Chapitre 20 Familles sommables

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Chap 20 : Familles sommables

Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1

Chap 20 : Familles sommables

I. Famille à termes positifs

( )

) (

( ) { } ( ,

) su

)

( p

parties finies de est sommable lorsque les sommes s e

ont majorées.

Dans ce cas, la somme de st

F

i I

i J i I

i I J i J

I

F i i F

i i i

I

I I a a J

a

a a

 I



   

   





 

P

P P

0

( _n)_n est sommable la série _n converge, et dans ce cas _n _n

n n

a ssi a a a



 

 

 





{ / 1/ }

( ) { / 0}

Si a_i  ^I_ est sommable, iI a_i  est dénombrable (I_p  i I a_i  p finis I_p d ne )

( )

On suppose désormais dénombrable.

Soit _{n n} suite croissante de parties finies de telles que (suite exhaustive)

n n

I

J _ I J I





( ) sommable est majorée, et dans ce cas lim

n n

i I n

i I

J i I i

i i i

n J

a _ _ a ai a

  

 

   







 

( ),( ) , (( ) ( ) ) (( ) ( ) )

, ,( ) ( ) ( ) ( )

Si , somm. somm. non somm. non somm.

et sommables l'est et

i i i i i i i i

i i i i i

I

i I i I i I

i i i

a b i I b b a a b

a b a b a b a

a

        b

  



     

  



 







0

( ) ,( ) . ( ) ( )

( )

partition de sommable Chacune des familles est sommable de somme et est sommable. Dans ce cas,

p

I

i p i i

p p i p

i I p i I

p

i I p

a I I a a

A A a A



  





 

 







Méthode pour vérifier une sommabilité : (Partition, Estimation, Conclusion) des sommes partielles

II. Familles à termes complexes

( )ai i I_  ^I. ( )ai i I_ est sommable lorsque (|ai|)i I_ est sommable

Sous-familles, Domination, Calcul de la somme à l'aide d'une suite exhaustive, Combinaison linéaire

( _{i i I}) est sommable, Re( _i) , Re( ) , Im( ) , Im( )_i _i _i le sont, et _i _i _i ( _i )

I

i i

a _ a ^ a ^ a ^ a ^ a x^ x^ y^ y^



   

  

^I

 

0

( ) ( ) . ( ) ( )

(| |)

, partition de est sommable Chacune des sous familles est sommable et, si est somme de , converge. Dans ce cas,

p

i I p i I

i I

i I I

i p i i

p i i

p p

i I

A A i

a I I a a

a a a

  





  

 

 

  

   

III. Applications

0 0

( ),( ) ( )

(

( ) ( ) )

sommables. Alors : (produit) est sommable de somme

(convolution/prod de Cauchy) est sommable de somme

n

n p n p n p

n n n

p n

n k

k n

n n n k n

a b a b a b

c a b a b a

 

 



  

 

    

  

    

  

 

0 p p

b





 

 

 







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0 0

( ) | | | |

(Fubini) , si converge, alors aussi

et les séries de termes général et convergent de même somme

mn mn mn

n m m n

mn mn

m n

z z z

n z m z

   

 

 

   

     

   

   

   

   

   

 

| _mn| | _mn| sous réserve de la CV de l'une des séries partielles pour | _np|

n m m n

z z z

   

   

   

   