Ensembles dénombrables et familles sommables Feuille 29

Ensembles dénombrables et familles sommables Feuille 29

Exercice29.1

On suppose queI etJ sont deux ensembles.

— S’il existe une application injective de I dansJ et siJ est fini ou dénombrable, montrer queI est fini ou dénombrable.

— S’il existe une application surjective de I dansJ et siI est fini ou dénombrable, montrer queJ est fini ou dénombrable.

Exercice29.2

Inégalité de Jensen

Soitϕune fonction convexe continue deRdansR.SoitI un ensemble dénombrable et(λ_i)i∈Iune famille de réels strictement positifs tels queX

i∈I

λi = 1.Soit(xi)i∈Iune famille de réels telle que(λixi)et(λiϕ(xi))sont sommables.

Montrer queϕ X

i∈I

λ_ix_i

!

≤X

i∈I

λ_iϕ(x_i).

Exercice29.3

Soit(a, b)∈C²aveca6=b. Calculer la somme de la famille double

Å a^pb^q (p+q)!

ã

(p,q)∈N²

.

Exercice29.4

Pour tout couple(m, n)∈N^∗2, on pose um,n = 1

n+ 1 Å n

n+ 1 ãm

− 1 n+ 2

Ån+ 1 n+ 2

ãm

1. Montrer que pour toutm∈N^∗, la sérieX

n≥1

u_m,n converge et calculer sa somme notéev_m, puis montrer que la série X

m≥1

v_mconverge et calculer sa somme.

2. Montrer que pour toutn∈N^∗, la série X

m≥1

um,nconverge et calculer sa somme notéewn, puis montrer que la sérieX

n≥1

wnconverge et calculer sa somme.

3. Commenter les résultats précédents.

Exercice29.5

Soitx∈Cavec|x|<1. Montrer que

+∞

X

n=1

x²ⁿ⁻¹ 1−x²ⁿ⁻¹ =

+∞

X

n=1

xⁿ 1−x²ⁿ. On pourra utiliser la suite double x²ⁿ⁻¹(x²ⁿ⁻¹)^k

(n,k)∈N^∗×N.

Exercice29.6

1. A quelle condition surαpeut-on poserR_n=

+∞

X

k=n

1 k^α.

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FEUILLE XXIX - ENSEMBLES DÉNOMBRABLES ET FAMILLES SOMMABLES

2. Déterminer la nature de la sérieX R_n.

3. En cas de convergence, montrer que

+∞

X

n=1

R_n=

+∞

X

q=1

1 q^α−1.

Exercice29.7

Soitf :R−→Rune application continue.

Montrer que la famille(f(q))q∈Qest sommable si et seulement sif est nulle.

Exercice29.8

Pourα∈R, la famille Å 1

p^α+q^α ã

(p,q)∈N^∗2

est-elle sommable ?

Exercice29.9

Les ensembles suivants sont-ils dénombrables ? 1. a. L’ensembleP_f(N)des parties finies deN.

b. L’ensembleP_ω(N)des parties dénombrables deN. c. L’ensembleP(N)des parties deN.

2. a. L’ensembleN^Ndes suites entières.

b. L’ensembleA⊂N^Ndes suites ne prenant qu’un nombre fini de valeurs.

c. L’ensembleB ⊂N^Ndes suites stationnaires à partir d’un certain rang.

3. a. L’ensembleσ(N)des bijections deNdans lui-même.

b. L’ensembleσ0(N)des bijections deNdans lui-même coïncidant avec l’identité en dehors d’un ensemble fini.

Exercice29.10

Soit(a_n)n∈N^∗une suite de complexes telle queX

n≥1

a²_nest absolument convergente.

1. Montrer que, pour toutn∈N^∗, Z π

−π

x

n

X

k=1

(−1)^k|a_k|e^ikx

!2

dx= 2π i

X

1≤k≤n 1≤p≤n

|a_k||a_p| k+p .

2. Montrer que la famille Åa_pa_q

p+q ã

p,q∈N^∗

est sommable.

Exercice29.11

En admettant que

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 et que

+∞

X

n=1

1 n⁴ = π⁴

90, calculez(p, q)∈N^∗2 X

(p,q)∈(N^∗)² p∧q=1

1 p²q².

Exercice29.12

Produit eulérien:

On notePl’ensemble des nombres premiers et on désigne parpnlen-ème nombre premier.

Pour toutn ∈N^∗, on noteA_nl’ensemble des entiers non nuls dont la décomposition en facteurs premiers ne fait intervenir que les nombres premiersp_kaveck≤n. Ainsi, pour toutm∈N^∗, m∈A_n⇔[∀p∈P, p|m⇒p∈ {p₁, . . . , pn}].

On fixes∈Ctel queRe(s)>1.

1. Pour toutn∈N^∗, montrer que

n

Y

k=1

1

1−p^−s_k = X

q∈A_n

q^−s

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FEUILLE XXIX - ENSEMBLES DÉNOMBRABLES ET FAMILLES SOMMABLES

2. En déduire queY

p∈P

1 1−p^−s =

+∞

X

q=1

q^−s

Exercice29.13

On notePl’ensemble des nombres premiers et on désigne parp_nle nième nombre premier.

Pour toutn ∈N^∗, on noteAnl’ensemble des entiers non nuls dont la décomposition en facteurs premiers ne fait intervenir que les nombres premiersp_kaveck≤n. Ainsi, pour toutm∈N^∗, m∈An⇔[∀p∈P, p|m⇒p∈ {p₁, . . . , p_n}].

1. Pour toutn∈N^∗, montrer que

n

Y

k=1

1 1−_p¹

k

= X

q∈A_n

1 q.

2. En déduire que

n

Y

k=1

1 1−_p¹

k

−−−−−→

n→+∞ +∞

3. Montrer queX

k

1 pk

diverge.

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