Notions sur les familles sommables

Notions sur les familles sommables

Table des matières

1 Ensembles dénombrables. 2

2 Famille sommable. 2

3 Opérations sur les familles sommables. 2

4 Comment montrer qu’une famille est sommable ? 3

5 Exercices. 4

1

1 Ensembles dénombrables.

Définition

Un ensembleI est infini dénombrable lorsqu’il peut être mis en bijection avecN, c’est-à-dire lorsqu’il existe une bijectionϕdeNdansI. Ainsi

I={ϕ(n);n∈N}

Ipeut être indexé parN

Définition

Un ensemble est dit dénombrable lorsqu’il est fini ou infini dénombrable.

Exemple

•N×Nest dénombrable.

Esquissons deux méthodes pour le montrer.

La première consiste à énumérer ainsi les éléments deN×N: (0, 0),(0, 1),(1, 0),(2, 0),(1, 1),(2, 0),(0, 3),(1, 2),(2, 1)(3, 0). . .

La deuxième utilise la propriété suivante : Tout entier strictement positif s’écrit de façon unique comme produit d’une puissance de 2 et d’un entier impair.

L’application(n,p)7→2ⁿ(2p+1)−1 est donc une bijection deN×NsurN.

Théorème

Un produit fini d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.

Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.

Toute partie d’un ensemble dénombrable est un ensemble dénombrable.

2 Famille sommable.

Théorème et définition

SoitI un ensemble dénombrable infini, indexé parNsous la formeI={ϕ(n);n∈N}oùϕest une bijection deNdansI. Si la sérieP

u_ϕ(n)converge absolument, alors sa somme est indépendante de l’indexationϕ, et pourra également être notéeP

i∈I

u_i. On dira alors que la "série" est absolument convergente (ou converge absolument), ou que la famille(u_i)i∈I est sommable de sommeP

i∈I

u_i.

3 Opérations sur les familles sommables.

Toutes les opérations (somme, produit, regroupement par paquets, etc.) sont licites.

Pus précisément :

Théorème : Combinaison linéaire

SoientI un ensemble dénombrable,(λ,β)∈R². On suppose que les familles(u_i)i∈I et(v_i)i∈I sont sommables , alors la famille(λu_i+βv_i)i∈I est sommable et :P

i∈I(λu_i+βv_i) =λ

‚ P

i∈I

u_i

Œ +β

‚ P

i∈I

v_i

Π.

2

Théorème : Produit

SoientI etJ des ensembles dénombrables. On suppose que les familles(u_i)i∈Iet(v_j)j∈J sont sommables, alors la famille(u_iv_j)₍i,j)∈I×J est sommable et : P

(i,j)∈I×J

u_iv_j=

‚ P

i∈I

u_i

Œ

×

‚ P

j∈J

v_j

Œ . Théorème de regroupement par paquets

On suppose que la famille(u_i)i∈I est sommable SiI = F

j∈J

I_j (union disjointe) avecJ un ensemble dénombrable et I_jdes ensembles dénombrables pour tout j, alors :

X

i∈I

u_i=X

j∈J

X

k∈I_j

u_k.

Exemples usuels de partitions deN×N

• Découpage "vertical" deN×N:N×N= F

i∈N

V_i oùV_i={(i,j)∈N×N/ j∈N}

• Découpage "horizontal" deN×N:N×N= F

j∈N

H_joùH_j={(i,j)∈N×N/i∈N}

• Découpage "oblique" deN×N:N×N= F

n∈N

D_noùD_n={(i,j)∈N×N/i+j=n}

En appliquant le théorème de sommation par paquets dans le cas oùI=N×N, on obtient la propriété suivante :

Si la série double X

(i,j)∈N×N

u_i,jest absolument convergente

X

(i,j)∈N×N

u_i,j= X+∞

i=0



 X+∞

j=0

u_i,j



= X+∞

j=0

X+∞

i=0

u_i,j

!

= X+∞

n=0



 X

i+j=n

u_i,j



.

4 Comment montrer qu’une famille est sommable ?

Remarque

SoitI un ensemble dénombrable.

La famille(u_i)i∈I est sommable si et seulement si la famille(|u_i|)i∈I est sommable.

Théorème de comparaison

SoitI un ensemble dénombrable. On suppose que la famille(v_i)i∈I est sommable et que∀i∈I , 0¶u_i¶v_i, alors la famille(u_i)i∈I est sommable et de plus : 0¶

X

i∈I

u_i¶ X

i∈I

v_i. Théorème : Utilisation d’une sommation par paquets

On suppose queI=F

j∈J

I_j(union disjointe) avecJ un ensemble dénombrable etI_jdes ensembles dénombrables pour tout j.

On considère la famille(u_i)i∈I de réelspositifs. On suppose que la quantitéP

j∈J

P

k∈Ij

u_kexiste dansR, alors la famille(u_i)i∈I est sommable et sa somme est donnée par :

X

i∈I

u_i=X

j∈J

X

k∈I_j

u_k.

Contre-exemple : Importance d’avoir des termes positifs Définissons, pour tout(i,j)∈N×N:

x_i,j=







1 si j=i

−1 si j=i−1 0 sinon

3

On peut représenter ces nombres par un tableau infini à double entrée :

i\j 0 1 2 3 . . .

0 1 0 0 0 . . .

1 -1 1 0 0 . . .

2 0 -1 1 0 . . .

. . . .

Alors X+∞

i=0

x_i,j=0 pour tout j∈N, donc X+∞

j=0

X+∞

i=0

x_i,j=0.

Mais X+∞

j=0

x_i,j=

1 si i=0 0 si i>0 donc

X+∞

i=0

X+∞

j=0

x_i,j=1

5 Exercices.

Exercice 1 On considère la série double X

(i,j)∈N×N

u_{i j} avec

∀(i,j)∈N×N , u_{i j}= i^j i!j!

Montrer que cette série double converge et calculer sa somme.

Exercice 2 On pose pour tout n∈N, a_n= X+∞

k=n

1

k!. Montrer que la sérieP

a_nconverge et calculer X+∞

n=0

a_n.

Exercice 3 Déterminer la nature de X

(i,j)∈N^?×N^?

1

(i+j)^α selonα∈R.

Exercice 4 En utilisant la propriété :∀x∈R, e^x = X+∞

i=0

xⁱ

i! et le théorème sur le produit de séries absolument conver- gentes, retrouver la propriété :

∀(x,y)∈R² , e^x+y=e^x.e^y. Exercice 5 On considère la série double X

(i,j)∈N×N

u_{i j} avec ∀(i,j)∈N×N , u_{i j}= 1 (i+j)!. Montrer que la série double X

(i,j)∈N×N

u_{i j} est convergente et calculer sa somme.

On utilisera un regroupement par paquets

Exercice 6 Espérance d’une variable aléatoire à valeurs dansN

Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé et soit X: Ω→Rune variable aléatoire réelle vérifiant X(Ω)⊂N. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance si et seulement si la série de terme général P(X>n) converge et que dans ce cas :

+∞P

n=0

P(X>n) =E(X).

Exercice 7 Moment d’ordre 2 d’une variable aléatoire à valeurs dansN

Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé et soit X: Ω→Rune variable aléatoire réelle vérifiant X(Ω)⊂N. Montrer que la variable aléatoire X admet un moment d’ordre 2 si et seulement si la série de terme général(2n+1)P(X>n)converge et que dans ce cas :

+∞P

n=0(2n+1)P(X>n) =E(X²).

4