La projection dans le plan

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Exercices d’application avec solutions sur la projection dans le plan Tronc CS PROF : ATMANI NAJIB

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Exercice1 : Soit ABC est un triangle et M le

milieu de [AB]

1)Soit

P

₁

la projection sur (BC) parallèlement

à

  ^AC

Déterminer :

P A

1

 

;

P C

1

 

,

P B

1

 

,

P M

1

 

, 2)Soit

P

₂

la projection sur   ^AC parallèlement

à

(BC)

Déterminer :

P A

2

 

,,

P C

2

  P B

2

 

,

P M

2

 

Réponse : 1) soit P

₁

la projection sur (BC) parallèlement

à

  ^AC

On a ^{A }   ^{AC et}      

^{AC  BC  C}

^donc

 

1 

P A C

On a ^{B }   ^BC donc B

est invariante par la projection

P

1

_donc P B

1

   B

On a ^{C }   ^BC donc C

est invariante par la projection

P

1

_donc P C

1

   C

Soit

M   P M

1

 

on a

M le milieu de [AB]

La

parallèle à   ^AC passant par M passe forcément par le milieu de [BC]

donc M' est le milieu de [BC]

1) soit: P

₂

la projection sur   ^AC

parallèlement

à

(BC)

On a ^{A }   ^AC donc P A

2

   A

On a ^{C }   ^AC donc C

est invariante par la projection

P

2

_donc P C

2

   C

On a ^{B }   ^BC et       ^{AC  BC  C} donc

 

2



P B C

On a

M le milieu de [AB] donc

la

parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en son milieu soit: M 

ce

milieu donc P M

2

   M 

Exercice2 : Soient ABC est un triangle et M un point définie par : ²

AM 3AB

1)Construire le point

M'

le

projeté de M sur la droite   ^AC parallèlement à   ^BC

2)Montrer que

²

AM  3AC

et en déduire que 2

MM   3 BC

Réponse : 1) soit: P la projection sur   ^AC

parallèlement

à

(BC)

On a ^{A }   ^{AC donc A}

est invariante par la projection

P donc

^{P A}

 

^A

On a

^C

 

^BC

^{donc C}

est invariante par la projection

P donc ^{P C}   ^{ C}

On a aussi : ^{P B}   ^{ C}

Et puisque

2

AM  3 AB et la projection conserve le coefficient d’alignement de trois points

A l o r s : 2 AM   3 AC On a

 

2 2 2 2

3 3 3 3

MM   MA AM     AB  AC   AB AC   BC

Exercice3 : (réciproque de Thales):

Soient ABC est un triangle et I et I  deux points tel que : 2

AI  3 AC et 2 AI   3 AB 1) Montrer que I  est par la projection de I sur

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la droite   ^AB parallèlement à   ^BC

2) soit M est le milieu de [BC] ; la droite  ^AM 

coupe la droite   ^{II  en G}

Montrer que

² AG3AM

Réponse : 1) On a

2

AI  3 AC donc

²

AI  3AC

donc 2

AI  3 AC donc 2 3 AI

AC  ① Et on a : 2

AI   3 AB donc 2

AI   3 AB donc 2

AI   3 AB donc 2 3 AI AB

  ②

D’après ① et ② on a AI AI AC AB

  et d’après

la réciproque de Thales :     ^{II  BC}

Et puisque   ^{AB coupe}   ^{II  en I  donc I  est}

la projection de I sur la droite   ^AB

parallèlement à   ^BC

2) On a I  est la projection de I sur la droite

  ^AB parallèlement à   ^BC et M est le milieu de [BC] Mq : 2

AG  3 AM ???

On considère P la projection sur  ^AM 

Parallèlement

à(

BC)

On a ^{A }  ^AM  donc A

est invariante par la projection

P donc ^{P A}   ^{ A ❶}

la

parallèle à (BC) passant par C est (BC) elle coupe  ^AM  en M donc ^{P C}   ^{ M}

^❷

la

parallèle à (BC) passant par I est   ^{II  elle}

coupe  ^AM  en G donc ^{P I}   ^{ G}

^❸

Et

on a en plus 2

AI  3 AC ❹donc D’après ❶ et ❷

et ❸ et ❹ on a 2

AG  3 AM car la projection conserve le coefficient d’alignement de trois points

Exercice4 : Soient ABC est un triangle et I le milieu de



^AC

 ^.

^E un point de (AC)tel que :

1

 3

IE IC et P_{((AB IB);( ))}( )E F

Faire une figure et montrer que :

¹

 3 BF AB

Solution :

On a :

¹

 3

IE IC

et

I le milieu de



^AC



Donc :

AI IC

donc :

¹

 3 IE AI

Et on a :

P_{((AB IB);( ))}( )E F

et

P_{((AB IB);( ))}( )I B

et

P_{((AB IB);( ))}( )A A

Et puisque le la projection conserve le coefficient d’alignement de trois points alors :

1

3 BF AB

Exercice5 : Soient ABC est un triangle et I le milieu de



AC



E un point tel que :

BC  4 BE

La droite qui passe par

^E

et parallèle a

(IB)

coupe

(AC)

en

J

1)montrer que IC  4 IJ et en déduire que :

 5 AJ IJ

2)si

(IB)(AE)

 

K

montrer que :

 5 AE KE

Solution : 1)soit

P_((AC);(IB)) la projection sur (AC)

parallèlement à

(IB)

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On a : BC  4 BE et

P_{((AC IB);( ))}( )B I

et

((_{AC IB});( ))( )

P E J

et

P_{((AC IB);( ))}( )C C

et puisque la projection conserve le coefficient d’alignement de trois points alors : IC  4 IJ

La déduction :

On a

AJ AI IJ et I le milieu de



AC



Donc :

AI IC

et par suite :

4 5

      

AJ AI IJ IC IJ IJ IJ IJ

2) soit

P_((AE);(IB)) la projection sur (AE)

parallèlement à

(IB)

On a : AJ  5 IJ et

P_{((AE IB);( ))}( )A A

et

((_{AE IB});( ))( )

P I K

et

P_{((AE IB);( ))}( )J E

et puisque la projection conserve le coefficient d’alignement de trois points alors : AE  5 KE

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien