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I Ensemble des nombres complexes

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

BCPST2

95 2 9 Polynômes et Complexes

I Ensemble des nombres complexes

A) Partie réelle et imaginaire, conjugué Dénition :

0 Re(z)

Im(z) z

−Im(z) z

∀z∈C, ∃!(x, y)∈R2, z=x+iy. Par dénition : x= Re(z) ety= Im(z).

On dénit alors le conjugué de z par :z=x−iy

Proposition : G ∀z∈C,





Re(z) = 1

2(z+z) Im(z) = 1

2i(z−z) G ∀z∈C, z =z

z=z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z∈R z=−z ⇐⇒ Re(z) = 0 ⇐⇒ z∈iR

G ∀z, z0 ∈C, Re(z+z0) = Re(z) + Re(z0) Im(z+z0) = Im(z) + Im(z0) z+z0 =z+z0

G ∀z, z0 ∈C, zz0 =z.z0 z0 6= 0, =⇒ z

z0 = z z0

B) Module

Dénition : Module

Soit z∈C, on dénit le module dez par :

|z|=p

x2+y2 =√ zz où x= Re(z), y= Im(z)

Proposition :

G ∀z∈C, |z|=|z|

G ∀z, z0 ∈C, |zz0|=|z||z0| z06= 0 =⇒

z z0 = |z|

|z0| G ∀z, z0 ∈C,

|z+z0| ≤ |z|+|z0|Inégalité triangulaire

|z+z0|=|z|+|z0| ⇐⇒ z0 = 0 ou ∃α∈R+, z=αz0

|z−z0| ≥ ||z| − |z0|| Inégalité triangulaire renversée

(2)

C) Notation exponentielle

Proposition et dénition : Notation exponentielle Soit z∈CNotons x= Re(z), y= Im(z).

|z|= 1 ⇐⇒ x2+y2= 1

⇐⇒ ∃!θ∈R[2π],

x = cosθ y = sinθ

On obtient donc z= cosθ+isinθque l'on noteexp(iθ) ou e. Dénition : Argument

1 1

Arg(z)

Re(z) Im(z)

|z|

z

O

∀z∈C, ∃!(ρ, θ)∈R+×R[2π],

z=ρe

On a alors :|z|=ρ etθ est appelé argument de z et est notéArg(z).

Proposition :

G ∀z∈C, Arg(z) =−Arg(z)[2π]

G ∀z, z0 ∈C, Arg(zz0) = Arg(z) + Arg(z0)[2π]

G ∀z, z0 ∈C, Arg(z

z0) = Arg(z)−Arg(z0)[2π]

G ∀z∈C,∀n∈N,Arg(zn) =nArg(z)[2π]

Proposition :

G Formules de d'Euler

cos(θ) = e+e−iθ

2 sin(θ) = e−e−iθ 2i G ∀θ, θ0∈R, ei(θ+θ0)=ee0

G Formule de Moivre :

∀θ∈R, ∀n∈N, (e)n=einθ soit cos(nθ) +isin(nθ) = (cosθ+isinθ)n

G ∀θ∈R, (e)−1 =e−iθ =e G ∀θ∈R, e = 1 ⇐⇒ θ∈2πZ G ∀θ, θ0∈R, e =e0 ⇐⇒ θ=θ0[2π]

D) Exponentielle complexe Dénition :

Soit z∈C. On écritz=a=ib avec(a, b)∈R2. On dénit

exp(z) = exp(a).exp(ib) = exp(a)(cos(b) +isin(b))

(3)

Proposition :

Soit (z1, z2)∈C2. On a :

exp(z1+z2) exp(z1) exp(z2)

II Rappels de trigonométrie

A) Relations élémentaires Remarque:

-1 1

-1 1

α cosα

sinα tanα

O

G

cos(−θ) = cosθ sin(−θ) = −sinθ G

cos(θ+π) = −cosθ sin(θ+π) = −sinθ G

cos(θ+ π2) = −sinθ sin(θ+π2) = cosθ G

cos(π2 −θ) = sinθ sin(π2 −θ) = cosθ G cos2θ+ sin2θ= 1

B) Quelques formules à connaître Proposition :

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb

sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa

Remarque:

En combinant ces formules, on peut obtenir :









cosacosb = 1

2(cos(a+b) + cos(a−b)) sinasinb = 1

2(cos(a−b)−cos(a+b)) sinacosb = 1

2(sin(a+b) + sin(a−b)) Remarque:

Puis en posant :

p = a+b q = a−b ⇐⇒

a = p+q2 b = p−q2 ,

















cosp+ cosq = 2 cosp+q

2 cosp−q 2 cosp−cosq = −2 sinp+q

2 sinp−q 2 sinp+ sinq = 2 sinp+q

2 cosp−q 2 sinp−sinq = 2 sinp−q

2 cosp+q 2

(4)

On obtient : Proposition :

Pour a, b, a+b6= π 2[π],

tan(a+b) = tana+ tanb 1−tanatanb

Proposition :

sin(2θ) = 2 sinθcosθ cos(2θ) = cos2θ−sin2θ

2 cos2θ= 1 + cos(2θ) 2 sin2θ= 1−cos(2θ)

C) Fonctions trigonométriques inverses Proposition : Arccos

• x••

θ= Arccos(x)

−1

1

1

−1

Soit x ∈ [−1,1]. L'équation cos(θ) = x admet une innité de solutions.

Il en existe une unique dans l'intervalle [0, π], notée Arccos(x).

Les autres solutions sont alors :

{Arccos(x) + 2kπ,−Arccos(x) + 2kπ, k∈Z}

Proposition : Arcsin

• x•

• θ= Arcsin(x)

−1

1

1

−1

Soit x ∈ [−1,1]. L'équation sin(θ) = x admet une innité de solutions.

Il en existe une unique dans l'intervalle

π2,π2 , notée Arcsin(x).

Les autres solutions sont alors :

{Arcsin(x) + 2kπ, π−Arcsin(x) + 2kπ, k∈Z}

Proposition : Arctan

• x

θ= Arctan(x)

−1

1

1

−1

Soit x∈R. L'équation tan(θ) = x admet une innité de solutions.

Il en existe une unique dans l'intervalle

π2,π2 , notée Arctan(x).

Les autres solutions sont alors :

{Arctan(x) +kπ, k∈Z}

(5)

D) Résolution d'équation

Méthode

Soita, b, c∈R. On cherche à résoudre l'équation en θ : acosθ+bsinθ=c â On poser =√

a2+b2. â On déterminerφtel que

cosφ= ar sinφ= br . â On est alors ramené à :rcos(θ−φ) =c

â On résout en discutant suivant les valeurs de rc. E) Linéarisation

Méthode

Soit p, q ∈ N. On cherche à écrire une expression de la forme cospθsinqθ sous la forme d'une combinaison linéaire decos etsin.

â Remplacercosθ= e+e−iθ

2 etsinθ= e−e−iθ 2i

â Développer l'expression en utilisant entre autre le binôme de Newton.

â Regrouper les termes pour obtenir cos(kθ) etsin(kθ) pour k∈N.

(6)

III Révisions sur les polynômes

On noteK=Rou C.K[X]est l'ensemble des polynômes.

A) Dénition Dénition :

Un polynôme est déni par P =

n

X

k=0

akXk où(a0, . . . , an)∈Kn+1.

â Les coecients (a0, a1. . . , an)sont appelés coecients du polynôme.

â Si

a

n

6 = 0

,nest le degré du polynôme etan son coecient dominant.

Dénition : Polynôme nul Soit P =

n

X

k=0

akXk∈K[X].

On dit que P est le polnôme nul (P = 0) si et seulement si tous ses coecients sont nuls.

On convient que dans ce cas, deg(P) =−∞.

Dénition : Polynômes pairs et impairs

â Un polynôme est dit pair si et seulement si tous ses coecicents d'ordre impair sont nuls.

Il s'écrit : P =

n

X

k=0

a2kX2k.

P est pair si et seulement siP(X) =P(−X)

â Un polynôme est dit impair si et seulement si tous ses coecicents d'ordre pair sont nuls.

Il s'écrit : P =

n

X

k=0

a2k+1X2k+1 .

P est impair si et seulement siP(X) =−P(−X)

B) Degré Proposition :

SoientP, Q∈K[X].

â deg(P +Q)≤max(deg(P),deg(Q))

De plus, sideg(P)6= deg(Q)alorsdeg(P+Q) = max(deg(P),deg(Q)) â deg(P Q) = deg(P) + deg(Q)

â Sideg(P)≥1, deg(P0) = deg(P)−1

C) Racines Proposition :

Soit P ∈K[X]eta∈K.

â P(a) = 0 ⇐⇒ ∃Q∈K[X], P = (X−a)Q.

On dit que aest racine deP.

â P(a) =P0(a) =· · ·=P(k−1)(a) = 0 ⇐⇒ ∃Q∈K[X], P = (X−a)kQ On dit que aest racine d'ordre au moinsk.

(7)

Théorème : Soit P ∈K[X].

G SiP est non nul et admet au moinsnracines distinctes alors deg(P)≥n. G Sideg(P)≤netP admet au moinsn+ 1racines distinctes alors P = 0. G SiP admet un nombre inni de racines alorsP = 0.

D) Décomposition d'un polynôme Proposition :

Soit P ∈C[X].

∃n∈N, ∃λ∈K, ∃(α1, . . . , αn)∈Kn,

P =λ

n

Y

i=1

(X−αi)

Dans cette écriture : G nest le degré de P

G λest son coecent dominant.

G (α1, . . . αn)sont les racines deP comptées avec ordre de multiplicité (et donc non nécessairement distinctes).

Remarque:

Soit P =

n

X

k=0

akXk=an

n

Y

i=1

(X−αi). On remarque :

â

n

X

i=1

αk=−an−1

an

â

n

Y

i=1

αk= (−1)na0

an = (−1)nP(0) an

(8)

BCPST2

95 2 9 Polynômes et complexes

Que dit un mathématicien imaginaire à une femme réelle ? Viens danser.

©Exercice 1:

Déterminer les racines carrées de â 1 +i

â 3 + 4i

©Exercice 2:

Soit n un entier non nul.

1) Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation zn= 1 est

exp(i2kπ

n ), k∈J0, n−1K

2) Déterminer l'ensemble des solution de l'équation

n−1

X

k=0

zk = 0

3) Soita un complexe non nul de module ρ et d'argument θ et n un entier non nul.

Résoudre l'équation zn=a

©Exercice 3:

Soit

Cn =

n

X

k=0

coskx Sn =

n

X

k=0

sinkx

Dn =

n

X

k=0

kcoskx Tn =

n

X

k=0

ksinkx

Calculer Cn, Sn, Dn etTn.

(indication : on pourra s'intéresser à Cn+iSn; on pourra ensuite essayer de dériver Cn et Sn par rapport à x).

©Exercice 4:

Le but de cet exercice est de prouver la relation : cosπ

7 −cos2π

7 + cos3π 7 = 1

2

(9)

On pose z =e7 .

1) Calculer z6−z5+z4−z3+z2−z+ 1. 2) En déduire :

z3 −z2+z = 1 1−z3 3) Soit uun complexe de module 1, diérent de1, montrer : Re

1 1−u

= 1 2 4) Conclure.

© Exercice 5:

Soit θ∈]0,2π[. On dénit la suite complexe (zn)n∈N par : ( z0 = 1

∀n∈N, zn+1 =ezn+ 1

2(1−e) 1) Expliciter zn en fonction den etθ.

2) Pour n ≥0, on dénit

Sn(θ) = z0+z1+· · ·+zn =

n

X

k=0

zk Montrer :

Sn(θ) = n+ 1

2 +einθ2 sin n+12 θ 2 sin θ2 3) On pose, pour n≥0,

Tn(θ) = Sn(θ) n+ 1 Montrer

n→∞lim

Tn(θ)− 1 2

= 0

© Exercice 6:

On considère l'équation :(∗) (1 +iz)5 = (1−iz)5.

1) Résoudre (∗)en donnant les solutions à l'aide de fonctions trigonométriques.

Vérier que toutes les solutions sont réelles.

2) Une autre méthode de résolution.

a) Développer, réduire et ordonner (∗). b) Résoudre (∗)

3) En déduire une expression de tanπ 5

et tan 2π

5

à l'aide de√.

(10)

©Exercice 7:

1) Linéariser :cos3θsin2θ

2) Exprimer tan 5θ en fonction de tanθ. 3) Résoudrecos(x) +√

3 sin(x) = 1.

4) Résoudre l'équation : cos(x) + cos(3x) = −1 2 5) Résoudre l'équation : sin2x+ sinxcosx= 1 6) Résoudre l'équation : √

3 sin(5x) = cos(12x)−cos(2x)

©Exercice 8:

Montrer : ∀n ∈N,

n

X

k=0

n k

3k(1−X)3n−2kXk= (1−X3)n.

©Exercice 9:

Trouver tous les polynômes P ∈C[X] tels que :(X2+ 1)P”−6P = 0.

©Exercice 10:

Soient a∈R, P ∈R[X], Q= 1

2(X−a)(P0 +P0(a))−P +P(a). Montrer que a est zéro au moins triple de Q.

©Exercice 11:

Soit a∈N. Soit le polynôme Pa=X3−(a2+ 2a)X+ 2.

On cherchea tel que Pa admette trois racines dans Z (éventuellement confondues ).

On suppose qu'un tel entier a existe.

Soient alors t1, t2, t3 les trois racines entières de Pa avec t1 ≤t2 ≤t3. 1) Que valent t1t2t3 ett1+t2+t3?

2) En déduire t1 <0< t2 ≤t3 <−t1.

3) Montrer que t1 =−2 puis en déduire t2 ett3. 4) Justier quePa0(t2) = 0. En déduirea.

5) Réciproquement, montrer que a convient.

(11)

© Exercice 12:

On dénit une suite de polynômes(Sn)n∈N de R[X]en posant : S0 = 0, S1 = 1

∀n ∈N, Sn+2 = 2XSn+1−Sn 1) a) Calculer S2 etS3.

b) Montrer que Sn est de degrén−1pour tout n≥1. c) Déterminer le coecient dominant de Sn pourn≥1. d) Etudier la parité de Sn.

2) a) Montrer : ∀n∈N, ∀θ∈R, Sn(cosθ) sinθ= sin(nθ). En déduire Sn(0).

b) Soit n∈N. Montrer que Sn est le seul polynôme P deR[X]vériant :

∀θ ∈R, P(cosθ) sinθ= sin(nθ)

c) Soit n∈N. Montrer :

∀θ ∈R\πZ,(cos2θ−1)Sn00(cosθ) + 3 cosθSn0(cosθ)−(n2−1)Sn(cosθ) = 0

En déduire une relation entreSn00, Sn0 etSn.

3) a) Déterminer les racines de Sn qui sont éléments de]−1,1[. b) En déduire la factorisation de Sn dans R[X].

c) Montrer que la somme des racines de Sn est nulle et calculer leur produit.

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