MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 8
Semaine du lundi 16 au vendredi 20 novembre 2020
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 08 : familles sommables
I. Dénombrabilité.
1. Ensembles dénombrables
Définition : ensemble dénombrable (en bijection avecN).
Exemples : les ensemblesN\ {p}, Z, pN,pZ, sont dénombrables.
Proposition : toute partie infinie deNest dénombrable.
Corollaire : un ensemble est fini ou dénombrable ssi il est en bijection avec une partie deN. 2. Produit cartésien d’ensembles dénombrables
Proposition : l’ensembleN2 est dénombrable (« vraie » démonstration à l’aide de la fonction de couplage de Cantor).
Corollaire : tout produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
3. Réunion d’ensembles dénombrables
Proposition : une réunion finie ou dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Exemple :Q.
4. Cas de l’ensembleR
Théorème : l’ensemble Rn’est pas dénombrable (DEMO NON EXIGIBLE). Procédé d’extraction diagonal de Cantor.
II. Familles sommables de nombres réels ou complexes.
1. Familles sommables de nombres réels positifs
Définition : famille(ui)i∈I sommable de nombres réels positifs, somme de la famille.
Proposition : le support d’une famille sommable de nombres réels positifs est fini ou dénombrable.
Théorème : « Fubini version faible » ou « sommation par paquets », pour les familles de nombres réels positifs (DEMO ADMISE).
2. Familles sommables de nombres réels ou complexes
Définition : famille(ui)i∈I sommable de nombres réels ou complexes, somme de la famille.
Proposition : « inégalité de la moyenne » ou « inégalité triangulaire généralisée ».
Remarque fondamentale : une famille(un)n∈N(indexée parN) est sommable ssi la sériePun est absolument convergente.
3. Permutation des termes d’une série absolument convergente
Théorème : toute série absolument convergente est commutativement convergente.
Contre-exemple si la série n’est pas absolument convergente.
4. Sommation par paquets
Théorème : « Fubini version faible » ou « sommation par paquets », pour les familles de nombres réels ou complexes.
Contre-exemple si les hypothèses ne sont pas vérifiées.
III. Séries doubles.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 29 août 2020
MP 2020-21
1. Interversion des sommations
Théorème : somme surN×Nde nombres réels positifs.
Théorème : somme surN×Nde nombres réels ou complexes.
Corollaire : somme double à variables séparables.
2. Sommation triangulaire
Théorème : sommation triangulaire de nombres réels positifs.
Corollaire : sommation triangulaire de nombres réels ou complexes.
3. Retour sur le produit de Cauchy de séries absolument convergentes Définition : produit de Cauchy de séries de nombres réels ou complexes.
Théorème : le produit de Cauchy de deux séries de nombres réels ou complexes absolument convergentes est une série absolument convergente.
Corollaire : dans une algèbre unitaire normée de dimension finie, exponentielle de la somme de deux éléments qui commutent.
Semaine suivante : suites et séries de fonctions.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 29 août 2020
