Exercices en temps libre : Semaine 8 Exercice 1 (MPSI) sur les points fixes :
Soitf : [0,1]→[0,1].
1. Facile et classique : dans cette question uniquement, on suppose quef est continue. Montrer quef admet un point fixe.
2. Plus difficile : on suppose quef est croissante (pas forcément continue).
SoitA={x∈[0,1]|f(x)6x}. Justifier queA6=∅puis que f(A)⊂A.
Justifier l’existence dea= infAet montrer quef admet un point fixe.
Exercice 2 sur les limites : théorème de Cesàro discret puis continu 1. Soitf:R+→Rune fonction continue.
On suppose quelimx→+∞f(x) =ℓ∈Ret on désire établir
x→+∞lim 1 x
Z x
0
f(t)dt=ℓ
a. Pour ε >0, justifier qu’il existeA∈R+tel que pour toutx>A
1 x
Z x
A
(f(t)−ℓ)dt
6ε
b. Conclure en écrivant 1 x
Z x
0
f(t)dt−ℓ= 1 x
Z A
0
(f(t)−ℓ)dt+1 x
Z x
A
(f(t)−ℓ)dt
2. Rappeler le théorème de Cesàro pour les suites numériques et le démontrer.
Exercice 3 sur les formes linéaires positives
SoitE=C([0,1],R)muni de la normek.k∞. Soit Lune forme linéaire surE telle que si f >0, alorsL(f)>0 (on rappelle qu’une forme linéaire est une application linéaire deE dansR.
1. Donner au moins deux exemples de telles formes linéaires non colinéaires.
2. Montrer queLest croissante, c’est à dire que sif 6g, alorsL(f)6L(g)
3. Soitela fonction constante égale à 1 sur[0,1]. Montrer que∀f ∈E,|L(f)|6|L(e)| · kfk∞. Que peut-on en déduire ?
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