Problème H145 – Solution de Jean Drabbe
Associons un graphe non orienté G à la carte politique C de cette planète : – chacun des pays de C est représenté par un sommet de G ,
– deux sommets de G sont reliés par une arête ssi ces sommets représentent des pays partageant une frontière commune.
La théorie des graphes nous permet de supposer que G soit un graphe planaire (voir, par exemple, [2]).
Notons S le nombre de sommets de G , A le nombre d'arêtes de G .
L'article [1] donne des démonstrations des deux propositions suivantes applicables à tout graphe planaire.
PROPOSITION 1 – Tout graphe planaire contient un sommet de degré ≤ 5 . PROPOSITION 2 – Dans tout graphe planaire, A ≤ 3 • (S – 2) .
De l'inégalité p > 6 – 4 / q on déduit p = 5 (car q ne peut être égal à 1 et G doit contenir un sommet de degré ≤ 5 en vertu de la proposition 1 ) .
Par conséquent, q ∈ {2 , 3} et A ≥ 5 • S / 2 .
En utilisant la proposition 2 , on obtient 5 • S / 2 ≤ A ≤ 3 • (S – 2) (*) d'où 12 ≤ S .
Le nombre chromatique de G ne peut être inférieur à 4 car q ∈ {2 , 3} . Comme q • 4 ≥ S , il faut que q = 3 et S = 12 . On déduit de (*) et de p = 5 que A = 30 et que tout pays partage une frontière commune avec exactement 5 autres.
CONCLUSION : La projection stéréographique (diagramme de SCHLEGEL) d'un dodécaèdre est une solution du problème (carte en page 2).
[1] Les graphes planaires (publication du centre de recherche inter-universitaire canadien GERAD) accessible sur
http://www.gerad.ca/~alainh/Chapitre2.pdf
[2] SAATY, T. & KAINEN, P., The Four Color Problem, Assaults and Conquest, McGraw-Hill International Book Company, 1977 .
