Dénombrement, familles sommables

Dénombrement, familles sommables

1. Montrer que l’ensemble des parties finies deNest dénombrable.

2. Montrer que l’application deN²dansN définie par(m, n)→m+(m+n)(m+n+ 1)

2 est bijective.

Quel est l’antécédent de 2016 ?

3. Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients dansZ est dénombrable

4. (*) Montrer qu’un ensembleE est dénombrable si et seulement si il existe une suite(Jn)n∈Nde parties finies de E telle que

∀n∈N, J n Jn+1 et [

n∈N

Jn =E

5. Montrer que la famille 1

2^p+ 3^q

(p,q)∈N²

est sommable.

Montrer que la famille 1

a^p+b^q

(p,q)∈N²

est sommable si et seulement sia >1 etb >1.

6. Les familles suivantes sont-elles sommables ? a)

1 p^αq^β−1

p>2;q>2

b) z^pq

p!q!

(p,q)∈N²

c) n

n²+ 1

n∈Z

Dans l’affirmative, calculer sa somme.

d) e^inx

2^|n|

n∈Z

Dans l’affirmative, calculer sa somme.

7. Déterminer les complexesaet btels que la famille(a^p+b^q)_(p,q)∈N2 est sommable.

8. On considère la famille(u_p,q)_p>2;q>2 définie paru_p,q = 1 p^q. a) Montrer que cette famille est sommable.

b) En déduire l’égalité :

+∞

X

q=2

(ζ(q)−1) = 1oùζ(q) =

+∞

X

n=1

1 n^q 9. Exemples de suites(u_n)et(v_n)telles queX

u_nconverge,X

v_nconverge, mais telle que leur produitd e Cauchy diverge :

Prenonsun=vn =(−1)ⁿ

√n pourn∈N^∗. a) Justifier rapidement queX

un converge

b) Notonsw_n le terme général de la série produit de cauchy deX

u_n etX

v_n. Montrer queX

w_n diverge.