Enonc´e noD325 (Diophante)
Un cousin du rhombicosidod´eca`edre
Le rhombicosidod´eca`edre est un poly`edre qui a 60 sommets, 120 arˆetes et 62 faces. L’une de ses propri´et´es est que quatre arˆetes partent de chaque sommet.
Le poly`edre convexe que je viens de fabriquer `a partir d’une belle bille de chˆene est son “cousin”. De chaque sommet partent au moins quatre arˆetes et il y a exactement deux sommets d’o`u partent six arˆetes.
J’ai r´eussi `a r´ealiser deux faces hexagonales et deux faces octogonales. Je fais un d´ecompte (trop) rapide des faces triangulaires qui sont au nombre de 22. Prouver que ce dernier d´ecompte est erron´e.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soitsle nombre des sommets, dj (j= 1 `as) le nombre d’arˆetes partant du sommetj,m le nombre des arˆetes,fi le nombre de faces `a icˆot´es (i≥3).
L’indication sur les arˆetes en chaque sommet montre que la quantit´e dj−4 est≥0 pour toutj et vaut 2 pour 2 sommets. Il en r´esulte
(∗) Pj(dj −4)≥4.
Le nombre des faces estPifi et v´erifie la relation de Descartes, le poly`edre convexe ´etant hom´eomorphe `a la sph`ere
(∗∗) Pifi=m−s+ 2.
On obtient deux fois le nombre des arˆetes en les comptant, soit avec les faces qu’elles bordent, soit avec les sommets qu’elles joignent :
P
iifi = 2m=Pjdj.
La relation de droite donne dans (∗) 2m−4s≥4.
La relation (∗∗) se met alors sous la forme P
i4fi= 4m−4s+ 8≥2m+ 12 = 12 +Piifi, soit
12≤Pi(4−i)fi =f3−f5−2f6−3f7−4f8−. . .≤f3−4−8 carfi ≥0 pour tout i, etf6 =f8 = 2.
Il en r´esultef3 ≥24, excluant la possibilit´e de 22 faces triangulaires.
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