I- Présentation des nombres complexes :

Chapitre I : Nombres complexes (Aspect algébrique)

I- Présentation des nombres complexes :

Théorème 1 : Il existe un ensemble ℂ contenant ℝ, et vérifiant :

● Il existe un élément noté i de ℂ tel que i²=−1 .

● Tout élément z de ℂ s'écrit de manière unique : z=xi y ( x et y réels )

● ℂ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de ℝ et suivent les mêmes règles de calcul.

Définition 1 :

● ℂ est appelé l'ensemble des nombres complexes.

● Soit z=xiy ( x et y réels ) alors

- x est appelé la partie réelle de z, noté Rez - y est appelé la partie imaginaire de z, noté Imz.

● - Si y=0, alors z est réel

- Si x=0 alors z est dit imaginaire pur.

Le deuxième point du théorème 1 entraine que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. C'est à dire en notant z=xiy et z '=x 'iy ',

z=z '⇔x=x ' et y=y '

Soit M un point du plan de coordonnées cartésiennes (x , y). L'affixe du point M (ou du vecteurOM ) est le nombre complexe z=xiy. On dit que M est l'image de z.

On note M(z) ou OMz.

On note en général z_M pour l'affixe du point M et z_OM pour l'affixe du vecteur OM . Remarque :

● Tous les points de l'axe O,u ont un affixe réel.

● Tous les points de l'axe O,v ont un affixe imaginaire pur.

● O a pour affixe 0.

Exercice 1 : Placer dans un repère orthonormal O;u ,v les points A, B, C,D et E d'affixes respectives 32i, 3i, 6 ,−3i et −2i.

II- Calculs dans l'ensemble des nombres complexes :

Définition 2 : ( Somme et produit ) Si z=xiy et z '=x 'iy ' alors

● zz '=xx 'iyy'.

● zz '=xx '−yy 'ixy 'x ' y. Justification :

Définition 3 : ( Inverse et quotient ) Si z=xiy ( z≠0 ) alors

● 1

z= x

x²y²−i y x²y² .

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x

y ^{M(z=x+i y)}

O u

v

● Si de plus z '≠0 , alors z

z '=z× 1 z ' . Justification :

Exercice 2 : Soit z₁=3−4i , z₂=1−i et z₃=1i.

Mettre sous la forme xi y les complexes suivants : z₁z₂, z₁z₂, 1

z₁ et z₂ z₃ . III-Conjugaison :

Définition 4 : Soit z un nombre complexe : z=xi y, ( x et y réels).

On appelle conjugué de z le nombre complexe noté z défini par z=x−i y. Exercice 3 : En reprenant les valeurs de l'exercice précédent, écrire z₁,z₃, z₁z₁ Propriétés 1 : Soit z un nombre complexe z=xi y (x et y réels).

1. z=z.

2. z est un nombre réel si, et seulement si z=z

3. z est un nombre imaginaire pur si, et seulement si z=−z. 4. zz=2 Rez.

5. z−z=2 iImz. 6. zz=x²y². Démonstration :

Propriétés 2 : Pour tout couple de nombres complexes z , z '

• zz '=zz '.

• zz '=zz ' et_zⁿ_=zⁿpour tout n entier naturel.

• Siz '≠0









IV-Équations du second degré :

Propriété 3 : Pour tout nombre réela≠0 , il existe deux complexes dont le carré est a.

1. Si a0,





2. Si a0,i





Démonstration :

Propriété 4 : Toute équation du second degré a z²bzc=0 où a, b et c sont des réels, a≠0 , admet deux racines complexes distinctes ou confondues.

● Si =0 une racine double z₀=− b 2a .

● Si 0 deux racines réelles z₁=−b−



2a et z₂=−b



2a .

● Si 0 deux racines complexes conjuguées z₁=−b−i



2a etz₂=−bi



2a .

Démonstration :

Exercices 4 : Résoudre les équations suivantes : a. z²z1=0 .

b. z²2z5=0 c. z²9=0

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