

Exercice 9.

1⇒2 par comparaison série-intégrale. Contre-exemple pour 26⇒1 : un=e⁽ⁿ⁺¹⁾²−eⁿ²,Sn=e⁽ⁿ⁺¹⁾²−1,

f(t) = 1

(t+ 2) ln(t+ 2).

Exercice 10.

n²

(n²+ 1)² − 1

n²−1 =− 3n²+ 1

(n²+ 1)²(n²−1) >−4

n⁴ pourn>3.

DoncS=Pn n=1

n²

(n²+ 1)² +P∞ n=N+1

1

n²−1 +RN avec− 4

3N³ 6RN 60 et P∞

n=N+1 1

n²−1 = N+¹₂ N(N+ 1).

Pour N= 25 on obtient : 0.76981< S <0.76990.

Exercice 12.

Si P

un etP

vn convergent alorsn²un −→

n→∞∞doncunvn∼1/n². Alors les suites (√

un) et (√

vn) sont de carrés sommables tandis que la suite (√

unvn) n’est pas sommable, c’est absurde.

Si Pu_n diverge on ne peut rien dire : avec u_n = 1 on aPv_n convergente tandis qu’avec u_n = 1 n on a Pvn divergente.

Exercice 13.

1) u1+. . .+un = 1− 1

(1 +a1). . .(1 +an) 61.

2) ln (1 +a1). . .(1 +an)

=Pn

k=1ln 1 + 1√ k

!

n→∞−→ +∞ ⇒P un= 1.

Exercice 14.

Regroupement de termes par valeur constante depk ⇒P∞ k=1

1

a^pk =P∞ p=1

10^p−10^p−1

a^p = 9

a−10. Exercice 16.

2) |vn|=O(n^−3/2)⇒CV.

Exercice 17.

Série alternée.

Exercice 18.

1) 3 4. 2) 1

4.

3) S_p−(p+ 1)S_p+1=S_p− 1

(p+ 1)! ⇒S_p= 1 pp!. 4) 23

144. 5) ln 3.

6) −ln 2.

7) ln

sin 2α 2α

. 8) 1

α−2 cotan(2α).

9) 109−40e.

10) x^p

(1−x)^p+1 pour|x|<1 par récurrence.

11) x

(1−x)² si|x|<1, 1

(1−x)² si|x|>1.

12) S_n=P∞ q=0

Pn−1 r=1

r

(qn+r)(qn+r+ 1) =P∞ q=0

Pn−1 r=1

r

qn+r− r qn+r+ 1. S_n=P∞

q=0

1

qn+ 1 +. . .+ 1

qn+n − 1 q+ 1

= limN→∞

P(N+1)n

k=1 1

k−PN+1 k=1 1

k

= lnn.

Exercice 19.

Si n+ 1 n’est pas un carré alorsun = 0 doncP∞

n=1un=P∞

k=2uk²−1=P∞ k=1 1

k²−1 = 3 4. Exercice 20.

1) y=e^−x(acosx+bsinx),y=e^−xsinx+e^−2x(cx+d).

2) un= (−1)ⁿe^−nπ(e^π+ 1)

2 ,P∞

n=0un= 1 2. Exercice 21.

π² 3 −3.

Exercice 22.

1

1²+ 2²+. . .+k² = 6 k+ 6

k+ 1− 24

2k+ 1 ⇒s_n= 18−24P2n+1 k=1

(−1)^k+1

k + 6

n+ 1 −→

n→∞18−24 ln 2.

Exercice 23.

a=−2,b= 1,S=−ln 2.

Exercice 24.

tans_n =n+ 1 par récurrence ets_n6P∞ k=0

1

k²+k+ 1 61 +P∞ k=0

1

n(n+ 1) = 2.

Exercice 25.

1) ∼ a n². 2) S(a)>Pn

k=0arctan(k+a)−arctank −→

a→+∞

π

2+arctan 1+arctan 1

2+. . .+arctan 1

n ⇒S(a) −→

a→+∞+∞.

Exercice 26.

Le déport maximal entre la première pièce et la dernière pour une pile denpièces est 1 2+ 1

4+. . .+ 1 2(n−1) (en diamètre d’une pièce). Il dépasse 1 pourn >4.

Exercice 27.

2) Lorsque k → ∞ on a : Pk

n=11/n = ln(k) +γ+o(1), d’où j 6ln(kj) +γ+o(1) < j+ 1/kj. Ceci prouve que ln(k_j) =j−γ+o(1) et donck_j+1/k_j −→

j→∞e.

Exercice 28.

1) 2(√

2−1)√ n.

2) ln(lnn).

Exercice 29.

un∼nln²n⇒CV.

Exercice 30.

2997.

Exercice 31.

rn 2. Exercice 33.

T_n+1−T_n = 1

n+ 1 −lnn+ 1 n

= 1

n+ 1−Rn+1 t=n

dt t <0 Sn+1−Sn= 2

n− 1

n+ 1 −lnn+ 1 n

= 1n−Rn+1 t=n

1 t − 1

t²

dt >0.

Exercice 34.

un,k

k = n k −n

k

, doncvn = 1 n

Pn k=1

un,k

k est une somme de Riemann pourI =R1 t=0

1 t −1

t

dt. La fonctionϕ: t7→ 1

t −1 t

est Riemann-intégrable sur [0,1], donc v_n −→

n→∞I.

Calcul deI: In=R1 t=1/n

1 t −1

t

dt= lnn−Pn k=1

R1/k

t=1/k+1kdt= lnn−Pn k=1

1 k+ 1 −→

n→∞1−γ=I.

Exercice 35.

1) Comparaison série-intégrale : un∼ ln²n 2 .

2) Comparaison série-intégrale encore (v_n est la somme des aires entre les rectangles aux points entiers et la courbe det→ln(t)/t).

3) v_n−`=−P∞ k=n

Rk+1 t=k

lnt

t dt−ln(k+ 1) k+ 1

=−P∞

k=nw_k avecw_k∼ lnk 2k². Doncvn−`∼ −R+∞

t=n

lnt

2t²dt∼ −lnn 2n . Exercice 36.

Pn−1 k=0

1

n²−k² = 1 2n

Pn−1 k=0

1

n−k+ 1 n+k

= 12n

P2n−1 k=1

1 k+ 1

n

∼lnn 2n . Exercice 37.

5) Sn+ 1

ln(n+ 1) 6S6Sn+ 1

lnn. Pourn= 60 : 2.06857< S <2.06956.

Exercice 39.

Si un →0, alorsvn ∼un; sinon,vn6→0.

Exercice 40.

2) r (1−r)². Exercice 41.

On remarque déjà queP

ui diverge carun∼ Un

nα> U1

nα. On calculePn

k=0kuk par parties :

n

X

k=0

kuk=

n

X

k=1

k(Uk−U_k−1) =nUn−

n

X

k=0

Uk

CommeUn∼αnun, terme général strictement positif d’une série divergente, on aPn

k=0Uk∼αPn k=0kuk

d’où : (1 +α)Pn

k=0kuk ∼nUn et : 1 n²u_n

n

X

k=0

ku_k∼ nUn

(1 +α)n²u_n −→

n→∞

α 1 +α. Exercice 42.

S_n =Pn

k=0ku_k ⇒Pn

k=0u_k=Pn−1 k=1

Sk

k(k+ 1) −S₀+Sn

n . Exercice 43.

3) kr^k=k(uk−uk+1) avecuk= r^k

1−r doncP∞

k=1kr^k =P∞ k=1 r^k

1−r = r (1−r)². De même,Sn=P∞

k=nkr^k= (n−1)rⁿ 1−r +P∞

k=n r^k

1−r = nrⁿ

1−r+ rⁿ⁺¹ (1−r)². k²r^k=k(Sk−Sk+1) et (Sk) décroît d’où

P∞

k=1k²r^k =P∞

k=1S(k) =P∞ k=1

kr^k

1−r+ r^k+1 (1−r)²

= r+r² (1−r)³.

Exercice 44.

2) pn= u0

Sn

→0 donc la série de terme général ln

1−un

Sn

diverge.

Exercice 45.

Méthode des rectangles : Pn k=0

ak−ak+1

ak+1 >Ra₀ t=a_n+1

dt t −→

k→∞+∞.

Si ak ∼ak+1 la série donnée diverge donc. Sinon, elle diverge aussi car son terme général ne tend pas vers 0.

Exercice 46.

Pn

n=1v_n=P2N−1 k=1 u_kP

k/2<n6k 1 n⇒ 1

2

P2N−1

k=1 u_k 6Pn

n=1v_n62P2N−1 k=1 u_k. Exercice 47.

Pn

k=1v_k+nv_n=Pn k=1u_k.

Si Pu_n converge,Pv_n converge aussi (SP majorées) etnv_n →`⇒`= 0.

Si Pun diverge etPvn converge, alorsnvn →+∞, contradiction.

Exercice 48.

Pn

k=1vk =Pn

k=1kukPn p=k

1 p² 6Pn

k=1

kuk

k−1 ⇒CV.

Exercice 49.

1 2

Pn+1

k=1vk6P2ⁿ⁺¹

k=1 uk 6Pn k=0vk. Exercice 50.

Pour n >2,un+1< 1

n doncun+2> 1

(n+ 1)e^1/n ∼ 1

n donc la série diverge.

Exercice 53.

2) ln(v_n+1)−ln(v_n) = ln

1 + a−b+ 1 n+b−1

⇒

(sia−b+ 1>0, v_n→+∞

sia−b+ 1 = 0, v_n= cste sia−b+ 1<0, vn→0.

3) (n+b)un+1−(n+a)un= 0⇒(n+b)un+1+ (b−a−1)Pn

k=1uk−au₀= 0⇒P∞

k=0uk = (b−1)u0

b−a−1. Exercice 54.

La suite (un) est croissante donc tend vers`∈]0,+∞]. On a`fini si et seulement si la série télescopique P(un+1−un) =P 1

n^au_n est convergente, soit si et seulement sia >1.

Pour a < 1 on a u²_n+1 =u²_n+ 2

n^a +o 2 n^a

donc u²_n+1−u²_n ∼ 2

n^a et un ∼

r2n^1−a

1−a (sommation des relations de comparaison).

Pour a= 1 on a de mêmeu_n∼√ 2 lnn.

Exercice 55.

α >1⇒Pun cv et vautζ(α)². α <1⇒P2N

n=1un>Pn k=1 1

k^α ⇒P un dv.

Exercice 57.

a

(1−a)² et a+a² (1−a)³. Exercice 59.

1) Césaro.

2) v₀+v₁+. . .+v_n= 2(u₀+u₁+. . .+u_n)−v_n. Exercice 60.

|an|6M ⇒

P∞ n=2

an

n^p

6MP∞ n=2 1

n^p 6MR∞ t=1

dt t^p = M

p−1 ⇒a₁= 0.