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Documents autorisés : notes de cours et TD Exercice 1 Soit g : R → R . On suppose :

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ISFA 2011-2012 Optimisation

Examen d’Optimisation -deuxième session- Le vendredi 22 juin de 9 heures 30 à 11 heures

Documents autorisés : notes de cours et TD Exercice 1 Soit g : R → R . On suppose :

(i) g ∈ C

2

; (ii) g convexe ;

(iii) g

0

(x) > 0 pour tout x ∈ R .

a) Montrer que le problème (P ) g(x) = 0 a au plus une solution X.

Dans la suite, on suppose que (P ) a effectivement une solution X.

b) Mettre en œuvre la méthode de Newton, avec point initial x

0

, pour résoudre (P ).

c) Montrer que, pour tout k ≥ 1, on a x

k

≥ X.

d) En déduire que la méthode converge.

Exercice 2 Étudier la nature des points critiques de la fonction f : R

2

→ R , f(x, y) = x

6

+ y

6

− 6xy.

Exercice 3 On considère la matrice A =

1 α 0 1 1 0 0 0 1

avec α ∈ R .

En utilisant la condition nécessaire et suffisante pour la convergence des méthodes itératives, donner les valeurs de α telles que

a) La méthode itérative de Jacobi converge.

b) La méthode itérative de Gauss-Seidel converge.

Exercice 4 Résoudre, par la méthode du simplexe, le problème

min(x

1

+ x

2

) sous les contraintes x

1

≥ 0, x

2

≥ 0, x

3

≥ 0, x

3

− 2x

1

−

x

2

= −2, x

1

+ x

2

+ x

3

≥ 3.

Références

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