Familles sommables de nombres complexes

(1)

Familles sommables de nombres complexes

1 Ensembles dénombrables

1.1 Dénition

Un ensemble est dit dénombrable s'il est en bijection avecN.

1.1.1 Exemples

N^∗, l'ensemble des entiers pairs.

1.1.2 Théorème Zest dénombrable.

Démonstration

Une bijectionf deNsurZ:

f(2n) =n, f(2n−1) =−n

1.2 Les parties innies de N

1.2.1 Théorème

Toute partie non vide deNpossède un plus petit élément.

1.2.2 Théorème

Les parties innies deNsont dénombrables.

Démonstration

SoitA une partie innie deN; soita₀= minA ; on pose f(0) =a₀ Ensuite ?

A1=A\ {a0},a1= minA1,A2=A1\ {a1}...

1.2.3 Corollaire

Un ensemble est ni ou dénombrable si et seulement si

il est en bijection avec une partie deN.

1.3 Produit ni

Théorème

N² est dénombrable.

Démonstration

On exhibe une bijectionf deN²surN^∗: f(p, q) = 2^p(2q+ 1). Corollaire

Un produit cartésien ni d'ensembles dénombrables est dénombrable.

1.4 Avec injection ou surjection

1.4.1 Avec une surjection

On suppose qu'il existe une application surjectivef deNsurE. AlorsE est ni ou dénombrable.

(4)

Démonstration

Il sut de trouver une partie deNen bijection avecE.

Par exemple, pour chaque élémentxdeE, le plus petit des antécédents dex. 1.4.2 Avec une injection

On suppose qu'il existe une application injectivef deE dansN.

AlorsE est ni ou dénombrable.

Démonstration

f induit une bijection deE sur ? Sur f(E).

1.5 Les rationnels

Théorème

Qest dénombrable.

Démonstration

On exhibe une surjectionf deZ×N^∗surQ:

f(p, q) =p q

1.6 Union

Théorème

Une réunion nie ou dénombrable d'ensembles nis ou dénombrables est nie ou dénombrable.

Démonstration Soit(E_n)_n∈

Nune famille d'ensembles nis ou dénombrables, et Eleur réunion.

On peut noter

E_n={u_n,p/p∈N} Il existe alors une surjection évidente deN²surE :

(n, p)→un,p

1.7 Un ensemble non dénombrable : N

^N

Exercice

SoitE=N^Nl'ensemble des suites d'entiers.

Examinons une suite d'éléments deE :

U₀(0), U₀(1), U₀(2), U₀(3), U₀(4), ...

U₁(0), U₁(1), U₁(2), U₁(3), U₁(4), ...

U₂(0), U₂(1), U₂(2), U₂(3), U₂(4), ...

On introduit la suiteU(k) =Uk(k) + 1(procédé diagonal).

Cette suite U dière de tous les Un.

1.8 Les réels

Théorème

Rn'est pas dénombrable.

(5)

Démonstration

On utilise à nouveau le procédé diagonal,

appliqué à l'écriture décimale des réels de[0,1[. Autre démonstration

Soit(un)une suite de réels et

X ={un/ n∈N} On choisit deux réelsa0et b0 tels que0< b0−a0≤1et

u0∈/ [a0, b0] =I0

Ensuite, on construit par récurrrence deux suites de réels(a_n)et (b_n)telles que

∀n≥0,0< bn−an≤ 1 n+ 1 et

∀n≥1, un∈/[an, bn] =In ⊂I_n−1 On vérie que(an)et (bn)sont adjacentes,

et que leur limite commune n'est aucun desun. Donc X 6=R

1.9 Les parties de N

Exercice

Montrer que l'ensembleP_f(N)des parties nies deNest dénombrable.

Que dire de P(N)? Réponse

SoitX un ensemble quelconque etϕune application de X dansP(X). Soit

Y ={x∈X/ x /∈ϕ(x)}

Montrer queY n'a pas d'antécédent parϕ. En déduire que P(N)n'est pas dénombrable.

1.10 Les algébriques

Exercice

Aest dénombrable, ce qui prouve qu'il existe beaucoup de réels transcendants...

2 Familles sommables de réels positifs

2.1 Dénition

SoitI un ensemble dénombrable, et(ui)_i∈I une famille de réels positifs.

On dit que la famille(ui)_i∈I est sommable si l'ensemble des sommes nies

X

i∈F

ui

oùF décrit l'ensemble des parties nies deI, est majoré.

Dans ce cas, la somme de la famille(ui)_i∈I est la borne supérieure de l'ensemble précédent.

Si la famille(ui)_i∈I n'est pas sommable, sa somme est+∞. Dans tous les cas, la somme est notée

X

i∈I

ui

(6)

Remarque

Soit(ui)_i∈I une famille sommable ; soitJ ⊂I ; alors(ui)_i∈J est sommable.

Remarque

Soit(ui)_i∈I une famille sommable,(vi)_i∈I une famille de réels positifs tels que :

∀i∈I,0≤vi ≤ui

Alors(vi)est sommable.

2.2 Cas où I = N

Théorème (un)_n∈

N est sommable si et seulement si la sérieP

un est convergente.

Dans ce cas, la somme est la même.

2.3 Théorème de sommation par paquets

Démonstration hors programme

Soit(In)_n∈Nune partition de I et(ui)_i∈I une famille de réels positifs.

La famille(ui)_i∈I est sommable si et seulement si : 1) Pour tout entiernla famille(ui)_i∈I

n est sommable ; notonssn =P

i∈Inui. 2) La sérieP

sn converge.

Dans ce cas :

X

i∈I

ui=

∞

X

n=0

sn

2.4 Exemple 1

I=N² ;α >0;u_0,0= 0,

up,q= 1 (p+q)^α sinon.

(up,q)est-elle sommable ? Réponse

Soit

I_n =

(p, q)∈N²/ p+q=n Pour toutn≥1 :

sn= X

(p,q)∈In

up,q= n+ 1 n^α Conclusion :

(up,q)est sommable si et seulement siα >2.

2.5 Exemple 2

I=N² ;u_0,0= 0,

up,q = 1 p²+q² sinon.

(u_p,q)est-elle sommable ?

(7)

Réponse 1

Elle n'est pas sommable ; remarquons que up,q= 1

p²+q² ≥ 1 (p+q)² On est ramené à l'exemple 1.

Réponse 2 Ici

I_n ={(p, q)∈I/ p=n}={(n, q)/q∈N} Pour toutn≥1 :

sn = X

(p,q)∈In

up,q =

∞

X

q=0

1 n²+q² ≥

ˆ ∞ 0

dt

n²+t² = π 2n

2.6 Exemple 3

I=N^∗2 .

up,q = 1 p³+q³ (up,q)est-elle sommable ?

2.6.1 Lemme

∀x, y≥0,(x+y)³≤4 x³+y³. Démonstration

Directement, en développant(x+y)³, ou en utilisant la convexité det→t³surR+. 2.6.2 Réponse 1

On va montrer qu'elle est sommable.

∀p≥1,∀q≥1, up,q = 1

p³+q³ ≤ 4 (p+q)³ On est ramené à l'exemple 1.

Réponse 2

On remplace dans un premier tempsI par

J ={(p, q)/1≤q≤p}

et on remarque que

∀(p, q)∈J, 0≤up,q≤ 1 p³ SoitJp={(p, q)/1≤q≤p} ; il est clair que

sp= X

(p,q)∈Jp

up,q ≤ p p³ = 1

p²

Donc(up,q)_(p,q)∈J est sommable.

3 Familles sommables de nombres complexes

3.1 Dénition

SoitI un ensemble dénombrable ; soit(ui)_i∈I une famille de nombres complexes.

On dit que la famille(ui)_i∈I est sommable si la famille (|ui|)_i∈I est sommable.

(8)

3.2 Dénition de la somme

Cas réel

Pour une famille(u_i)_i∈I de réels sommable on pose : X

i∈I

ui=X

i∈I

u⁺_i −X

i∈I

u⁻_i

On rappelle que

∀i∈I,0≤u⁺_i ≤ |ui|,0≤u⁻_i ≤ |ui| ce qui assure que u⁺_i

i∈I et u⁻_i

i∈I sont sommables.

Cas complexe

Pour une famille(zj)_j∈I de complexes sommable on pose : X

j∈I

z_j =X

j∈I

x_j+iX

j∈I

y_j

oùxj est la partie réelle dezj etyj la partie imaginaire.

3.3 Cas où I = N

Théorème (un)_n∈

N est sommable si et seulement si la sérieP

un est absolument convergente.

Dans ce cas, la somme est la même.

3.4 Permutation

Théorème

Soitσune permutation deI ; soitvi=u_σ(i).

Les deux familles (ui)_i∈I et(vi)_i∈I sont de même nature.

Si elles sont sommables, elles ont même somme.

Démonstration Toute somme nie

X

i∈F

|ui| est aussi une somme nie de la forme

X

i∈F⁰

|vi|

Elles sont donc de même nature.

Corollaire

Si la sériePu_n est absolument convergente, alors, pour toute permutationσ:

∞

X

n=0

un=

∞

X

n=0

uσ(n)

Cela s'applique en particulier aux séries convergentes à termes positifs.

3.5 Linéarité de la somme

Théorème

L'ensembleE des familles(ui)_i∈I sommables est unC−espace vectoriel (sous-espace deC^I), et :

(u_i)_i∈I →X

i∈I

u_i

est une application linéaire deE dansC.

(9)

3.6 Théorème de sommation par paquets

Démonstration hors programme Soit(I_n)_n∈

Nune partition de I et(u_i)_i∈I une famille de nombres complexes sommable ; alors : 1) Pour tout entiern, la famille(u_i)_i∈I

n est sommable.

2) Notons sn=P

i∈Inui ; la sériePsn converge, et : X

i∈I

ui=

∞

X

n=0

sn

Remarque

On vérie l'hypothèse de sommabilité en appliquant le théorème de sommation par paquets à la famille

(|ui|)_i∈I

4 Le théorème de Fubini

Ici,I=N².

4.1 Un exemple

−1 0 0 0 ...

1

2 −1 0 0 ...

1 4

1

2 −1 0 ...

1 8

1 4

1

2 −1 ...

. . . . .

Commenter...

Réponse

ap,q= 0sip < q,−1sip=q, et ₂p−q¹ si p > q.

∞

X

p=0

∞

X

q=0

ap,q=−2,

∞

X

q=0

∞

X

p=0

ap,q= 0

4.2 Cas des familles de réels positifs

4.2.1 Théorème Rappelons queI=N².

La famille(am,n)_(m,n)∈I de réels positifs est sommable si et seulement si : 1) Pour toutn, la sérieP

am,nconverge ; on note alorssn =P∞ m=0am,n

2) La sérieP

sn converge.

Si tel est le cas :

∞

X

n=0

∞

X

m=0

a_m,n=

∞

X

m=0

∞

X

n=0

a_m,n

Démonstration

C'est un exemple de sommation par paquets ; iciI_n=? Réponse

In={(m, n)/m∈N}

(10)

4.2.2 Exemple 1 Ici,I= (N^∗)².

up,q= 1 p^α.q^β à quelle condition cette famille est-elle sommable ? Réponse

α >1 etβ >1. 4.2.3 Exemple 2 Ici,I= (N^∗)².

u_p,q = 1 p.q.(p+q) On introduit, si elle existe :

s_p=

∞

X

q=1

1 p.q.(p+q) Après calcul :

sp= 1 p²

p

X

k=1

1 k Conclusion :

sp∼ lnp p² doncsp=o

1 p^α

avecα=³₂ >1, donc la famille est sommable.

Le même, autre méthode On utilise

In =n

(p, q)∈(N^∗)²/ p+q=no On trouve

sn= 2 n².

n−1

X

k=1

1 k

Encore une autre Utiliser

∀p, q≥1, 1

p+q ≤ 1 2√

p√ q

4.3 Cas des familles de nombres complexes

Si la famille(a_m,n)de nombres complexes est sommable, alors :

∞

X

n=0

∞

X

m=0

am,n=

∞

X

m=0

∞

X

n=0

am,n

Remarque

Pour vérier l'hypothèse de sommabilité :

on peut appliquer le théorème de Fubini à la famille (|ai|)_i∈I

(11)

4.4 Exercice

Calculer _∞

X

p=2

∞

X

q=2

(−1)^p q^p

Réponse Soit

s_p=

∞

X

q=2

1 q^p

sp existe (série de Riemann) ; il faudrait montrer quePsp converge...

Ce qui découle de

0≤s_p≤ 1 2^p +

ˆ +∞

2

dt t^p = 1

2^p + 1 (p−1) 2^p−1 Mais il y a plus simple :

Soit

t_q=

∞

X

p=2

1 q^p tq se calcule :

t_q= 1 q(q−1)

Conclusion : _∞

X

p=2

∞

X

q=2

(−1)^p q^p = 1

2

5 Le produit de Cauchy

5.1 Introduction

SoitE=C^N; on dénit sur E une loi de composition interne ainsi : pouru, v ∈E, on dénitw=u∗vpar :

∀n≥0, w_n=

n

X

k=0

u_k.v_n−k

On prolonge ainsi la multiplication connue dansC[X].

On peut montrer que∗ est commutative, associative, et possède un élément neutre.

On peut chercher les inversibles...

Par exemple, soitudénie paru₀= 1, u₁=−1, etu_n = 0pourn≥2. DansC[X],uest appelée ?

u= 1−X un'est pas inversible dans C[X], mais l'est dansE.

5.2 Théorème

Soit(un),(vn)∈C^N; on supposeP

un et P

vn absolument convergentes.

Soit

wn=

n

X

k=0

uk.vn−k

AlorsP

wn est absolument convergente, et

∞

X

n=0

wn =

∞

X

n=0

un.

∞

X

n=0

vn

(12)

Démonstration I=N² ;ap,q=up.vq.

On déduit du théorème de Fubini que(ap,q)est sommable et a pour somme

∞

X

n=0

un.

∞

X

n=0

vn

Ensuite, on utilise le théorème de sommation par paquets avec Jn={(k, n−k)/0≤k≤n}

5.3 Application à exponentielle

Théorème

Pourz∈C, on posee^z=P∞ n=0

zⁿ

n! ; alors :

∀z, z⁰∈C, e^z+z⁰ =e^z.e^z⁰

Démonstration Soitz, z⁰ ∈C.

e^z+z⁰ =

∞

X

n=0

1

n!(z+z⁰)ⁿ =

∞

X

n=0

1 n!

n

X

k=0

n k

z^k.z^0n−k

Donc

e^z+z⁰ =

∞

X

n=0 n

X

k=0

z^k

k!. z^0n−k (n−k)!

On peut donc appliquer le théorème avecu_k= ^z_k!^k et v_k= ^z_k!^0k.

5.4 Un contre-exemple

On dénit(un)et (vn)par

un =vn= (−1)ⁿ

√n sin≥1, etu₀=v₀= 0.

Les deux sériesPu_n etPv_n sont semi-convergentes d'après le TSA.

MaisPw_n diverge grossièrement, en eet :

w_n= (−1)ⁿ

n−1

X

k=1

√ 1 k√

n−k Donc

|wn|=

n−1

X

k=1

√ 1 k√

n−k ≥

n−1

X

k=1

√ 1 n√

n = n−1 n

5.5 Le théorème de Mertens (exercice)

Soit(un), (vn)∈C^N. On suppose P

un absolument convergente etP

vn convergente. On notera U etV leurs sommes.

Soit

wn=

n

X

k=0

uk.v_n−k

AlorsPwn est convergente, et

∞

X

n=0

wn =

∞

X

n=0

un.

∞

X

n=0

vn=U.V

(13)

5.5.1 Lemme

Soit(un),(vn)∈C^N. On supposeP

un absolument convergente, de somme S et(vn)convergente, de limiteL. Soitw=u∗v :

wn=

n

X

k=0

uk.v_n−k

Alors(wn)converge versL.S. Démonstration

On se ramène très facilement au cas oùL= 0. (v_n)est convergente, donc bornée. On note

M =k(vn)k_∞ Ensuite on xeε >0, etn0 tel que

∞

X

n=n₀

|un| ≤ ε 2.M On obtient

∀n≥n₀,|wn| ≤ ε 2+

n0

X

k=0

u_k.v_n−k

Conclusion ? Variante On peut écrire

wn=

∞

X

k=0

uk.v_n−k

avec la conventionv_n= 0 pourn <0. Série qui converge normalement car

∀n∈Z,|uk.v_n−k| ≤M.|uk| On termine à l'aide du théorème de la double limite.

5.5.2 Démonstration du théorème de Mertens On notera

Vn=

n

X

k=0

vk

avec la conventionVn= 0sin <0. On vérie facilement que pour N≥0 :

N

X

n=0

wn=

N

X

n=0 n

X

k=0

uk.vn−k =

N

X

k=0

uk N−k

X

q=0

vq

Donc N

X

n=0

wn=

N

X

k=0

uk.V_N−k=

∞

X

k=0

uk.V_N−k

Le lemme permet de conclure.

Familles sommables de nombres complexes