Exercice 1 (15 points. Séries numériques)

(1)

INSA Toulouse, STPI, IMACS 2. Vendredi 8 Octobre 2010

Examen d'Analyse I - Durée : 45 minutes.

Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés.

(Barème donné à titre indicatif.)

Exercice 1 (15 points. Séries numériques)

1. Soit (u _n ) n∈ N une suite de nombres réels positifs.

a) Démontrez le résultat suivant : s'il existe un réel α > 1 tel que la suite (n ^α u _n ) n∈ N

soit bornée alors la série P

u _n , n ∈ N converge.

C orrection... Il existe M > 0 tel que u _n ≤ M , ∀n ∈ N. Donc u _n ≤ _n ^M

α

, ∀n ∈ N.

La série P _M

n

^α

converge d'après le critère de Riemann. La série P

u _n converge - elle aussi - d'après le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs.

b) Que peut-on dire si on ôte l'hypothèse u _n ≥ 0 ?

C orrection... Dans ce cas, on a toujours n ^α |u n | ≤ M , donc la série P

u n est absol- ument convergente et P

u _n converge.

2. Soit f : R + → R + une fonction continue, intégrable sur [0, +∞[ , décroissante telle que

x→+∞ lim f (x) = 0 .

a) On pose u _n = f (n) . Que pouvez-vous dire de la nature de P

u _n , n ∈ N ? C orrection... La série P

u _n est de même nature que R +∞

0 f(t)dt , donc elle converge.

b) Donnez un majorant et un minorant du reste d'ordre N ∈ N ^∗ de cette série.

C orrection... On a (faire un dessin si besoin) :

R _N ≤ Z +∞

N

f (t)dt

et

R _N ≥ Z +∞

N +1

f (t)dt

c) On pose u _n = _n ¹

3

. Donnez un majorant du reste d'ordre N de P

u _n , n ∈ N ^∗ . C orrection... On pose f (t) = _t ¹

3

. D'après les questions précédentes, on sait que:

|R _N | ≤ Z +∞

N

f (t)dt

≤

− 1 2n ²

+∞

N

= 1

2N ²

3. Etudiez la nature des séries suivantes :

(2)

a) P _n

n+1

n(n+1)

, n ∈ N.

C orrection... On utilise le critère de Cauchy.

n

s n

n + 1 n+1

= n

n + 1 n+1

=

1 − 1 n + 1

n+1

∼ +∞

1 e < 1.

Donc P

u _n converge.

b) P

(−1) ⁿ sin _n ¹

, n ∈ N ^∗ . C orrection... La suite sin ¹ _n

est positive et décroissante car ¹ _n

n∈ N

^∗

est décroissante et appartient à l'intervalle [0, 1] et t 7→ sin(t) est croissante sur [0, 1] (la composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante). De plus,

n→+∞ lim sin 1

n

= 0 . Donc d'après le théorème des séries alternées, P

u _n converge.

Note : d'autres arguments sont valables et seront pris en compte.

c) P

exp(a exp(n)), n ∈ N, a ∈ {−1, 1} .

C orrection... Si a = 1 , u _n n'a pas une limite nulle et P

u _n diverge.

Si a = −1 , alors à partir d'un certain rang, a exp(n) < −n . Donc P

u _n converge par comparaison avec une série géométrique.

d) P (−1)

ⁿ

(−1)

ⁿ

+ √

n , n ∈ N ^∗ .

(−1) ⁿ (−1) ⁿ + √

n = (−1) ⁿ

√ n

1 1 + ⁽⁻¹⁾ ^√ _n

ⁿ

= (−1) ⁿ

√ n

1 − (−1) ⁿ

√ n + O 1

n

= (−1) ⁿ

√ n − 1 n + O

1 n ^3/2

Les séries P (−1) √

ⁿ

n et P O _n

3/2

¹

convergent (théorème des série alternées et com- paraison avec une série de Riemann). Par contre, la série harmonique diverge. Donc P u _n diverge.

Exercice 2 (5 points. Espaces Vectoriels Normés)

Soit (E, k · k _E ) et (F, k · k _F ) deux espaces vectoriels normés.

1. Soit f : E → F une application. Rappelez la dénition de l'assertion f est continue en x ₀ ∈ E .

C orrection...

∀ > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ E, kx − x ₀ k _E ≤ η ⇒ kf (x) − f(x ₀ )k _F ≤

2

(3)

2. Soient k · k ₁ , k · k ₂ et k · k ₃ trois normes sur E . Montrez que si k · k ₁ est équivalente à k · k ₂ et si k · k ₂ est équivalente à k · k ₃ , alors k · k ₁ est équivalente à k · k ₃ (on dit que la relation d'équivalence est transitive).

C orrection... k · k ₁ est équivalente à k · k ₂ donc il existe m ₁ et M ₁ tels que 0 < m ₁ ≤ M ₁ et :

∀x ∈ E, m ₁ kxk ₁ ≤ kxk ₂ ≤ M ₁ kxk ₁ . De même, il existe m ₂ et M ₂ tels que 0 < m ₂ ≤ M ₂ et:

∀x ∈ E, m ₂ kxk ₂ ≤ kxk ₃ ≤ M ₂ kxk ₂ .

Ainsi, en combinant les inégalités, on trouve :

∀x ∈ E, m ₁ m ₂ kxk ₁ ≤ kxk ₃ ≤ M ₁ M ₂ kxk ₁ . donc k · k ₁ est équivalente à k · k ₃ .

Exercice 3 (Hors barême. Séries numériques)

Note : cet exercice stimulera votre réexion. Il est bien plus compliqué que les précédents, et vous devez avancer plusieurs arguments de natures diérentes pour conclure. N'essayez de le traiter que si vous avez complètement répondu aux questions précédentes...

Exercice 1 (15 points. Séries numériques)

INSA Toulouse, STPI, IMACS 2. Vendredi 8 Octobre 2010

Examen d'Analyse I - Durée : 45 minutes.

Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés.

(Barème donné à titre indicatif.)

Exercice 1 (15 points. Séries numériques)

1. Soit (u n ) n∈ N une suite de nombres réels positifs.

a) Démontrez le résultat suivant : s'il existe un réel α > 1 tel que la suite (n α u n ) n∈ N

soit bornée alors la série P

u n , n ∈ N converge.

C orrection... Il existe M > 0 tel que u n ≤ M , ∀n ∈ N. Donc u n ≤ n M

, ∀n ∈ N.

La série P M

n

converge d'après le critère de Riemann. La série P

u n converge - elle aussi - d'après le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs.

b) Que peut-on dire si on ôte l'hypothèse u n ≥ 0 ?

C orrection... Dans ce cas, on a toujours n α |u n | ≤ M , donc la série P

u n est absol- ument convergente et P

u n converge.

2. Soit f : R + → R + une fonction continue, intégrable sur [0, +∞[ , décroissante telle que

x→+∞ lim f (x) = 0 .

a) On pose u n = f (n) . Que pouvez-vous dire de la nature de P

u n , n ∈ N ? C orrection... La série P

u n est de même nature que R +∞

0 f(t)dt , donc elle converge.

b) Donnez un majorant et un minorant du reste d'ordre N ∈ N ∗ de cette série.

C orrection... On a (faire un dessin si besoin) :

R N ≤ Z +∞

N

f (t)dt

et

R N ≥ Z +∞

N +1

f (t)dt

c) On pose u n = n 1

. Donnez un majorant du reste d'ordre N de P

u n , n ∈ N ∗ . C orrection... On pose f (t) = t 1

. D'après les questions précédentes, on sait que:

|R N | ≤ Z +∞

N

f (t)dt

≤

− 1 2n 2

+∞

N

= 1

2N 2

3. Etudiez la nature des séries suivantes :

a) P n

n+1

n(n+1)

, n ∈ N.

C orrection... On utilise le critère de Cauchy.

s n

n + 1 n+1

= n

n + 1 n+1

=

1 − 1 n + 1

n+1

∼ +∞

1 e < 1.

Donc P

u n converge.

b) P

(−1) n sin n 1

, n ∈ N ∗ . C orrection... La suite sin 1 n

est positive et décroissante car 1 n

n∈ N

est décroissante et appartient à l'intervalle [0, 1] et t 7→ sin(t) est croissante sur [0, 1] (la composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante). De plus,

n→+∞ lim sin 1

n

= 0 . Donc d'après le théorème des séries alternées, P

u n converge.

Note : d'autres arguments sont valables et seront pris en compte.

c) P

exp(a exp(n)), n ∈ N, a ∈ {−1, 1} .

C orrection... Si a = 1 , u n n'a pas une limite nulle et P

u n diverge.

1. Soit (u _n ) n∈ N une suite de nombres réels positifs.

a) Démontrez le résultat suivant : s'il existe un réel α > 1 tel que la suite (n ^α u _n ) n∈ N

u _n , n ∈ N converge.

C orrection... Il existe M > 0 tel que u _n ≤ M , ∀n ∈ N. Donc u _n ≤ _n ^M

La série P _M

u _n converge - elle aussi - d'après le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs.

b) Que peut-on dire si on ôte l'hypothèse u _n ≥ 0 ?

C orrection... Dans ce cas, on a toujours n ^α |u n | ≤ M , donc la série P

u _n converge.

a) On pose u _n = f (n) . Que pouvez-vous dire de la nature de P

u _n , n ∈ N ? C orrection... La série P

u _n est de même nature que R +∞

b) Donnez un majorant et un minorant du reste d'ordre N ∈ N ^∗ de cette série.

R _N ≤ Z +∞

R _N ≥ Z +∞

c) On pose u _n = _n ¹

u _n , n ∈ N ^∗ . C orrection... On pose f (t) = _t ¹

|R _N | ≤ Z +∞

− 1 2n ²

2N ²

a) P _n

u _n converge.

(−1) ⁿ sin _n ¹

, n ∈ N ^∗ . C orrection... La suite sin ¹ _n

est positive et décroissante car ¹ _n

u _n converge.

C orrection... Si a = 1 , u _n n'a pas une limite nulle et P

u _n diverge.

u _n converge par comparaison avec une série géométrique.

n , n ∈ N ^∗ .

(−1) ⁿ (−1) ⁿ + √

n = (−1) ⁿ

1 1 + ⁽⁻¹⁾ ^√ _n

= (−1) ⁿ

1 − (−1) ⁿ

= (−1) ⁿ

1 n ^3/2

n et P O _n

¹

convergent (théorème des série alternées et com- paraison avec une série de Riemann). Par contre, la série harmonique diverge. Donc P u _n diverge.

Soit (E, k · k _E ) et (F, k · k _F ) deux espaces vectoriels normés.

1. Soit f : E → F une application. Rappelez la dénition de l'assertion f est continue en x ₀ ∈ E .

∀ > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ E, kx − x ₀ k _E ≤ η ⇒ kf (x) − f(x ₀ )k _F ≤

2. Soient k · k ₁ , k · k ₂ et k · k ₃ trois normes sur E . Montrez que si k · k ₁ est équivalente à k · k ₂ et si k · k ₂ est équivalente à k · k ₃ , alors k · k ₁ est équivalente à k · k ₃ (on dit que la relation d'équivalence est transitive).

C orrection... k · k ₁ est équivalente à k · k ₂ donc il existe m ₁ et M ₁ tels que 0 < m ₁ ≤ M ₁ et :

∀x ∈ E, m ₁ kxk ₁ ≤ kxk ₂ ≤ M ₁ kxk ₁ . De même, il existe m ₂ et M ₂ tels que 0 < m ₂ ≤ M ₂ et:

∀x ∈ E, m ₂ kxk ₂ ≤ kxk ₃ ≤ M ₂ kxk ₂ .

∀x ∈ E, m ₁ m ₂ kxk ₁ ≤ kxk ₃ ≤ M ₁ M ₂ kxk ₁ . donc k · k ₁ est équivalente à k · k ₃ .

u _n , n ∈ N une série à termes strictement positifs telle que :

u _n+1