E635 – Jeux d’enfants sur un grand champ de foire [*** à la main]
Solution de Daniel Collignon Jeu n°1
Considérons le graphe orienté dont les sommets sont les enfants et nous avons l'arc ei --> ej ssi l'enfant i arrose l'enfant j.
d- désigne le degré entrant d'un sommet (nombre d'arcs qui arrivent à un sommet) et d+ le degré sortant d'un sommet (nombre d'arcs qui partent d'un sommet).
Nous avons alors :
somme(i; d+(i)) = 2007 (chaque enfant arrose exactement un autre enfant) somme(i; d-(i)) = somme(i; d+(i)) (un arc a deux extrémités)
Il suffit donc de prouver qu'il existe un enfant arrosé par au moins deux autres enfants pour en déduire qu'il existe un enfant non arrosé.
En effet, dans le cas contraire, somme(i; d-(i)) > 2007.
Comme les distances sont distinctes, considérons la plus petite distance séparant ei et ej.
Si l'un d'eux est arrosé par ek où k est distinct de i et j, alors c'est fini.
Sinon ils forment un sous-graphe connexe et nous pouvons continuer à raisonner par récurrence avec l'ensemble des enfants restants.
...
Etant parti d'un nombre impair d'enfants, nous pourrions arriver jusqu'à une situation à 3 enfants. Quitte à renuméroter les sommets, nous supposerons que la plus petite distance sépare e2 et e3.
Dans ce cas, e1 arrose l'un d'eux, ce qui achève la démonstration.
Jeu n°2
C'est plus intéressant avec n=2 modulo 4. Car avec 2007=3
modulo 4, tout est possible : progressivement en déplaçant les couples (n, 2008-n) vers (n+1, 2007-n) on arrivera à réunir tout le monde en 1004 ; d'un autre côté si on a un déplacement (n, n+1) vers (n+1, n) en permanence, on ne risque pas de réunir tout le monde. En revanche si n=2 modulo 4, alors on peut démontrer que c'est impossible de réunir tout le monde grâce à un argument de parité (invariant).
En effet, numérotons les sommets de 1 à n et calculons la somme des numéros des sommets où se trouvent les n enfants. Au départ cette somme vaut 1+...+n=n(n+1)/2 et est impaire dans le cas où n=2 modulo 4. A la fin, si nous réunissions tout le monde, cette somme serait paire (n
étant pair). Or, en remarquant qu'un déplacement ne change pas la parité de cette somme, la conclusion s'impose.
