EXERCICE 4 : On suppose quef est une fonction de classeC1 sur [a, b]

Colle PC Semaine 11 et 12 2012-2013

Intégration : révisions analyse de PCSI ; Suites et séries de fonctions ; Calcul intégral

EXERCICE 1 :

Démontrer que, pour toutQ∈R[X],Z 1

−1

Q(t) dt=−i Z π

0

Q(e^iθ)e^iθdθ

EXERCICE 2 :

Soitλ∈C\R,a= Re(λ) etb= Im(λ).

ÉtablirZ dt

t−λ = ln|t−λ|+iarctan t−a

b

+C^te

EXERCICE 3 :

Soitf : [a, b]→R. Montrer que la fonctionx7→

Z b

a

f(t) sin(xt)dt est lipschitzienne.

EXERCICE 4 :

On suppose quef est une fonction de classeC¹ sur [a, b].

Montrer que lim

λ→+∞

Z b

a

sin(λt)f(t) dt= 0.

EXERCICE 5 :

Pourx∈R, on posef(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ ch(nx) 1. Quel est le domaine de définitionDdef? 2. Montrer quef est continue surD.

EXERCICE 6 :

Soita∈R^∗₊ etf : [0;a]−→Rcontinue telle que :

∀x∈[0;a], f(x)6=−1 etf(x)f(a−x) = 1.

Calculerf(x) = Z a

0

1 1 +f(x)dx

EXERCICE 7 :

Pourǫ∈R^∗₊ fixé, calculer

x→lim+∞x^1−ǫ Z x+1

x

sin(t²)dt

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Corrections EXERCICE 1 :

On vérifie la relation pourQ(x) =xⁿ. La linéarité de l’intégrale permet d’obtenir le résultat pour un polynômeQ quelconque deR[X].

Z 1

−1

Q(t) dt= 1

n+ 1tⁿ⁺¹ 1

−1

=1−(−1)ⁿ⁺¹ n+ 1 par ailleurs,

Z π

0

Q(e^iθ)e^iθdθ= 1

i(n+ 1)e^i(n+1)θ π

0

=e^i(n+1)π−1 i(n+ 1) Or e^i(n+1)π = (−1)ⁿ⁺¹d’où le résultat ...

EXERCICE 2 : 1

t−λ= t−a+ib

(t−a)²+b² = t−a

(t−a)²+b² +i b (t−a)²+b²

•

Z t−a

(t−a)²+b²dt=1

2ln((t−a)²+b²) + Cte = ln|t−λ|+ Cte

•

Z b

(t−a)²+b²dt= arctan t−a

b

+ Cte

EXERCICE 3 :

Soithdéfinie parh(x) =Z b a

f(t) sin(xt) dt

∀(x, y)∈R²,h(x)−h(y) = Z b

a

f(t)(sin(xt)−sin(yt)) dt= Z b

a

2f(t) sin(x−y)t

2 cos(x+y)t

2 dt

Comme, pour touta∈R,|sina|6|a| et cosa61, on obtient : h(x)−h(y)6|x−y|

Z b

a |tf(t)|dtd’où le résultat.

EXERCICE 4 :

On prend λ >0.f est de classeC¹ donc en utilisant une intégration parties, on obtient :

Z b

a

f(t) sin(λt) dt

= 1

λ −[cos(λt)f(t)]^b_a+Z b a

f^′(t) cos(λt) dt

!

6 1

λ |f(a)|+|f(b)|+Z b

a |f^′(t)|dt

! . D’où le résultat.

EXERCICE 5 :

Pourx∈R, on poseun(x) = (−1)ⁿ ch(nx). 1. Domaine de définitionDdef :

• un(0) = (−1)ⁿ ne tend pas vers 0 donc la série de terme généralun(0) diverge.

• pourx >0, on a|un(x)| ∼

n→+∞

2

e^nx ce qui implique la convergence de la série.

• pourx <0,un(−x) =un(x) donc la série converge aussi.

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AinsiD=R^∗ 2. Pour tout a > 0,||un||^{[a;+∞ ∞[} = 1

chna, la série de fonction de terme général un converge normalement sur tout intervalle [a; +∞[.

Comme les un sont continues surR, on en déduite quef est continue surR^∗.

EXERCICE 6 :

On opère le changement de variabley=a−x. Ce qui donne : Z a

0

1

1 +f(x)dx=− Z 0

a

1

1 +f(a−y)dy=Z a 0

1

1 +f(a−y)dy=Z a 0

1 1 + 1

f(y)

dy=Z a 0

f(y) 1 +f(y)dy On a donc :Z a

0

1

1 +f(x)dx+Z 0 a

f(x)

1 +f(x)dx=Z a 0

dx=ad’oùZ a 0

1

1 +f(x)dx= a 2

EXERCICE 7 : ǫ∈R^∗₊ fixé.

On réalise successivement le changement de variablesu=t² puis une intégration par parties.

Ainsi pourx >0 : x^1−ǫ

Z x+1

x

sin(t²)dt= x^1−ǫ 2

Z (x+1)²

x²

sin(u)

√u du= x^1−ǫ 2

−cosu

√u

(x+1)²

x²

−1 2

Z (x+1)²

x²

cos(u) u^3/2 du

!

• x^1−ǫ 2

−cosu

√u

(x+1)²

x²

= 1 2x^ǫ

cos(x²)− x

x+ 1cos((x+ 1)²)

et cette quantité tend vers 0 lorsquextend vers +∞.

•

x^1−ǫ 4

Z (x+1)²

x²

cos(u) u^3/2 dt

6x^1−ǫ 4

Z (x+1)²

x²

du

u^3/2 = 1

2x^ǫ(x+ 1) −→

x→+∞0.

Ainsi lim

x→+∞x^1−ǫ Z x+1

x

sin(t²)dt= 0

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