la droite d'équation y = mx . Soit M un point du plan, A est sa projection sur l'axe des x et B sa projection sur l'axe des y . Par A et B on mène les parallèles à D

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, − → i , − →

j ) , pour tout m > 0 , on note D

la droite d'équation y = mx . Soit M un point du plan, A est sa projection sur l'axe des x et B sa projection sur l'axe des y . Par A et B on mène les parallèles à D

qui coupent respectivement l'axe des y en A

et l'axe des x en B

.On appelle M

le point qui se projette en A

et B

sur les axes. On note T

l'application du plan dans lui même qui à M associe M

.

A'

Dm

A

B M

B'

M'

1. Calculer les coordonnées (α

, β

) de M

en fonction des coordonnées (α, β) de M . Montrer que T

est bijective et calculer T

2. Montrer que la droite (M T

(M )) quand elle est dénie a une direction indépendante de M et que le milieu P de ([M T

(M )] décrit une droite δ

que l'on déterminera.

Quelle est la nature de T

? Peut-elle être une symétrie orthogonale ? 3. Le réel m étant xé, on suppose que M décrit une droite passant par O .

a. Que peut-on dire de l'ensemble des droites (AB) ? b. Que peut-on dire de l'ensemble des droites (A

B

) ?

4. On suppose que M est xé et que m décrit l'ensemble des réels strictement positifs.

a. Déterminer l'ensemble

H = {T

(M ), m > 0}

b. On suppose que M n'est pas situé sur les axes. Montrer que la tangente en T

(M ) à H est l'image de la droite (A

B

) par une homothétie de centre O que l'on précisera.

5. Soit (m

)

une suite innie de réels non nuls et M un point xé du plan de coor- données (α, β) avec αβ 6= 0 .Pour tout entier n , on pose

M

= T

(M )

Trouver une condition nécessaire et susante sur la suite (m

)

pour que les deux suites de coordonnées de M

convergent.

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