2 Séries numériques.

MPSI – Programme de colles – Semaine 25

1 Intégration.

Tout le programme précédent sur les chapitres26et27. Lesquestions de coursau programme sont les suivantes : Soit f : ra;bs Ñ R une fonction continue et positive sur ra;bs. Si f n’est pas la fonction nulle sur ra;bs, alors

ż

ra,bs

f ą0 (Théorème 31, Chap 26). Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski (sans cas d’égalité)(Théorèmes 44 et 46, Chap 26). Soient f : I Ñ R continue par morceaux, x₀ P I et a P I. Si f est continue en x0, alors Φ : x ÞÑ

ż_x

a

fptqdt est dérivable en x0 avec Φ¹px0q “ fpx0q (Proposition 7, Chap 27).Formule de Taylor avec reste intégral (Théorème 17, Chap 27).

2 Séries numériques.

• Notion de série numérique. Notation ÿ

un ou ÿ

něn0

un. Sommes partielles. Convergence, divergence. Somme et restes d’une série convergente. Linéarité de la somme. Divergence grossière. Lien suite-série. Séries téléscopiques.

Question de cours : Condition nécessaire de convergence d’une série (divergence grossière) (Proposition 9, Chap 28).

• Séries géométriques : CNS de convergence, somme.

• Séries à termes positifs. Convergence d’une série à termes positifs si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. Théorèmes de comparaison de séries à termes positifs (majoration, minoration, grand O, équivalent).

• Comparaison série-intégrale dans le cas monotone. Application à l’étude de sommes partielles et de restes. Séries de Riemann.

Question de cours : Critère de convergence des séries de Riemann (Théorème 18, Chap 28).

• Convergence absolue (séries à termes réels ou complexes). Comparaison par rapport à une série à termes positifs.

Question de cours : La convergence absolue implique la convergence. (Théorème 20, Chap 28)

• Représentation décimale des réels. Existence et unicité du développement décimal propre.

3 Groupe symétrique.

• Groupe des permutations dev1 ;nw, notationS_n. Cycles, notation pa₁, a₂, . . . , a_nq. Transpositions.

• Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints : existence et unicité (démonstration admise). Commutativité de la décomposition. Décomposition d’une permutation en produit de transpositions.

• Signature d’une permutation (existence de l’application signature admise). Signature d’un produit de transpo- sitions, d’un cycle. Permutations paires, impaires.

4 Déterminant.

• Formes p-linéaires, p-linéaires symétriques, antisymétriques, alternées, sur un espace vectoriel de dimension finie n. Effet d’une permutation sur une forme p-linéaire symétrique/antisymétrique. Équivalence entre être antisymétrique et être alternée.

Question de cours : Image d’une famille liée de p vecteurs par une forme p-linéaire alternée (Proposition 6, Chap 30).

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• Déterminant d’une famille de n vecteurs dans une base E de E de dimensionn, notation det_E. Par défintion, c’est l’unique forme n-linéaire alternée f sur E qui vérifie fpEq “ 1. Existence et unicité (existence admise).

Expression de det_Epx₁, . . . , x_nqen fonction des coordonnées des vecteurs x₁, . . . , x_n dans la baseE. Pour toute forme n-linéaire alternée f sur E, on a f “ fpEqdet_E. Le déterminant det_E engendre l’espace vectoriel des formes n-linéaires alternées sur E. Interprétation du déterminant comme aire orientée (resp. volume orienté) d’un parallélogramme de R² (resp. d’un parallélépipède dans R³).

• Déterminant et changement de base. Orientation d’un espace vectoriel réel de dimension finie.

Question de cours : Caractérisation des bases par le déterminant (Théorème 13, Chap 30).

• Déterminant d’un endomorphisme. Déterminant d’une composée, relationdetpλuq “λⁿdetpuq.

• Déterminant d’une matrice carrée. Déterminant d’un produit. Relation detpλAq “ λⁿdetpAq. Caractérisation des matrices inversibles. Déterminant d’une transposée.

• Effet des opérations élémentaires sur le déterminant. Mineurs, cofacteurs. Développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne.

• Déterminant d’une matrice triangulaire, triangulaire par blocs.

Question de cours : Déterminant d’une matrice de la formeA “

»

—

—

— –

‹ A¹ ...

‹ 0 ¨ ¨ ¨ 0 a_n,n

fi ffi ffi ffi fl

(Proposition 34, Chap

30).

• Déterminant de Vandermonde.

• Comatrice, notation CompAq. Inverse d’une matrice inversible.

Question de cours : Relation A¨^tCompAq “^tCompAq ¨A“detpAqIn (Théorème 42, Chap 30).

5 La semaine suivante.

Séries numériques. Groupe symétrique. Déterminant. Espaces préhilbertiens réels.

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