Familles sommables 1 Soit décroissante de limite 0 et = . En écrivant u

Familles sommables

1 Soit (u_n) décroissante de limite 0 et v_n=n(u_n1u_n).

En écrivant u_n comme somme d'une série, et à l’aide d’une série double, montrer que



^{un et}



^vnsont de même nature et ont même somme dans le cas où elles convergent.

Illustrer à l'aide d'un histogramme.

2 Soit s(n) le nombre de chiffres de n en base 2. CV et calcul de



^

1 ( 1) ) (

n n n

n

s . (Transformation d'Abel ou sommation par paquets).

3 Montrer que ( ( ) 1) 1

2





^ 

 n

 n .

4 Montrer que :  x  ℝ\ℤ^ ,



^

0 ( 1)...(  ) 1

n x x x n = e



^

 



0( ) !

) 1 (

n

n

n n

x à l’aide d’un produit de Cauchy.

5 Soit



^an une série de réels positifs de somme S. Calculer

 

^





 n k 

n

k n n

k a

) 1

0 (

.

6 Montrer que si t est un complexe tel que t 1, alors



^

  











 

1  1

1

1 1

n 1 p

p p p n

n

t t t

t .

7 Montrer que :  n  ℕ*, n1  e(n!)¹ⁿ. Soit



^un une série CV de réels positifs, et





 ⁿ

k k

n ku

w

1

. Montrer que



_n(n^w_ⁿ₁₎ ^CV.

Soit v_n = (u₁.u₂...u_n)¹ⁿ. Montrer que



^{vn CV et}



^

1 n

vn 



^

1 n

un

e (inégalité de Carleman).

Montrer que la constante e est optimale.