BCPST2
95 2 9 Polynômes et Complexes
I Ensemble des nombres complexes
A) Partie réelle et imaginaire, conjugué Dénition :
0 Re(z)
Im(z) z
−Im(z) z
∀z∈C, ∃!(x, y)∈R2, z=x+iy. Par dénition : x= Re(z) ety= Im(z).
On dénit alors le conjugué de z par :z=x−iy
Proposition : G ∀z∈C,
Re(z) = 1
2(z+z) Im(z) = 1
2i(z−z) G ∀z∈C, z =z
z=z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z∈R z=−z ⇐⇒ Re(z) = 0 ⇐⇒ z∈iR
G ∀z, z0 ∈C, Re(z+z0) = Re(z) + Re(z0) Im(z+z0) = Im(z) + Im(z0) z+z0 =z+z0
G ∀z, z0 ∈C, zz0 =z.z0 z0 6= 0, =⇒ z
z0 = z z0
B) Module
Dénition : Module
Soit z∈C, on dénit le module dez par :
|z|=p
x2+y2 =√ zz où x= Re(z), y= Im(z)
Proposition :
G ∀z∈C, |z|=|z|
G ∀z, z0 ∈C, |zz0|=|z||z0| z06= 0 =⇒
z z0 = |z|
|z0| G ∀z, z0 ∈C,
|z+z0| ≤ |z|+|z0|Inégalité triangulaire
|z+z0|=|z|+|z0| ⇐⇒ z0 = 0 ou ∃α∈R+, z=αz0
|z−z0| ≥ ||z| − |z0|| Inégalité triangulaire renversée
C) Notation exponentielle
Proposition et dénition : Notation exponentielle Soit z∈CNotons x= Re(z), y= Im(z).
|z|= 1 ⇐⇒ x2+y2= 1
⇐⇒ ∃!θ∈R[2π],
x = cosθ y = sinθ
On obtient donc z= cosθ+isinθque l'on noteexp(iθ) ou eiθ. Dénition : Argument
1 1
Arg(z)
Re(z) Im(z)
|z|
z
O
∀z∈C∗, ∃!(ρ, θ)∈R∗+×R[2π],
z=ρeiθ
On a alors :|z|=ρ etθ est appelé argument de z et est notéArg(z).
Proposition :
G ∀z∈C∗, Arg(z) =−Arg(z)[2π]
G ∀z, z0 ∈C∗, Arg(zz0) = Arg(z) + Arg(z0)[2π]
G ∀z, z0 ∈C∗, Arg(z
z0) = Arg(z)−Arg(z0)[2π]
G ∀z∈C∗,∀n∈N∗,Arg(zn) =nArg(z)[2π]
Proposition :
G Formules de d'Euler
cos(θ) = eiθ+e−iθ
2 sin(θ) = eiθ−e−iθ 2i G ∀θ, θ0∈R, ei(θ+θ0)=eiθeiθ0
G Formule de Moivre :
∀θ∈R, ∀n∈N, (eiθ)n=einθ soit cos(nθ) +isin(nθ) = (cosθ+isinθ)n
G ∀θ∈R, (eiθ)−1 =e−iθ =eiθ G ∀θ∈R, eiθ = 1 ⇐⇒ θ∈2πZ G ∀θ, θ0∈R, eiθ =eiθ0 ⇐⇒ θ=θ0[2π]
D) Exponentielle complexe Dénition :
Soit z∈C. On écritz=a=ib avec(a, b)∈R2. On dénit
exp(z) = exp(a).exp(ib) = exp(a)(cos(b) +isin(b))
Proposition :
Soit (z1, z2)∈C2. On a :
exp(z1+z2) exp(z1) exp(z2)
II Rappels de trigonométrie
A) Relations élémentaires Remarque:
-1 1
-1 1
α cosα
sinα tanα
O
G
cos(−θ) = cosθ sin(−θ) = −sinθ G
cos(θ+π) = −cosθ sin(θ+π) = −sinθ G
cos(θ+ π2) = −sinθ sin(θ+π2) = cosθ G
cos(π2 −θ) = sinθ sin(π2 −θ) = cosθ G cos2θ+ sin2θ= 1
B) Quelques formules à connaître Proposition :
cos(a+b) = cosacosb−sinasinb
sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa
Remarque:
En combinant ces formules, on peut obtenir :
cosacosb = 1
2(cos(a+b) + cos(a−b)) sinasinb = 1
2(cos(a−b)−cos(a+b)) sinacosb = 1
2(sin(a+b) + sin(a−b)) Remarque:
Puis en posant :
p = a+b q = a−b ⇐⇒
a = p+q2 b = p−q2 ,
cosp+ cosq = 2 cosp+q
2 cosp−q 2 cosp−cosq = −2 sinp+q
2 sinp−q 2 sinp+ sinq = 2 sinp+q
2 cosp−q 2 sinp−sinq = 2 sinp−q
2 cosp+q 2
On obtient : Proposition :
Pour a, b, a+b6= π 2[π],
tan(a+b) = tana+ tanb 1−tanatanb
Proposition :
sin(2θ) = 2 sinθcosθ cos(2θ) = cos2θ−sin2θ
2 cos2θ= 1 + cos(2θ) 2 sin2θ= 1−cos(2θ)
C) Fonctions trigonométriques inverses Proposition : Arccos
•
•
•
• x••
θ= Arccos(x)
−1
1
1
−1
Soit x ∈ [−1,1]. L'équation cos(θ) = x admet une innité de solutions.
Il en existe une unique dans l'intervalle [0, π], notée Arccos(x).
Les autres solutions sont alors :
{Arccos(x) + 2kπ,−Arccos(x) + 2kπ, k∈Z}
Proposition : Arcsin
•
•
•
• x•
• θ= Arcsin(x)
−1
1
1
−1
Soit x ∈ [−1,1]. L'équation sin(θ) = x admet une innité de solutions.
Il en existe une unique dans l'intervalle
−π2,π2 , notée Arcsin(x).
Les autres solutions sont alors :
{Arcsin(x) + 2kπ, π−Arcsin(x) + 2kπ, k∈Z}
Proposition : Arctan
• x
θ= Arctan(x)
−1
1
1
−1
Soit x∈R. L'équation tan(θ) = x admet une innité de solutions.
Il en existe une unique dans l'intervalle
−π2,π2 , notée Arctan(x).
Les autres solutions sont alors :
{Arctan(x) +kπ, k∈Z}
D) Résolution d'équation
Méthode
Soita, b, c∈R. On cherche à résoudre l'équation en θ : acosθ+bsinθ=c â On poser =√
a2+b2. â On déterminerφtel que
cosφ= ar sinφ= br . â On est alors ramené à :rcos(θ−φ) =c
â On résout en discutant suivant les valeurs de rc. E) Linéarisation
Méthode
Soit p, q ∈ N. On cherche à écrire une expression de la forme cospθsinqθ sous la forme d'une combinaison linéaire decos etsin.
â Remplacercosθ= eiθ+e−iθ
2 etsinθ= eiθ−e−iθ 2i
â Développer l'expression en utilisant entre autre le binôme de Newton.
â Regrouper les termes pour obtenir cos(kθ) etsin(kθ) pour k∈N.
III Révisions sur les polynômes
On noteK=Rou C.K[X]est l'ensemble des polynômes.
A) Dénition Dénition :
Un polynôme est déni par P =
n
X
k=0
akXk où(a0, . . . , an)∈Kn+1.
â Les coecients (a0, a1. . . , an)sont appelés coecients du polynôme.
â Si
a
n6 = 0
,nest le degré du polynôme etan son coecient dominant.Dénition : Polynôme nul Soit P =
n
X
k=0
akXk∈K[X].
On dit que P est le polnôme nul (P = 0) si et seulement si tous ses coecients sont nuls.
On convient que dans ce cas, deg(P) =−∞.
Dénition : Polynômes pairs et impairs
â Un polynôme est dit pair si et seulement si tous ses coecicents d'ordre impair sont nuls.
Il s'écrit : P =
n
X
k=0
a2kX2k.
P est pair si et seulement siP(X) =P(−X)
â Un polynôme est dit impair si et seulement si tous ses coecicents d'ordre pair sont nuls.
Il s'écrit : P =
n
X
k=0
a2k+1X2k+1 .
P est impair si et seulement siP(X) =−P(−X)
B) Degré Proposition :
SoientP, Q∈K[X].
â deg(P +Q)≤max(deg(P),deg(Q))
De plus, sideg(P)6= deg(Q)alorsdeg(P+Q) = max(deg(P),deg(Q)) â deg(P Q) = deg(P) + deg(Q)
â Sideg(P)≥1, deg(P0) = deg(P)−1
C) Racines Proposition :
Soit P ∈K[X]eta∈K.
â P(a) = 0 ⇐⇒ ∃Q∈K[X], P = (X−a)Q.
On dit que aest racine deP.
â P(a) =P0(a) =· · ·=P(k−1)(a) = 0 ⇐⇒ ∃Q∈K[X], P = (X−a)kQ On dit que aest racine d'ordre au moinsk.
Théorème : Soit P ∈K[X].
G SiP est non nul et admet au moinsnracines distinctes alors deg(P)≥n. G Sideg(P)≤netP admet au moinsn+ 1racines distinctes alors P = 0. G SiP admet un nombre inni de racines alorsP = 0.
D) Décomposition d'un polynôme Proposition :
Soit P ∈C[X].
∃n∈N∗, ∃λ∈K, ∃(α1, . . . , αn)∈Kn,
P =λ
n
Y
i=1
(X−αi)
Dans cette écriture : G nest le degré de P
G λest son coecent dominant.
G (α1, . . . αn)sont les racines deP comptées avec ordre de multiplicité (et donc non nécessairement distinctes).
Remarque:
Soit P =
n
X
k=0
akXk=an
n
Y
i=1
(X−αi). On remarque :
â
n
X
i=1
αk=−an−1
an
â
n
Y
i=1
αk= (−1)na0
an = (−1)nP(0) an
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Que dit un mathématicien imaginaire à une femme réelle ? Viens danser.
©Exercice 1:
Déterminer les racines carrées de â 1 +i
â 3 + 4i
©Exercice 2:
Soit n un entier non nul.
1◦) Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation zn= 1 est
exp(i2kπ
n ), k∈J0, n−1K
2◦) Déterminer l'ensemble des solution de l'équation
n−1
X
k=0
zk = 0
3◦) Soita un complexe non nul de module ρ et d'argument θ et n un entier non nul.
Résoudre l'équation zn=a
©Exercice 3:
Soit
Cn =
n
X
k=0
coskx Sn =
n
X
k=0
sinkx
Dn =
n
X
k=0
kcoskx Tn =
n
X
k=0
ksinkx
Calculer Cn, Sn, Dn etTn.
(indication : on pourra s'intéresser à Cn+iSn; on pourra ensuite essayer de dériver Cn et Sn par rapport à x).
©Exercice 4:
Le but de cet exercice est de prouver la relation : cosπ
7 −cos2π
7 + cos3π 7 = 1
2
On pose z =e7 .
1◦) Calculer z6−z5+z4−z3+z2−z+ 1. 2◦) En déduire :
z3 −z2+z = 1 1−z3 3◦) Soit uun complexe de module 1, diérent de1, montrer : Re
1 1−u
= 1 2 4◦) Conclure.
© Exercice 5:
Soit θ∈]0,2π[. On dénit la suite complexe (zn)n∈N par : ( z0 = 1
∀n∈N, zn+1 =eiθzn+ 1
2(1−eiθ) 1◦) Expliciter zn en fonction den etθ.
2◦) Pour n ≥0, on dénit
Sn(θ) = z0+z1+· · ·+zn =
n
X
k=0
zk Montrer :
Sn(θ) = n+ 1
2 +einθ2 sin n+12 θ 2 sin θ2 3◦) On pose, pour n≥0,
Tn(θ) = Sn(θ) n+ 1 Montrer
n→∞lim
Tn(θ)− 1 2
= 0
© Exercice 6:
On considère l'équation :(∗) (1 +iz)5 = (1−iz)5.
1◦) Résoudre (∗)en donnant les solutions à l'aide de fonctions trigonométriques.
Vérier que toutes les solutions sont réelles.
2◦) Une autre méthode de résolution.
a) Développer, réduire et ordonner (∗). b) Résoudre (∗)
3◦) En déduire une expression de tanπ 5
et tan 2π
5
à l'aide de√.
©Exercice 7:
1◦) Linéariser :cos3θsin2θ
2◦) Exprimer tan 5θ en fonction de tanθ. 3◦) Résoudrecos(x) +√
3 sin(x) = 1.
4◦) Résoudre l'équation : cos(x) + cos(3x) = −1 2 5◦) Résoudre l'équation : sin2x+ sinxcosx= 1 6◦) Résoudre l'équation : √
3 sin(5x) = cos(12x)−cos(2x)
©Exercice 8:
Montrer : ∀n ∈N∗,
n
X
k=0
n k
3k(1−X)3n−2kXk= (1−X3)n.
©Exercice 9:
Trouver tous les polynômes P ∈C[X] tels que :(X2+ 1)P”−6P = 0.
©Exercice 10:
Soient a∈R, P ∈R[X], Q= 1
2(X−a)(P0 +P0(a))−P +P(a). Montrer que a est zéro au moins triple de Q.
©Exercice 11:
Soit a∈N. Soit le polynôme Pa=X3−(a2+ 2a)X+ 2.
On cherchea tel que Pa admette trois racines dans Z (éventuellement confondues ).
On suppose qu'un tel entier a existe.
Soient alors t1, t2, t3 les trois racines entières de Pa avec t1 ≤t2 ≤t3. 1◦) Que valent t1t2t3 ett1+t2+t3?
2◦) En déduire t1 <0< t2 ≤t3 <−t1.
3◦) Montrer que t1 =−2 puis en déduire t2 ett3. 4◦) Justier quePa0(t2) = 0. En déduirea.
5◦) Réciproquement, montrer que a convient.
© Exercice 12:
On dénit une suite de polynômes(Sn)n∈N de R[X]en posant : S0 = 0, S1 = 1
∀n ∈N, Sn+2 = 2XSn+1−Sn 1◦) a) Calculer S2 etS3.
b) Montrer que Sn est de degrén−1pour tout n≥1. c) Déterminer le coecient dominant de Sn pourn≥1. d) Etudier la parité de Sn.
2◦) a) Montrer : ∀n∈N, ∀θ∈R, Sn(cosθ) sinθ= sin(nθ). En déduire Sn(0).
b) Soit n∈N. Montrer que Sn est le seul polynôme P deR[X]vériant :
∀θ ∈R, P(cosθ) sinθ= sin(nθ)
c) Soit n∈N. Montrer :
∀θ ∈R\πZ,(cos2θ−1)Sn00(cosθ) + 3 cosθSn0(cosθ)−(n2−1)Sn(cosθ) = 0
En déduire une relation entreSn00, Sn0 etSn.
3◦) a) Déterminer les racines de Sn qui sont éléments de]−1,1[. b) En déduire la factorisation de Sn dans R[X].
c) Montrer que la somme des racines de Sn est nulle et calculer leur produit.